Усі Лекції і методички із ВНС
.pdf5
|
t |
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
12 |
|
|
g0 |
|
|
||
A 1 t2 |
t2 |
|
; |
G g |
1 |
|
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
t |
|
t |
2 |
|
g2 |
|
|
|||
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
l1 |
|
|
|
|
l |
2 |
|
|
L |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
v1 |
|
|
||
v |
2 |
|
|
|
V |
|
. |
(8) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
vn |
|
|
||
Кількість рівнянь (спостережень) n завжди значно більше кількості невідомих коефіцієнтів k=3, тому отримання однозначного розв’язку можливе під умовою принципу найменших квадратів
|
n |
|
|
vi2 V T V min . |
(9) |
|
i 1 |
|
Під цією умовою утворюємо систему нормальних рівнянь виду |
|
|
|
AT A G ATL 0 , |
(10) |
де T – символ транспонування. Розмірність матриці коефіцієнтів нормальних рівнянь AT A – |
||
(3, 3), а вектора вільних членів |
A T L - (3, 1). Розв’язати систему нормальних рівнянь (10) |
|
можна способом Гауса [ ], визначників, або оберненої матриці [ ]. Нижче наведено алгоритм розв’язування системи нормальних рівнянь (10) двома останніми способами.
1. Спосіб визначників. Для зручності запису розв’язку систему нормальних рівнянь (10) перепишемо так
NG W 0 , |
(10 ) |
де |
|
N AT A ; |
W ATL . |
Обчислимо головний визначник і визначники для кожного невідомого ( g0 , g1 , g2), маємо:
|
|
|
|
N11 |
|
|
N12 |
|
N13 |
|
|
|
|
|
|
|
W1 |
|
N12 |
N13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N 21 |
|
N 22 |
|
N 23 |
; |
|
|
g 0 W2 |
|
N22 |
N23 |
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
N |
31 |
|
N |
32 |
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W |
|
|
N |
32 |
N |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
N11 |
W1 |
N13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N11 |
N12 |
W1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
g1 |
N |
21 |
W |
2 |
N |
23 |
|
; |
|
|
|
g 2 |
|
N |
21 |
N |
22 |
W |
2 |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
N |
31 |
W |
|
N |
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
31 |
N |
32 |
W |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
N11N22 N33 |
2 N12 N23 N31 |
N13 N22 N31 N12 N21N33 N23 N32 N11 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
W N |
|
N |
|
N |
|
N |
|
|
|
|
W |
N |
|
N |
|
|
N |
|
N |
|
W |
N |
|
|
N |
|
N |
|
N |
|
|
|
|||||||||||
g 0 |
22 |
33 |
23 |
32 |
13 |
32 |
12 |
33 |
12 |
23 |
13 |
22 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
g1 W1 N23 N31 N21N33 |
|
W2 |
N11N33 N13 N31 |
W3 |
N13 N21 N11N23 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g 2 W1 N21N32 N22 N31 W2 N12 N31 N11N32 W3 N11N |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
22 N12 N21 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Коефіцієнти поліному обчислюються за формулами:
g |
|
|
g 0 |
; |
g |
g1` |
; |
g |
|
|
g 2 |
. |
0 |
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(11)
(12)
(13)
6
Контроль розв'язання системи нормальних рівнянь. Правильність розв’язання системи нормальних рівнянь (10) виконаємо підстановкою обчислених коефіцієнтів g0, g1, g2 у ці рівняння. В результаті повинні отримати в кожному рівнянні нуль з точністю обчислення вільного члена рівнянь похибок за формулами (5 і 6).
