6.4Обработка результатов косвенных измерений

При косвенных измерениях искомая величина находится расчетом на основе измерения других величин, связанных с измеряемой величиной известной зависимостью

(6.15)

Результатом косвенного измерения является оценка величины А, которую находят подстановкой оценок аргументов а_i в формулу (6.15).

Задача оценивания погрешности результата решается с учетом вида зависимости , а также с учетом отсутствия или наличия связи (корреляции) между погрешностями аргументов. Вид функциональной зависимости должен быть известен из теоретических предпосылок или установлен экспериментально и, как правило, является нелинейной функцией своих аргументов.

Согласно рекомендации государственной системы обеспечения единства измерений МИ 2083-90 [22], следует различать три случая:

1. линейная зависимость и отсутствие корреляции между погрешностями измерений аргументов;

2. нелинейная зависимость и отсутствие корреляции между погрешностями измерений аргументов;

3. коррелированные погрешности измерений аргументов при наличии рядов отдельных значений измеряемых аргументов.

Рассмотрим последовательно методику обработки результатов косвенных измерений при отсутствии и наличии корреляции между погрешностями измерений аргументов.

6.4.1Косвенные измерения при отсутствии корреляции между погрешностями измерений аргументов

Рассмотрим нелинейную зависимость как более общую зависимость, частным случаем которой является линейная зависимость .

Любую нелинейную функцию можно разложить в ряд Тейлора по малым приращениям аргументов , в качестве которых можно рассматривать абсолютные погрешности измерений аргументов, если только значения этих погрешностей достаточно малы по сравнению с измеряемыми величинами:

, (6.16)

где - функциональная зависимость измеряемой величины А от измеряемых аргументов ; - первая производная от функции f по аргументу a_i, вычисленная в точке ,де аргументы имеют значения среднего арифметического результатов их измерений; - отклонение результата измерения аргумента от его среднего арифметического; - остаточный член.

Остаточным членом пренебрегают, если выполняется условие

, (6.17)

где - среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей результата измерения -го аргумента.

Для оценки результата и погрешности косвенного измерения рекомендуется использовать метод линеаризации, согласно которому измерямую величину представляют в виде ряда (6.16), тогда за результат измерения берется величина , вычисленная по формуле

, (6.18)

Среднее квадратическое отклонение случайной погрешности результата косвенного измерения вычисляют по формуле

. (6.19)

Доверительные границы случайной погрешности результата косвенного измерения при заданной доверительной вероятности Р =  и при условии, что распределения погрешностей результатов измерений соответствуют нормальному закону, вычисляют по формуле

(6.20)

где t – коэффициент Стьюдента; –оценка среднего квадратического отклонения результата измерения.

Коэффициент t распределения Стьюдента для среднеквадратического отклонения величины, являющейся функцией многих измереннных аргументов, зависит от выбранной доверительной вероятности Р и числа степеней свободы f_эф . Число степеней свободы вычисляется по формуле

f_эф = , (6.21)

где - число измерений при определении аргумента . Для вычисления доверительного интервала случайной ошибки измерения стандартом рекомендовано значение доверительной вероятности Р=0,95. В случаях, когда измерение нельзя повторить или когда результат измерения важен для здоровья людей рекомендуется принимать Р=0,99.

Границы неисключенной систематической погрешности результата косвенного измерения оценивают по заданным границам неисключенных систематических погрешностей измерений аргументов и заданной доверительной вероятности Р

(6.22)

где k – поправочный коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью и числом аргументов m. При доверительной вероятности P=0,95 значение коэффициента k принимают равным 1,1.

Так же как и в случае прямых измерений, критерием существенности неисключенной систематической погрешности является отношение . Если <0,8, то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если >8, то случайной погрешностью по сравнению с систематической пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата . Если значение отношения находится между 0,8 и 8, то границы погрешности результата, в соответствии со стандартом, допускается вычислять по формуле (6.10).

При симметричной доверительной погрешности результат косвенных измерений представляют в форме:

(6.23)

Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности .