4.4. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности

Нарушение изоляции между витками обмотки или между обмоткой и корпусом электрической машины, приводит к возникновению электрической дуги и локальному перегреву обмотки. При этом теплота распространяется от места повреждения к свободным концам обмотки. Схематично этот процесс можно представить следующим образом: дан длинный, теплоизолированный по длине стержень, поперечные размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с его длиной и начальная температура которого есть величина заданная; требуется определить функцию распространения теплового потока (температуры), считая, что заданная тепловая энергия выделилась в точке х = х₀ в момент времени t = t₀ = 0.

Распределение температуры в длинном теплопроводящем стержне с теплоизолированной боковой поверхностью описывается следующим уравнением

, (4.20)

где а – коэффициент температуропроводности.

Поскольку стержень бесконечно длинный, на процессы в его средней части основное влияние оказывает начальное распределение температуры. Влияние температурных условий на концах стержня практически не сказываются в течение большого промежутка времени. Таким образом, краевые условия сводятся к начальному условию

. (4.21)

Вводим новую переменную τ = аt.

Тогда (4.22)

Уравнение (4.29) приобретает вид, не зависящий от физических свойств стержня.

(4.23)

(4.24)

причем , т.к. при t = 0 и τ = 0.

Частные решения уравнения (4.33) можно представить в виде произведения двух функций Х(х) Т(τ) в исходное уравнение 4.33

, (4.25)

. (4.26)

Приходим к двум обыкновенным дифференциальным уравнениям

; (4.27)

. (4.28)

Уравнение (4.36) имеет общее решение

. (4.29)

Поскольку при t → ∞ (τ → ∞) температура ни в одной точке стержня не может возрастать неограниченно, постоянная С должна быть отрицательной

Обозначим С = - к²

. (4.30)

Уравнение (4.37) принимает следующий вид

. (4.31)

Это уравнение имеет общее решение

. (4.32)

Таким образом

(4.33)

или

, (4.34)

где А = СМ, В = СN – постоянные.

Поскольку к также произвольная постоянная, то функция (4.43) при любом значении к является решением уравнения 4.33, причем каждому к могут соответствовать разные значения постоянных А и В т.е. А = А(к), В = В(к)

Семейство частных решений уравнения (4.33) имеет вид

. (4.35)

Общее решение этого уравнения

. (4.36)

Функции А(к) и В(к) должны быть такими, чтобы решение удовлетворяло начальному условию

Следовательно

, (4.37)

т.е. функцию f(х) нужно разложить в интеграл Фурье

; (4.38)

. (4.39)

Сопоставляя (4.39) с (4.37) видим, что

. (4.40)

Подставляя эти значения в общее решение (4.45) получаем

. (4.41)

Полученная функция удовлетворяет исходному уравнению (4.24) и начальному условию (4.21).

Уравнение (4.49) преобразуем к виду

. (4.42)

После преобразований получаем

. (4.43)

Функция

, (4.44)

является решением уравнения (4.20) при любом ξ, зависит от времени процесса t, координат х и произвольного параметра ξ.

Эта функция называется фундаментальным решением уравнения теплопроводности.

Физический тепловой импульс

где υ₀ – постоянная при δ > 0.

Такое начальное распределение температуры возникает в момент времени t = 0 на участке стержня от х₀ – δ до х₀ + δ внезапно выделяется количество теплоты Q₀, повышающее температуру этого участка от нуля до υ₀ (рис.4.2)

Рис. 4.2. Физический тепловой импульс

Если S – площадь сечения стержня, ρ – плотность материала, то 2δS – объем рассматриваемого отрезка, 2δSρ – его масса. Тогда при удельной теплоемкости материала С количество теплоты равно

. (4.45)

Температура практически не может быть разрывной функцией f_δ(х), но она будет тем ближе к этой функции, чем интенсивнее и кратковременнее подогрев.

Если принять физический тепловой импульс в качестве функции начального распределения температуры в уравнении (4.51).

. (4.46)

Учитывая малость промежутка интегрирования, для оценки полученного решения применим теорему о среднем интегрального исчисления, выбрав внутри промежутка некоторую точку ξ так что

.

По теореме о среднем

. (4.47)

Отсюда

. (4.48)

Учитывая (4.53) имеем:

, (4.49)

. (4.50)

Рассмотрим идеальный или точечный тепловой импульс, устремляя δ к нулю.

Пусть, т.е. 2δυ₀ = 1, то при стремлении δ к нулю υ₀ будет стремиться к бесконечности.

При υ₀ → ∞ , δ → 0 имеем

. (4.51)

Решение (4.59) для точечного теплового импульса есть фундаментальное решение при значении параметра ξ = х₀.

Рис. 4.3. Распространение теплоты после точечного теплового импульса.

Максимум температуры достигается в точке приложения импульса х = х₀ и равен

, (4.52)

где а – коэффициент температуропроводности.

. (4.53)

При t = 0 функция φ_х0 (х,f) не определена.

Очевидно, что в каждый момент времени максимальная температура тем меньше, чем больше коэффициент теплопроводности λ и чем меньше удельная теплоемкость С.

В каждой фиксированной точке х ≠ х₀ зависимость температуры от времени имеет вид кривых на рис. 4.4.

Рис. 4.4