Усі книги і методички

Величины Х, Y в равенстве (5.22) можно рассматривать как текущие координаты. Следовательно, оно представляет собой уравнение прямой линии в системе координат, где началом служит точка М, или уравнение линии положения.

Для определения поправок Х и Y к приближенным координатам необходимо произвести измерение, по крайней мере, двух функций и на основе этих измерений составить два уравнения линий положения, а именно:

Решение этих уравнений может быть осуществлено аналитическим или графическим способом. Решая систему уравнений аналитически, получим:

Имея значения поправок Х, Y, вычислим точные значения координат X, Y, соответствующие измеренному значению функций U1, U2.

Более простым является графоаналитический прием совместного решений уравнений двух линий положения. Здесь верное место корабля получают в точке пересечения линий положения, нанесенных на карту.

Для обоснования этого приема приведем предварительно уравнение линии положения (5.22) к

нормальному виду, разделив все его члены на a2 b2 . Обозначим результаты деления:

Из аналитической геометрии известно, что в этом уравнении:

п — длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую;

τ — угол, составленный направлением перпендикуляра п с положительным направлением оси X. Учитывая геометрический смысл указанных величин, графическое построение линии положения можно

осуществить следующим образом (рис. 19).

Рис. 19

Из приближенного места М (Хм, Yм) проводится линия под углом т к оси абсцисс, на которой откладывается отрезок МК=п. Через точку К проводится прямая АВ, перпендикулярная отрезку п. Эта прямая и является искомой линией положения. Следует иметь в виду, что, если оси X, Y совпадают с координатными осями проекции Гаусса, τ представляет собой дирекционный угол Т. Если же ось X совпадает с направлением меридиана Nист, то τ представляет собой азимут А перпендикуляра.

3.Градиенты функций А. Определение

Последнее выражение показывает, что если функция изменится на U, то изменится и величина п. Угол τ при этом останется неизменным,, потому что не изменяются коэффициенты а и b. Отсюда следует, что изменение функции U вызывает в окрестностях точки М лишь перенос линии положения на некоторую

где

Коэффициент пропорциональности g, определяющий зависимость между изменением функции U и смещением линии положения n, называется градиентом этой функции.

Решим (5.27) относительно g

Следовательно, градиент есть величина, показывающая, насколько изменится функция при смещении линии положения на единицу. Градиент является вектором и направлен по нормали к изолинии в сторону возрастания функции.

В общем случае производные а и b изменяются от точки к точке и поэтому градиент является переменной величиной. Модуль градиента равен производной от функции U по нормали n к изолинии

Производная от функции по любому направлению может быть выражена формулой

Отсюда следует, что при α = 0 модуль dU имеет наибольшее значение, т.е. градиент совпадает с dS

мы исследуем изменение функции вдоль направления изолинии, но известно, что на изолинии функция остается постоянной.

Поскольку градиент g есть вектор, а линия положения всегда нормальна к нему, то вполне однозначно определяется направление линии положения в окрестности определяемой точки.

С другой стороны, градиент характеризует величину перемещения линии положения с изменением функции. В самом деле, если функция изменилась, например, на величину U, а градиент этой функции известен, то по формуле (5.27) легко вычислить, на какую величину n сместится линия положения.

В связ и с тем , что при изучении способ ов опред еления места , а также при оценке точности градиенты функций играют очень важную роль и будут нами широко использоваться, выведем формулы градиентов для функций, наиболее употребляемых в гидрографической практике. Параллельно получим уравнения для соответствующих линий положения.

Б . Г р а д и е н т р а с с т о я н и я

Если измерено расстояние S между известной точкой А (Х1, Y1) и определяемой точкой Р (X, Y), то изолинией в этом случае будет окружность, описанная из точки А радиусом S (рис. 20).

Рис. 20 Уравнение изолинии — окружности с центром в точке А будет

Направление градиента получим, пользуясь формулой

Уравнение линии положения, т.е. касательной к окружности ра диуса SM, будет:

Чтобы построить линию положения, нужно из приближенной точки М по направлению τ = TM отложить отрезок n = S — SM и провести прямую, перпендикулярную к линии AM.

В . Г р а д и е н т р а з н о с т и р а с с т о я н и й

Пусть измерена разность расстояний SA — SB = 2r от определяемой точки Р (X, Y) до двух опорных пунктов А (Х1, Y1) и В (X2, Y2). Изолинией в этом случае будет гипербола, для которой опорные пункты А и В служат фокусами. Уравнение изолинии будет иметь вид

величины векторные, а вектор разности равен разности векторов, напишем

где gA, gB — градиенты расстояний SA и SB соответственно.

Рис. 21

Согласно формуле (5.29) градиент расстояния равен единице. Отложим из точки М гиперболы (рис. 21) по направлениям от пунктов А и В градиенты расстояний gA=gB=1. Концы векторов gA и gB (точки А ' и В ') с ое ди ни м п рям о й А ' В ' . О тр езо к А ' В ' р ав е н ге ом ет ри ч ес ко й разности векторов gA и gB, а значит, в

положения А"В" является одновременно и высотой и медианой. Следовательно, она делит основание треугольника и угол при вершине М пополам. Так как стороны МВ'А' построены на единичных градиентах (gA=gB=1), модуль градиента будет равен

Для построения линии положения точку М соединяем с фокусами гиперболы А, В и проводим биссектрису А" В" угла АMB = ω. Рассчитав смещение n, откладываем его в направлении, перпендикулярном биссектрисе угла ω, и получаем точку К. Через эту точку проводим искомую линию положения перпендикулярно линии МК.

Г. Градиент суммы расстояний Определение места корабля в принципе возможно также по измеренным значениям сумм расстояний

до двух пар береговых станций или комбинации суммы и разности расстояний по одной паре станций. Изолинией постоянной суммы расстояний является эллипс с фокусами в точках А, В и значением большой полуоси 2r = SA+SB, где SA и SB — расстояния до этих точек.

Градиент суммы расстояний равен геометрической сумме градиентов расстояний, т.е. диагонали параллелограмма, построенного на градиентах расстояний, равных единице. Графическое построение градиента эллипса gэ почти аналогично построению градиента гиперболы, но вместо разности градиентов (5.34) здесь находится их геометрическая сумма. Тогда окажется

где ω — угол, под которым усматривается база между береговыми пунктами. Направление градиента совпадает с биссектрисой угла ω, а линия положения ей перпендикулярна.

Д. Градиент направления

Пусть для определения места корабля, находящегося в точке К, измерены направления ТА, ТВ или углы α и β (рис. 22).

Обе изолинии совпадают с направлением визирования, являясь геодезическими линиями на сфероиде или ортодромиями на сфере.

Если расстояние между точками К и А, В невелико, то кривизной Земли можно пренебречь и решать задачу на плоскости. При этом изолиния и линия положения сливаются.

При прямой засечке корабля с береговых теодолитных постов погрешность наблюдений выражается в минутах (ΔТ = 1'), погрешность линии положения — в метрах, расстояние S — в километрах. Для подобной размерности будем иметь:

Аналогичным образом можно получить формулы для иных размер ностей S, Т, n. Следовательно, градиент направления в общем случае необходимо рассчитывать по формуле

где k — коэффициент, учитывающий размерности функции (Т), расстояния (S) и смещения линии положения

( n).

Относительно направления градиента отметим, что оно будет перпендикулярно измеренному

где U —приращение направления на поверхности сферы;

σ — сферическое расстояние от опорного пункта до точки определения места. Тогда

Так как направление ортодромии в определяемой точке отличается от направления в точке измерения на угол схождения меридианов γ то

τн = U + γ + 90°.

