Усі книги і методички

Совместным решением этой пары уравнений получим поправки ΔX. Y.

Погрешность поправок ΔX', Y' зависит от удаления счислимой точки М от истинной. Поэтому критерием точности расчета может служить абсолютное значение самих поправок. Установим необходимую точность е координат определяемой точки и применим ее в качестве предела итерации. Введем в

Если условие (6.19) выполнено, рассчитаем координаты определяемой точки

X'p = XM + ΔX'; Y'p = YM + ΔY'

Если условие (6.19) в первом цикле расчетов не достигнуто, организуем новый цикл, приняв в качестве приближенных координат X'p, Y'p.

При достижении условий (6.19) расчеты заканчиваются и последняя пара координат X'p, Y'p передается на печать в качестве окончательных.

При наличии избыточных направлений Ti вычисление координат осуществляется методом наименьших квадратов по общим формулам, рассмотренным в § 27.

§ 30. РАСЧЕТ И ПОСТРОЕНИЕ СЕТОК ЛУЧЕЙ

При определении места прямой засечкой по двум направлениям изолиниями измеряемых направлений будут прямые, соединяющие опорные пункты с определяемыми точками и получившие название лучей.

Существует несколько способов построения сеток лучей в зависимости от расположения опорных пунктов относительно рамок планшета и точности, с которой мы стремимся осуществить эти построения. Если опорные пункты помещаются на планшете или находятся недалеко за его рамками, то это построение можно осуществить с помощью протрактора или по таблицам хорд.

В тех же случаях, когда опорные пункты находятся за пределами планшета, а также всегда, когда необходимо сделать решение наиболее точным, сетку лучей целесообразно строить по точкам пересечения лучей со сторонами рамки планшета. Так как в этом случае расстояние между точками, по которым проводят направление, будет максимально возможным, точность построения будет наибольшей.

Любой луч (направление), проходящий через планшет, пересекает две стороны его рамки. Но вдоль любой рамки одна из координат X или Y остается постоянной. Следовательно, для отыскания положения луча необходимо и достаточно рассчитать лишь две координаты.

Выведем формулы, позволяющие рассчитывать положение точек пересечения лучей со сторонами рамки планшета.

Рис. 31

На рис. 31 обозначены:

Р — опорный пункт, с которого проводят лучи; Т — дирекционный угол луча;

Хр, Yp — координаты опорного пункта;

Xs, ХN; Yw, YE — абсциссы и ординаты сторон рамки планшета;

Е, F, К, L — точки пересечения луча со сторонами рамки планшета или их продолжением.

Произведем следующие вспомогательные построения. Через точки Е, F, K и L, а также точку Р проведем линии, параллельные осям координат. В результате этого построения образовались треугольники PRE, PBF, РСК, PDL, которые можно использовать для определения координат пересечения лучей со

сторонами рамки.

Обратимся сначала к ∆PRE. В точке Е луч пересекается с продолжением западной стороны рамки планшета и, следовательно, известна ордината Yw точки Е. Абсциссу точки Е обозначим через XW. Из рисунка вытекает

В точке F луч пересекается с южной стороной рамки, абсцисса ХS которой известна. Обозначим ординату точки F через YS и напишем выражение для нее из ∆PBF

YS=YP+ BF = YP + PBtgT

или

YS = YP + (XS - XP)tgT.

По аналогии, обозначив абсциссу точки L через XE, а ординату точки К через YN, из треугольников PDL и РСК соответственно напишем:

XE = XP + (YE - YP)ctgT;

YN = YP + (XN – XP)tgT.

На планшете удобно откладывать не абсолютные значения координат, а их приращения относительно, например, SW угла рамки, обозначенного на рис. 31 индексом 0. Для этого необходимо привести полученные формулы к новому началу координат по правилам аналитической геометрии, а именно: вычесть из них соответствующие координаты SW угла (XS или YW):

Полученные по этим формулам значения xW, xE, yS, yN после перевода в масштаб планшета представляют собой отрезки, которые удобно откладывать вдоль сторон рамки от SW угла. Какая именно пара координат необходима для заданного луча, определяют при помощи вспомогательной схемы.

Для удобства пользования сеткой линии лучей на рабочей части планшета должны располагаться на расстоянии n = 10 — 15мм одна от другой. Чтобы выдержать такие интервалы на всем планшете, работу по построению сетки лучей начинают с предварительных расчетов. Для этого на миллиметровой бумаге готовят вспомогательную схему в более мелком масштабе, с тем чтобы на ней поместились рамка планшета и опорные пункты.