Оцінка точності. Середня квадратична похибка одиниці ваги обчислюється з виразу
|
n |
|
|
|
|
vi2 |
|
|
|
|
i 1 |
, |
(14) |
|
n k |
||||
|
|
|
де vi – похибка i-ої виміряної псевдовідстані, яка обчислюється з рівнянь похибок (4) або (4 ) підстановкою визначених коефіцієнтів g0, g1, g2 , n - кількість вимірів, k - кількість невідомих. Середні квадратичні похибки mg0, mg1, mg2 визначених коефіцієнтів розраховуються за наступними формулами:
mg 0 |
|
1 |
|
; |
mg1 |
1 |
; |
mg 2 |
1 |
|
, |
(15) |
|
|
|
|
|
||||||||
pg |
0 |
pg |
pg |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
якщо відомі їх ваги pg0, pg1, pg2 , що обчислюються з виразів:
1 |
|
|
p0 |
; |
1 |
|
|
p1 |
; |
1 |
|
|
p 2 |
. |
(16) |
|
p g |
|
p g |
|
p g |
|
|||||||||||
0 |
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Визначник для кожного вагового коефіцієнта розрахуємо так:
p0 |
|
|
N |
22 |
N 23 |
|
N 22 N33 |
N 23 N32 . |
(17) |
||||||
|
N32 |
N33 |
|
||||||||||||
p1 |
|
|
N11 |
N13 |
|
|
N11 N33 |
N13 N31 . |
(18) |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
N31 |
N33 |
|
|
|||||||||||
p2 |
|
|
N11 |
N12 |
|
N11 N 22 |
N12 N 21 . |
(19) |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
N 21 |
N 22 |
|
||||||||||||
2. Спосіб оберненої матриці. Розв’язок системи рівнянь (10) отримаємо у виді: |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G Q ATL |
, |
|
(20) |
||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
, |
|
(21) |
|
|
|
|
|
|
|
Q AT A |
|
|
|||||||
Обернену матрицю Q можна обчислити способами, описаними в [ ], або використовуючи |
|||||||||||||||
готові комп’ютерні програми EXEL Microsoft Office або Mathcad. |
|
||||||||||||||
Оцінку точності визначених коефіцієнтів m g |
j |
виконаємо за формулами: |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1,2,3 . |
|
||||||||
|
mg |
j |
Q jj , |
(22) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут - середня квадратична похибка одиниці ваги (формула (14)), Q jj - діагональний елемент матриці Q.
7
Розв’язок для коефіцієнтів поліному (3), як правило, отримують методом наближень Ньютона. Початкові значення цих коефіцієнтів g0, g1, g2 можна прийняти такими, що дорівнюють нулю. Уточнені коефіцієнти обчислюють додаванням поправок з вектора G (рівняння (10 або 19)) до їх попередніх значень.
2. Порядок виконання роботи
Вихідними даними для виконання даної лабораторної роботи є:
1)GPS-спостереження шести супутників на три епохи t1, t2, t3;
2)наближені координати пункту (X0, Y0, Z0);
3)наближена поправка годинника приймача 0.
Обчислення параметрів поправки годинника приймача необхідно здійснювати у такій послідовності.
1. Уточнення координат пункту і поправки годинника приймача за спостереженнями псевдовідстаней 6-ти супутників на першу епоху. Таке визначення необхідно зробити спочатку через те, що наближені координати пункту відомі з похибкою більшою кількох метрів. Докладний опис виконання цього етапу роботи зроблено у методичних вказівках [ ], тут наведемо лише алгоритм обчислення.
1.1. Обчислення псевдовідстаней від пункту до кожного з шести супутників
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
iобч. |
|
xi X 0 2 |
yi Y 0 2 |
zi Z 0 2 c τ 0 ; |
|
i 1,2,...,6 |
(23) |
||||||||
де X0, Y0, Z0 – наближені координати пункту. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1.2. Обчислення коефіцієнтів і вільних членів системи рівнянь похибок виду |
|
||||||||||||||
|
|
ai1 X ai2 Y ai3 |
Z ai4 |
t li vi , |
(24) |
||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1 |
xi X |
0 |
; |
ai2 |
yi Y |
0 |
; ai3 |
|
zi Z |
0 |
; ai4 1 . |
(25) |
|||
|
iобч. |
|
iобч. |
|
iобч. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вільні члени рівнянь похибок обчислюються за формулою (5).
1.3. Обчислення коефіцієнтів і вільних членів наступної системи нормальних рівнянь:
ai1ai1 X ai1ai2 Y ai1ai3 Z ai1ai4 |
t ai1li 0 |
|
|
|
||
ai1ai2 X ai2 ai2 Y ai2 ai3 Z ai2 ai4 t ai2li |
|
|
|
|||
0 |
, |
(26) |
||||
|
|
|
|
|
||
ai1ai3 X ai2 ai3 Y ai3ai3 Z ai3ai4 t ai3li 0 |
|
|
||||
ai1ai4 X ai2 ai4 Y ai3ai4 Z ai4 ai4 t ai4li |
|
|
|
|||
0 |
|
|
||||
де кожна з гаусівських сум означає, що |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
6 |
6 |
|
|
|
ai1ai1 ai1 ai1 ; ... |
ai1ai4 |
ai1 ai4 ; |
... ai1li ai1 |
li . |
(27) |
|
i 1 |
|
i 1 |
i 1 |
|
|
|
1.4.Розв’язання системи нормальних рівнянь.
Уметодичних вказівках [ ] описаний метод розв’язання системи нормальних рівнянь виду (26)
способом Гауса. Формули для обчислення невідомих поправок ( X, Y, Z і t) наступні:
8
aij aij 1 aij aij |
ai1aij |
ai1aij ; |
|
i, j 2,3,4 , |
(28) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
ai1ai1 |
|
|
|
|
|
||||||||
aij li 1 aij li |
|
ai1aij |
aij li ; |
i, j 2,3,4 , |
(29) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
ai1ai1 |
|
|
|
|
|
|||||||
aij aij 2 aij aij |
1 |
|
|
ai2 aij |
ai2 aij ; |
i, j 3,4 , |
(30) |
||||||||
|
ai2 ai2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
aij li 2 aij li |
1 |
|
ai2 aij |
|
aij li ; |
|
i, j 3,4 , |
(31) |
|||||||
ai2 ai2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
aij aij 3 aij aij |
2 |
ai3aij |
ai3aij ; |
i, j 4 , |
(32) |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ai3ai3 |
|
|
|
|||||
aij li 3 aij li |
2 |
|
|
ai3aij |
aij li ; |
|
i, j 4 , |
(33) |
|||||||
|
|
ai3ai3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ai4li 3 |
|
|
|
|||||
|
t ai4 aij |
3 ; |
|
|
(34) |
||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ai3 aij 2 ai3li 2 aij ai4 |
2 t , |
(35) |
|||||||||||||
Y ai2 a1ij 1 ai2li 1 aij ai3 1 Z aij ai4 1 t , |
(36) |
||||||||||||||
X ai11aij ai1li aij ai2 Y aij ai3 Z aij ai4 t . |
(37) |
||||||||||||||
1.5. Контроль розв’язку системи нормальних рівнянь.
Необхідно обчислені поправки X, Y, Z і t (формули (34)-(37)) підставити в нормальні рівняння (26). Результати обчислити з точністю до 1 10-5.
1.6. Обчислення уточнених координат пункту і поправки годинника GPS-приймача. Остаточні координати пункту і попередню поправку годинника приймача отримаємо так:
X X 0 |
X |
|
|||
Y Y 0 |
Y |
|
|
||
|
|
||||
Z Z |
0 |
Z |
. |
(38) |
|
|
|
|
|||
0 |
|
t |
|
||
c |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
1.7. Оцінка точності.
Спочатку необхідно обчислити похибки vi псевдовідстаней, підставляючи у рівняння похибок (24) визначені невідомі X, Y, Z і t (див. формули (34)-(37)). Тепер середню квадратичну похибку одиниці ваги обчислимо за формулою (14).
Середні квадратичні похибки отримаємо з виразів подібних до (15), а саме:
9
m X |
|
1 |
|
; |
|
|
mY |
|
|
1 |
|
; |
|
|
mZ |
|
|
1 |
|
|
; |
|
|
m |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
p X |
|
|
|
|
pY |
|
|
|
|
pZ |
|
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Для визначення обернених ваг використаємо формули |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
p |
X |
|
|
|
|
1 |
|
|
p |
|
|
|
1 |
|
|
p |
Z |
|
|
|
1 |
|
|
|
p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
Y |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
pX |
|
|
|
|
|
|
pY |
|
|
|
|
|
|
|
pZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
a12 |
|
a13 |
|
a14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
a21 |
|
a22 |
|
a23 |
|
a24 |
|
a a |
|
|
|
1 a |
|
2 a |
|
3 , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
|
a32 |
|
a33 |
|
a34 |
|
11 |
|
22 |
|
|
|
|
|
|
33 |
|
|
|
|
44 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
a41 |
a42 |
a43 |
a44 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ai 2 ai2 |
|
ai 2 ai3 |
|
ai2 ai4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
p |
X |
|
ai3ai 2 |
|
ai3ai3 |
|
ai3ai 4 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
|
ai 4 ai2 |
|
ai 4 ai3 |
ai4 ai4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
ai1ai1 |
|
ai1ai 2 |
|
ai1ai 4 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
p |
Z |
|
ai2 ai1 |
|
ai 2 ai 2 |
|
ai 2 ai 4 |
|
|
; |
||||||
|
|
|
ai4 ai1 |
|
ai 4 ai 2 |
ai 4 ai 4 |
|
|
||||||||
ai1ai1
pY ai3ai1
ai4 ai1
ai1ai1
p ai2 ai1
ai3ai1
ai1ai3ai3ai3ai4 ai3
ai1ai 2ai2 ai 2ai3ai2
ai1ai 4ai3ai4ai4 ai4
ai1ai3ai2 ai3ai3ai3
,
.
(39)
(40)
(41)
(42)
Визначники вагових коефіцієнтів (42) необхідно обчислити за допомогою наступних виразів:
p |
X |
ai 2 ai2 ai3ai3 ai 4 ai 4 ai 2 ai3 ai3ai 4 ai 4 ai2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ai3ai2 |
ai 4 ai3 |
ai2 ai 4 |
ai4 ai 2 |
|
ai3ai3 |
ai 2 ai 4 |
|
, |
(43) |
||
|
|
|
ai3ai 2 |
ai 2 ai3 |
ai 4 ai4 |
ai 4 ai3 |
|
ai3ai 4 |
ai2 ai 2 |
|
|
|
||
p |
ai1ai1 ai3ai3 ai 4 ai 4 ai3ai1 ai4 ai3 ai1ai 4 |
|
|
|||||||||||
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1ai3 |
ai3ai 4 ai 4 ai1 |
ai4 ai1 |
ai3ai3 |
ai1ai 4 |
|
, |
(44) |
||||
|
|
|
ai3ai1 |
ai1ai3 |
ai 4 ai 4 |
ai 4 ai3 |
ai3ai4 |
ai1ai1 |
|
|
|
|||
p |
Z |
ai1ai1 ai2 ai2 ai4 ai4 ai2 ai1 ai 4 ai2 ai1ai 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1ai 2 |
ai 2 ai4 |
ai4 ai1 |
ai4 ai1 |
ai 2 ai2 |
ai1ai 4 |
|
, |
(45) |
|||
|
|
|
ai2 ai1 |
ai1ai2 |
ai4 ai4 |
ai4 ai2 |
|
ai 2 ai 4 |
ai1ai1 |
|
|
|
||
p |
ai1ai1 ai 2 ai 2 ai3ai3 ai1ai2 ai2 ai3 ai3ai1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ai1ai3 ai 2 ai1 ai3ai2 |
ai1ai3 ai2 ai2 |
ai3ai1 . |
(46) |
||||||||
ai1ai2 ai2 ai1 ai3ai3 ai1ai1 ai2 ai3 ai3ai2
2.Визначення коефіцієнтів квадратного полінома для поправки годинника GPSприймача.
Уточнивши координати пункту X, Y, Z, можна визначити поправку годинника приймача та параметри її зміни з часом g0, g1, g2. Для цього необхідно взяти GPS-виміри всієї сесії спостережень. У нашому випадку це спостереження на три епохи шести супутників, тобто кількість виміряних псевдовідстаней n=18.
10
2.1. Обчислення коефіцієнтів і вільних членів рівнянь похибок.
Перед заповненням таблиці коефіцієнтів рівнянь похибок обчислимо псевдовідстані iобч. за
формулою (6), які використовуються при обчисленні вільних членів li з виразу (5). Коефіцієнти рівнянь aij приймають значення такі, як зазначено в (7) із зауваженням, що ti = ti - t0 (t0 – початкова епоха спостережень).
2.2.Обчислення коефіцієнтів і вільних членів системи нормальних рівнянь.
2.3.Розв’язання системи нормальних рівнянь.
2.4.Контроль розв’язку системи нормальних рівнянь.
2.5.Обчислення параметрів поправки годинника GPS-приймача.
2.6.Оцінка точності.
НАВЧАЛЬНЕ ВИДАННЯ
ВИЗНАЧЕННЯ МІСЦЕПОЛОЖЕННЯ ТОЧКИ І ПОПРАВКИ ГОДИННИКА
ЗА ДАНИМИ СПОСТЕРЕЖЕНЬ СУПУТНИКІВ GPS
МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ
до виконання лабораторної роботи
зкурсу “Методи аналізу і обробки GPS-інформації” для студентів спеціалізації “Космічна геодезія”
Автори: Цюпак Ігор Михайлович, канд.техн.наук, доц.
Редактор
Комп’ютерне складання
Підписано до друку Формат 70 1001/16 . Папір офсетний.
Друк на різографі. Умови друк. арк. 11. Обл.-вид. арк. Наклад 50 прим. Зам.
Поліграфічний центр Видавництва Національного університету «Львівська політехніка»
Вул. Ф. Колесси, 2, 79000, Львів
