1. Визначення закону розподілу випадкової величини

Треба проранжувати ряд вихідних даних

Ранжуванний ряд
20	29	40	49
20	29	41	50
20	31	41	52
22	31	41	52
22	31	41	52
22	31	41	53
22	32	41	55
25	32	41	55
26	32	43	55
26	34	43	58
26	35	43	58
26	35	43	60
26	35	44	60
26	36	44	62
26	36	44	64
29	37	45	65
29	37	45	70
29	38	46	70
29	38	46	70
29	38	48	80

1. Число інтервалів (m) визначається за формулою Стерджіса:

m=1+3,322logn,

де n=80 - обʼєм вибірки

m=1+3,322log80=7,322

2. Величина інтервалу (крок) визначається згідно формули:

,

де x_max=80 - максимальне значення оцінки; x_min=20 - мінімальне значенння оцінки; m=7,332 - число інтервалів

k = (80 – 20) / 7,322 = 8,194

3. Визначаємо частоту - кількість значень що потрапляють в інтервал.

Далі усі розрахунки будемо приводити на прикладі першого інтервалу

n_i = 15

4. Визначаємо відносну частоту згідно формули:

w_i = n_i / n,

де n_i=15 - частота; n=80 - обʼєм вибірки

w_i = 15 / 80 = 0,1875

5. Результати побудованих інтервалів і підрахунок частот і відносних частот оформлюємо у вигляді таблиці ( таблиця 1.1)

Таблиця 1.1 - Визначення частот по інтервалах

№ інт	Інтервал		Частота	Відносна частота wi=ni/n
	xi	xi+1	ni
1	20	28	15	0,1875
2	28	36	18	0,225
3	36	44	19	0,2375
4	44	52	10	0,125
5	52	60	9	0,1125
6	60	65	4	0,05
7	65	73	4	0,05
8	73	81	1	0,0125
Сума			80	1

6. За отриманими данними (таблиця 1.1) будуємо гістограмму (рисунок 1.1)

Рисунок 1.1 - Гістрограмма розподілу відносних частот вибірки

7. Висуваємо гіпотезу Н₀ про нормальність розподілу вибірки. Для перевірки гіпотези розподілу необхідно знайти точкові оцінки параметрів розподілу.

8. Визначаємо вибіркову середню за формулою:

де x_i=20 - початкове значення інтервалу; x_i+1=28 - кінцеве значенння інтервалу.

9. Визначаємо середню варіаційного ряду за формулою:

a_i = x_i * w_i,

де xi = 24 - вибіркова середня; wi =0,1875 – відносна частота;

a_i = 24 * 0,1875 = 4,5

a = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ ;

а= 4,5 + 7,2 + 9,5 + 6 + 6,3 + 3,125 + 3,45 + 0.9625 = 41,0375.

10. Розрахунок інтервальної дисперсії (за строками) згідно формули:

s_i² = (x_i – a)^2 * w_i ,

де x_i = 20 - вибіркова середня інтервалу; a = 41,0375 - середня варіаційна інтервалу; w_i = 0,1875 – відносна частота інтервалу;

s₁² = (20 – 41,0375)^2 * 0,1875 = 54,4268 ;

s² = s₁² + s₂² + s₃² + s₄² + s₅² + s₆² + s₇² + s₈² = 182,599.

11. Розраховуємо середньоквадратичне відхиленная ряду згідно формули:

S = √182,599 = 13,513

12. Розраховуємо аргументи інтегральної функції Лапласа:

(x_i - a) / s = (20 – 41,0375) / 13,513 = - 1,5568;

(x_i+1 - a) / s = (28 – 41,0375) / 13,513 = - 0,9648.

x_i=20 - початкове значення інтервалу; x_i+1=28 - кінцеве значення інтервалу; a=41,0375 - середня варіаційного ряду; s=13,513 - середньоквадратичне відхилення ряду.

13. За таблицями значень знаходимо значення функцій Лапласу:

Ф ((x_i - a) / s ) = Ф ( - 1,5568) = Ф (1,5568) = - 0,43943;

Ф ((x_i+1 - a) / s ) = Ф ( - 0,9648) = Ф (0,9648) = - 0,33147.

14. Розраховуємо ймовірність попадання випадкової величини в відповідний інтервал за формулою:

Ф ((x_i - a) / s ) = - 0,4394;

Ф ((x_i+1 - a) / s ) = - 0,33147.

Pі = Ф ((x_i+1 - a) / s ) - Ф ((x_i - a) / s ) = - 0,33147 + 0,4394 = 0,10796 .

Сума у цьому стовпцю повинна бути наближена до 1.

∑ P_і = 0,93789.

15. Розраховуємо складову nР_i, яка входить до формули критерію ², де n=80 - обʼєм вибірки; Р_i=0,05979 - інтервальна ймовірність:

nР_i= P_і * n = 0,10796 * 80 = 8,6368.

16. Обʼєднаємо 6,7 та 8 інтервал через те, що частота у кожному з них 5. Частота та інтервальна ймовірність визначається як сума елементів 6,7 та 8 інтервалу.

17. Розрахунок ² за формулою:

де n_i=15 - частота; nP_i=8,6368

Х² = (15 – 8,6368)^2 / 8,6368 = 4,688115302

Сума цього стовпцю визначає _теорет²=9,250389562

18. Знаходимо число ступенів свободи за формулою:

v=c-3=6-3=3

19. По таблиці критичних значень _кр при рівні значущості а=0,05 і числі ступенів свободи 3 визначаємо _кр=7,8