Через опорные пункты, являющиеся вершинами сетки лучей, проводят предельные лучи Tmax и Tmin измеряя их направления при помощи транспортира с точностью до 1°. Кроме того, измеряют циркулем расстояния rmах от этих опорных пунктов до наиболее удаленных углов рамки планшета, находящихся в секторе дирекционных углов. Если обозначить знаменатель численного масштаба схемы через ССX, а планшета — СПЛ, то соответствующие расстояния на планшете получим из выражения

Теперь легко рассчитать угловой интервал между лучами по заданному расстоянию п между ними

Величина δТ округляется до десятков минут или до целых градусов.

Лучи наносятся на планшет по точкам пересечения их с рамками на основе расчета отрезков по формулам (6.21). Оцифровка лучей производится в примычных углах или дирекционных направлениях в зависимости от того, какой угол будет измеряться на данном теодолитном посту. Вычерчивают лучи тушью различного цвета, например красной — для левого, а зеленой — для правого опорного пункта.

Вместо расчета лучей по формулам (6.21) иногда удобно строить их путем выбора координат точек, лежащих на заданных лучах Т в расстоянии R от опорного пункта. Такие координаты для круглых значений R и Т приводятся в специальных таблицах.

Глава 7

на минутные деления и, следовательно, предельная погрешность отсчета не превышает 0,5', а средняя квадратическая mОТС = 0,3'.

Наконец, заметное влияние оказывают инструментальные погрешности, связанные с конструкцией и тщательностью изготовления деталей секстана. Конструктивные погрешности указываются в аттестате приборов. Остаточная их величина оценивается средней квадратической погрешностью mИН, не превышающей обычно 0,5'.

Следовательно,

m O 0,04 0,09 0,25 0,6 .

Многочисленные наблюдения на берегу подтверждают этот результат.

Что же касается наблюдений на подвижных платформах, то за счет дополнительных погрешностей совмещения действительные погрешности измерения углов оказываются несколько большими. Установлено, что при измерении углов с судов, стоящих на якоре или лежащих в дрейфе, средняя квадратическая погрешность достигает ±1', а при измерении с движущихся судов ее следует принимать равной ±2'.

3. Погрешности определения места из-за неодновременности измерения углов

Предположим, что в процессе промера судно движется вдоль галса по прямой линии Р1, Р2 (рис. 33).

Рис. 33

Если горизонтальные углы α и β будут измерены неодновременно, возникает погрешность, величину которой можно отыскать, пользуясь известными формулами метода линий положения.

Пусть угол α измерен в момент t1, когда судно находилось в точке Р1, а угол β — в момент t2, когда оно уже переместилось в точку Р2. За время t2 — t1 = Т линия положения угла β сместилась на величину n, которая, как видно из рисунка, равна

п = Ssinγ,

где S = V t — путь, пройденный судном за время t по галсу;

γ — угол пересечения галса с линией положения угла β.

Очевидно, что в результате прокладки мы получим точку Р, которая будет находиться на расстоянии l от точки Р1. Величину l легко найдем по формуле

l n sin

где Θ — угол пересечения линий положения.

Погрешность l из-за неодновременности измерения углов может существенно ухудшить точность определения места обратной засечкой.

Поэтому для измерения углов выделяются два наблюдателя, которые производят измерения углов одновременно по команде руководителя группы.

Приведение углов, измеренных секстаном, к горизонту С помощью секстана измеряют углы между вершинами опорных пунктов, которые располагаются,

как правило, на различных горизонтальных плоскостях. Вполне очевидно, что измеренный таким образом угол отличается от проекции его на плоскость истинного горизонта. Это отличие будет тем больше, чем меньше расстояния до опорных пунктов и чем больше высота этих пунктов.

Следовательно, если плавание совершается вблизи берега, а место необходимо знать с высокой точностью, то нельзя пренебрегать разностью между измеренным углом и горизонтальным углом между точками проекции опорных пунктов на поверхность эллипсоида (шара). Решим аналитически задачу, позволяющую вычислять поправку для приведения углов к горизонту.

Рис. 34

На рис. 34 приняты следующие обозначения: Р — место наблюдения;

Z — зенит наблюдателя;

А, В — проекции опорных пунктов на уровенную поверхность; А', В' — действительное положение опорных пунктов на местности; h1, h2 — высоты опорных пунктов над уровенной поверхностью;

РА = d1, РВ = d2 — расстояния от наблюдателя до опорных пунктов;

Zm, Zn — вертикалы, плоскости которых проходят через вершины опорных пунктов;

α — мера горизонтального угла между проекциями опорных пунктов; αн — мера измеренного угла между вершинами опорных пунктов;

а, b — вертикальные углы, величину которых можно получить из выражений: tga = h1/d1; tgb = h2/d2.

Тогда поправку Δα = α — αH можно получить из выражения

Δα = arccos (cosαH seca secb — tga tgb) — αH. (7.2)

По формуле (7.2) составлены Таблицы для приведения углов, измеренных секстаном, к горизонту, которые помещены в некоторых пособиях. Из этих таблиц поправки Δα выбираются по аргументам: высоты пунктов h1, h2, расстояния до пунктов d1, d2 и измеренный угол αH.

Для вычисления поправок Δα с помощью электронных вычислительных машин формула (7.2) неудобна. Произведем некоторые преобразования формулы, учитывая, что

Поправки Δα можно получить также с помощью номограмм. По малости угловых высот точек А' и В' разложим тригонометрические функции sin и cos в формуле (7.1) в ряд и, ограничиваясь величинами второго порядка, после некоторых преобразований получим:

где Δα — получают в дуговых минутах, а углы а и b даны в градусах. По этой формуле построена номограмма поправок Δα.

Поправки для приведения углов, измеренных секстаном, к горизонту вводят при обработке в том случае, если из-за их неучета линейное смещение точек определений на планшете будет более 1мм.

5. Оценка способа Обратная засечка является надежным способом определения места на прибрежной съемке. Ее

широкое применение обусловлено высокой автономностью, удобным и надежным измерительным устройством, простой организацией. Этот способ не требует выделения личного состава на береговые пункты; измерения выполняются непосредственно на судах, а результаты измерений сразу же передаются для прокладки на планшеты.

Обратной засечке присущи недостатки, характерные для всех зрительных способов: зависимость от метеорологических условий и невозможность измерений при больших удалениях от опорных пунктов. Как правило, при прочих равных условиях, для обеспечения определений обратной засечкой требуется более густая сеть опорных пунктов, чем при прямой засечке.

Точность определения места обратной засечкой ниже, чем прямой, но для выполнения гидрографических исследований на планшетах обычных масштабов вполне приемлема.

Обозначим средние квадратические погрешности измерения углов через mα и mβ. Смещение изолиний под воздействием этих погрешностей получим по известным формулам

На практике точность измерения обоих углов одинакова и обозначается через т, следовательно,

Модуль градиента горизонтального угла равен

Если положить m = 2', расстояния выражать в километрах, а среднюю квадратическую погрешность М получать в метрах, то после подстановки значений градиентов получим следующую формулу, позволяющую оценить точность обратной засечки

6. Случай неопределенного решения Когда все четыре точки: три исходные А, В, С и одна определяемая Р окажутся на одной окружности

(рис. 35), задача будет неопределенной. Действительно, искомое место в этом случае можно считать в любой точке окружности, так как в каждой из них углы α и β будут оставаться неизменными: угол, опирающийся на дугу ВС, всегда будет равен β, а угол, опирающийся на дугу АВ, всегда будет равен α.

Рис.36 Пусть даны три опорных пункта А, В, С и определяемая точка Р. Точки А', В', С'' построим как

инверсии точек А, В, С и, соединив их, получим инверсионный треугольник. Согласно формуле (5.40), модуль градиента направления обратно пропорционален расстоянию. Следовательно, отрезки РА', РВ', PC' представляют собой градиенты соответствующих направлений gA, gB, gC развернутые на 90°.

Градиент угла равен разности градиентов направлений, и тогда

Таким образом, стороны инверсионного треугольника являются градиентами противолежащих углов в данной комбинации пунктов.

В связи с тем, что градиенты направлений при построении инверсионного треугольника были развернуты на 90°, градиенты углов gα, gβ также развернуты на 90° и, значит, совпадают с линиями положения. Отсюда следует, что угол при точке В' есть угол Θ пересечения линий положения.

Опустим перпендикуляры: h1 из точки А' на сторону С'В' и h2 из точки С' на сторону А'В'. Пользуясь рис. 36, напишем:

Подставив полученные выражения градиентов в формулу (7.5), получим

Инверсионный треугольник позволяет делать выводы относительно достоинства данной комбинации опорных пунктов. Уравнение (7.7) показывает, что средняя квадратическая погрешность определения места тем меньше, чем больше высоты инверсионного треугольника и, следовательно, чем больше его площадь.

