13. Элементы теории ошибок измерений

13.1. Классификация и свойства ошибок геодезических измерений

Восприятие органами чувств явлений окружающего мира происходит у человека неполно и неточно (расстояние и вес «на глаз»). Поэтому для уточнения и расширения представлений о мире он использует различные инструменты и приборы (определение формы и размеров Земли – космические аппараты, измерение углов – теодолит, расстояний – дальномер и т.д.). Но и такие измерения не идеальны. Поэтому истинное значение измеренных величин, за редким исключением, нам неизвестно, хотя к нему мы все время приближаемся по мере совершенствования приборов и навыков. Определением величины ошибок и их свойств занимается специальная дисциплина «Теория ошибок геодезических измерений».

В практике различают 3 вида ошибок:

а) грубые – получаются в результате грубых просчетов и неисправности приборов (просчет количества лент в длине линии, ошибка в отсчете десятков градусов на лимбе или числа дециметров на рейке). Они могут быть обнаружены и исключены путем повторного измерения величины;

б) систематические – проявляются регулярно, обязательно в каждом измерении и обязательно одинаковы по модулю и знаку. Они вызваны в основном плохой юстировкой или неисправностью инструментов и приборов (20- метровая лента короче на 1см, коллимационная ошибка в теодолите, угол i (величина х) в нивелире и др.). Исключаются из результатов измерений введением поправок и специальной методикой измерений (углы β при КП и КЛ, при нивелировании плечи делают равными, в длины линий вводят поправки за компарирование);

в) случайные – являются следствием несовершенства органов чувств человека и недостаточной точности применяемых инструментов и приборов. Они не могут быть исключены из результатов измерений, но их влияние может быть ослаблено на основе изучения их свойств.

Если Х – истинное значение измеряемой величины, ℓ – измеренное значение, то случайная ошибка ∆ выражается формулой:

∆=ℓ–Х.

Если одна и та же величина измерена несколько раз, то и количество ошибок будет большим. Получается ряд ошибок. Если измерения производятся приборами одинаковой точности, наблюдателями одинаковой квалификации, в одинаковых окружающих условиях, то они называются равноточными. При нарушении указанных условий измерения называются неравноточными.

В основу изучения случайных ошибок положено 4 их свойства, выведенных из изучения рядов ошибок равноточных измерений.

1. При данных условиях измерений случайные ошибки не могут превосходить по абсолютной величине известного предела (свойство ограниченности).

2. Одинаковые по абсолютной величине положительные и отрицательные случайные ошибки равновозможны, одинаково часто встречаются в ряду измерений.

3. Чем больше абсолютная величина случайной ошибки, тем реже такая ошибка встречается в ряду измерений.

4. Среднее арифметическое из случайных ошибок равноточных измерений одной и той же величины имеет тенденцию стремиться к 0 при неограниченном возрастании числа измерений (свойство компенсации). Математически это записывается так

; – знак гауссовой суммы,

при n→ ∞.

Если соблюдены все четыре свойства в ряде ошибок, то говорят о «нормальном распределении».

5. Если

∆₁ … ∆_n – 1-й ряд измерений

∆₁' … ∆_n' – 2-й ряд измерений,

то 4-е свойство распространяется и на сумму попарных произведений, то есть

, при n→ ∞.