Рассмотрим также случаи, когда направление измеряется с корабля на опорный пункт. Пусть измерен пеленг А с корабля K на береговой пункт Р (рис. 23). Дуга большого круга σ пересекает меридиан наблюдателя под углом А. Градиент направления перпендикулярен к изоли нии КР. Если направление А изменить на величину А, то это будет обозначать перемещение корабля в точку К' и тогда разность направлений А и А + А образует при пеленгуемом береговом пункте некоторый малый угол β. Из элементарных треугольников КК.'Р и KNP следует:

Е. Градиент горизонтального угла Изолинией горизонтального угла α, измеренного в определяемой точке Р между двумя

опорными пунктами А и В, является окружность, проходящая через эти три точки (рис. 24).

Рис. 24

Угол α можно рассматривать как разность направлений на правый и левый опорные пункты,

т.е.

α= ТВ — ТА.

Всилу этого по формуле градиента разности мож но написать

Для определения модуля градиента произведем следующие вспомогательные построения. Отложим значения градиентов направлений РА и РВ не перпендикулярно линиям положения Р А и Р В , а р а з в е р н ут ы м и на 90°, т.е. вдоль линий положения. Тогда замыкающий вектор А'В' будет представлять собой градиент горизонтального угла, но тоже: развернутый на 90°.

Из А'В'Р можно написать

При наших построениях градиенты направлений откладывались развернутыми на 90°, значит, направление вектора А'В' также составляет угол 90° с истинным направлением градиента горизонтального угла α. Из этого следует, что линия А'В' параллельна линии положения горизонтального угла α в точке Р.

Расчетные формулы градиента угла, как и направления, должны учитывать размерности смещения линий положения и углов, что достигается введением коэффициентов k, аналогичных коэффициентам

графическое определение координат можно осуществлять путем построения сеток линий положения. Такие сетки получили название микросеток.

Математической основой построения сеток изолиний служат уравнения аналитической геометрии, которые позволяют рассчитывать и наносить изолинии на планшеты. Однако даже в случае весьма тщательных построений средняя квадратическая погрешность нанесения изолинии может достигать 0,4 - 0,6мм, а точка пересечения двух изолиний получит смещение:

При благоприятных условиях, когда Θ = 90°, среднее квадратическое смещение точки пересечения двух изолиний относительно истинного места достигает 0,7мм, т.е. графическая точность получения места сравнительно невысока. Основным достоинством этого метода явля ется быстрота получения своего места, что и определило широкое использование его как в навигации, так и в гидрографии.

Изготовление сеток изолиний составляет значительную долю в работах подготовительного периода и при обработке результатов гидрографических исследований. Иногда удается нанести изолинии на планшет весьма простыми графическими приемами, например вычерчива нием прямых линий или окружностей. Однако часто изолинии являются сложными кривыми и тогда для их нанесения приходится пользоваться так называемым общим приемом.

Сущность общего приема построения сеток состоит в расчете коор динат ряда точек на каждой изолинии с последующим соединением этих точек плавной кривой. Предложено большое количество приемов расчета точек изолиний для каждого из указанных выше способов опре деления места. Универсальным и, как правило, более экономичным оказался прием преобразования полярных координат точек изолиний в прямоугольные относительно рамок планшета или карты.

Общий прием построения сеток изолиний по точкам сопряжен с большим объемом вычислительных работ. Естественно поэтому обратиться к возможностям ЭВМ и разработать универсальный алгоритм, который позволял бы единообразно вычислять сетки изолиний в различных способах определения места.

Положение любой текущей точки М изолинии однозначно фиксируется на плоскости парой местных прямоугольных координат ψ, η (рис. 26).

Рис. 26 В такой системе координат направление ординаты совпадает с направлением базы, ось абсцисс нормальна к базе, а начало приходится на левый опорный пункт.

Координаты ψ, η могут быть легко получены по значениям задаваемых функций (S, 2r, α) и постоянным параметрам (длина базы So, дирекционное направление Т12). Так, например, при построении изостадий известными будут расстояния S1, S2. Тогда координаты ψ, η можно получить по формулам

Переход от местной системы к системе прямоугольных координат Гаусса состоит в повороте координатных осей на угол, равный дирекционному направлению базы, и записывается известными формулами аналитической геометрии

Для прокладки точек на планшет целесообразно вычислять отрезки х, у относительно SW угла рамки. Тогда координаты текущих точек изолиний (например, в миллиметрах) можно представить для всех видов

где т — масштабный коэффициент.

Автоматические координатографы и графопостроители по результатам расчетов на ЭВМ вычерчивают изолинии в автоматическом режиме с заданной точностью при условии необходимой плотности точек на планшете.

Нанесение точек с помощью обычных механических координатографов завершается вычерчиванием изолиний с помощью лекал, гибких линеек или иных приспособлений. Тщательность и точность этих работ определяют, в конечном итоге, точность изготовленных сеток изолиний и точность прокладки мест в процессе съемки подводного рельефа. Конкретные приемы расчета сеток изолиний в каждом способе определения места изложены в гл. 6 - 10. Ниже рассматриваются лишь общие вопросы, относящиеся к методике расчетов и построений любых сеток.

2. Допустимые расстояния между изолиниями Для обеспечения точного нанесения места по сеткам изолиний необходимо, чтобы расстояния между

соседними изолиниями находились в пределах 1 - 2см.

Большой объем вычислительной работы при построении сеток на планшетах может быть сокращен, если рассчитывать не каждую изолинию, а лишь некоторые из них, называемые в дальнейшем основными. Последующее сгущение производят методом линейного интерполирования, при котором нормаль между двумя основными изолиниями делят на равные промежутки.

Возникает естественный вопрос о допустимом расстоянии между основными изолиниями. Если бы смещение данной изолинии было линейным, т.е. если бы одному и тому же приращению функции U на любом участке планшета соответствовало одинаковое смешение изолиний n, то метод линейного интерполирования можно было бы применять неограниченно. В таком случае достаточно нанести на планшет по расчетам лишь две основные крайние изолинии, а все промежуточные довольно точно и просто отыскались бы графически.

Так и поступают на практике, например при построении стадиометрических сеток, когда измеряемой функцией является расстояние S, а градиент расстояния gs=1. Для этого случая всегда n = S, т.е. смещение изолинии происходит по линейному закону и мы вправе при проведении промежуточных изостадий пользоваться методом линейного интерполирования неограниченно.

Иное дело, когда смещение изолинии n происходит нелинейно, т.е. когда градиент данной функции изменяется от точки к точке по какому-либо сложному закону. Для достижения абсолютной точности при построении таких сеток необходимо было бы рассчитывать каждую наносимую изолинию, так как линейное интерполирование будет неизбежно приводить к некоторым погрешностям. Однако, как правило, мы не стремимся к абсолютной точности и пользуемся избранным способом до тех пор, пока его погрешность не превышает какой-либо наперед заданной величины. При построении сеток изолиний в качестве такой величины считают графическую точность нанесения точек на карту δК = 0,2мм. Применительно к нашей задаче это значит, что методом линейного интерполирования можно пользоваться при построении любых сеток изолиний, но лишь до тех пор, пока погрешность интерполирования не будет превышать 0,2мм.

Расстояние п между основными изолиниями, при котором проведение промежуточных методом линейного интерполирования не приводит к погрешностям, большим 0,2мм, можно получить аналитически. Однако на практике аналитические расчеты не производят, а, руководствуясь опытом, строят основные изолинии на расстояниях друг от друга, не больших 6 - 10см.

Промежуточные изолинии проводят затем так часто, чтобы расстояние между ними находилось в пределах 1 - 2см, а навигационные параметры, которым они соответствуют, были при этом кратными какомулибо круглому числу.

При вычислении сеток на электронных вычислительных машинах и нанесении точек на планшеты с помощью автоматических координатографов рассчитывают и наносят по координатам точки всех изолиний, а не только основных.

3. Допустимые расстояния между точками изолинии При построении сеток изолиний на планшетах в общем случае сначала аналитически рассчитывают

прямоугольные координаты ряда точек изолинии, а затем соединяют их плавной кривой. Очевидно, чем больше точек заданной изолинии будет рассчитано, тем точнее будет проложена она на планшете. Но расчеты эти обычно трудоемкие и занимают много времени, поэтому, естественно, стремятся их сократить и проводить