Таким образом, построив при определяемой точке инверсионные треугольники для всех возможных комбинаций опорных пунктов, в качестве наиболее выгодной следует принять такую комбинацию, для которой площадь треугольника наибольшая. В избранной комбинации пунктов желательно измерять такую пару углов, при которой погрешность М, полученная по формуле (7.7), будет минимальной.

§ 32. ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ ТОЧЕК ОПРЕДЕЛЕНИЙ

1. Метод преобразования полярных координат Пусть в точке Р были измерены два горизонтальных угла α, β, между опорными пунктами А, В, С.

Координаты опорных пунктов, расстояния между ними и дирекционные направления баз известны. Изберем полюс полярной системы координат в пункте В, обозначим длину стороны ВР через 2r, а дирекционное направление ее через ТВР (рис. 37).

Проведем окружности, вмещающие углы α и β. Центры окружностей обозначим через O1 и O2, а радиусы через R1 и R2. Сторона ВР соединяет точки пересечения окружностей и носит название радикальной оси. Она перпендикулярна к линии O1, O2, соединяющей центры окружностей, и делится последней пополам. Таким образом, для решения уравнений (7.8) необходимо найти длину радикальной оси 2г и дирекционное направление этой оси ТВР.

На рис. 37 обозначены: d1, d2, — длина баз;

Т'ВА, Твс — дирекционные направления баз; В — угол между направлениями баз ВС и В А;

φ — угол между направлениями из пункта В на центры окружностей; ψ — угол между радикальной осью и радиусом R1;

r — полудлина радикальной оси;

К — точка пересечения радикальной оси с линией, соединяющей центры окружностей.

Сначала найдем длину радикальной оси 2r. С этой целью напишем уравнения вмещающих окружностей в полярных координатах, учитывая, что полюс В лежит па окружности и полярная ось совпадает с направлением радиуса ВО1 = R1:

B 180 .

Отыщем значение угла ψ, для чего приравняем правые части равенств (7.9) и произведем очевидные преобразования:

2R1 cos 2R2 cos( );

2R1 cos 2R2 (cos cos sin sin );

2R1 cos ctg ; 2R2

Теперь все величины, входящие в уравнение (7.8), известны. Контроль окончательного решения можно осуществить сравнением дирекционных направлений ТРА, полученных из выражений

2. Вычисление по формулам прямой засечки

Наличие угла ψ, вычисляемого по формуле (7.10), позволяет, как это видно из рис. 37, отыскать угол v между направлением стороны ВР и базой ВА (∆АВР)

ν = ψ + (90° - α).

Поскольку угол α при вершине Р треугольника задан, то легко получить третий угол τ (при вершине А)

τ = 180° — (α + ν) = 90° — ψ.

Теперь по аналогии со способом прямой засечки получим значение D2=2r

Значение D2 и полученное ранее по (7.11) дирекционное направление TBP используем для подстановки

в (7.8)

Полученные простые формулы удобны для разработки непрерывной программы и легко реализуются на микрокалькуляторах.

Оценка точности текущих координат осуществляется с помощью средней квадратической погрешности М. Формула (7.6) для этой цели непригодна, так как основана на графическом снятии или дополнительных расчетах расстояний D1, D2, D3. Между тем рассмотренный выше алгоритм вычисления координат обратной засечки позволяет вывести новую формулу, расчеты в которой производятся по величинам, уже известным.

Для этого вынесем в (7.6) D2 за знак корня, а отношения (D1 : d1) и (D3 : d2) заменим отношением синусов противоположных углов в треугольниках РАВ и РВС. После несложных преобразований получим

где

Θ= В + α + β — 180°, v = ψ — α, ω = Θ — (ψ + β).

3.Вычисление по формулам тангенсов

Вгидрографических подразделениях для получения координат отдельных точек используют также некоторые формулы, разработанные в прошлые годы применительно к механическим вычислительным машинам. Чаще всего для этой цели используют формулы, известные под названием формул тангенсов. Они позволяют получить координаты как точку пересечения дирекционных направлений, проложенных из определяемого пункта Р на опорные. Согласно рис. 37 такими направлениями являются TPA, TPB, ТPС. Если хотя бы одно из этих направлений (например, TPA) известно, то другие получить весьма просто:

TPB = TPA + α;

ТPС = TPA + (α + β) = TPA + γ.

Расчетное уравнение для вычисления исходного направления ТРА записывается следующим образом

Координаты определяемой точки Р можно получить как точку пересечения какой-либо пары