Кроме близости соответствующих характеристик линейной и степенной производственных функций на эквивалентность указанных производственных функций указывает также и близость в экспериментальных расчётах соответствующих коэффициентов детерминации.
Различие характеристик линейной и степенной производственных функций обусловлено разными гипотезами относительно постоянства параметров указанных производственных функций. Так, если в линейной производственной функции (1.20) постоянными предполагаются предельные эффективности факторов a и b, то в степенной производственной функции (1.21) – факторные коэффициенты эластичности выпуска и .
1.2.3. Исследование свойств и характеристик статических производственных функций
Характеристики и свойства статических производственных функций исследуем на примере полученной ранее макроэкономической степенной производственной функции экономики США периода 1950 – 1960 гг.:
Y=1,978·K , ·L ,
Воспользовавшись оценками макроэкономической степенной производственной функции экономики США периода 1950 – 1960 гг.
ln(А) = 0,682, = 0,849, =0,151
и показателями производственных факторов (первого года анализируемого периода) K1950=310,42 млрд долл. и L1950 = 125,12 млрд ч, необходимо исследовать свойства и характеристики статической степенной производственной функции:
52
I.Расчёт продукции Y1950 по формуле
Y1950 = A .K1950 .L1950 .
II.Исследование эффективности производственных факторов:
Средние эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.
Предельные эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.
Соотношение между средней и предельной эффективностью производственных факторов.
Коэффициенты эластичности выпуска по производственным факторам K и L в степенных производственных функциях и их
экономический смысл.
III. Проверка выполнения трёх предположений о свойствах
производственной функции Y=F(K,L) (1.1)-(1.3):
F(0, L) = 0 , F(K, 0) = 0 ;
F( K ,L ) |
0, |
F( K ,L ) |
0 |
|
|
|
|||
K |
L |
|||
|
при K>0, L>0; |
2 F |
0, |
2 F |
0 |
|
K 2 |
L2 |
|||
|
при K>0, L>0; |
IV. Исследование отдачи от расширения масштабов производства
Однородность производственных функций.
53
Эластичность производства.
Теорема Эйлера.
Соотношение между эластичностью производства и частными эластичностями выпуска относительно изменения затрат производственных факторов.
Соотношение между эластичностью производства и показателем степени однородности степенной производственной функции.
Математическая и экономическая интерпретация четвёртого предположения об однородности степенной производственной функции.
V.Исследование взаимного замещения производственных факторов
o Экономический смысл взаимного замещения производственных факторов.
o Изокванты их свойства.
o Построение изокванты степенной производственной функции постоянного выпуска Y=Y0.
o Предельная норма замещения производственных факторов в рамках:
а) произвольной производственной функции;
б) степенной производственной функции.
o Изоклинали степенной производственной функции.
o Эластичность замещения производственных факторов.
54
o Доказательство равенства единице эластичности замещения производственных факторов в рамках степенной производственной функции.
Перейдём к исследованию свойств и характеристик статической степенной производственной функции:
I.Расчёт продукции Y1950
Подставив известные значения параметров A, ,
и производственных факторов K1950, L1950 в степенную производственную функцию Yt = A .Kt .Lt , получим расчётное значение величины ВНП США для 1950 г.
Y1950=1,978. (310,42)0,849. (125,12)0,151=535,2 млрд долл.
II.Исследование эффективности производственных факторов
При исследовании эффективности производственных факторов можно воспользоваться формулами (1.33) – (1.36) расчёта средних производительностей AyK и AyL и предельных производительностей MyK и MyL факторов K и L, подставив соответствующие значения параметров и факторов (для первого года анализируемого периода) 1950 года:
Средние эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.
Средняя эффективность производственного фактора определяется как соотношение объёма продукции к объёму соответствующего производственного фактора. Отношение продукции к основному капиталу называется средней капиталоотдачей и вычисляется по формуле (1.33):
AyK = |
Y |
= |
F( K ,L ) |
= |
A |
K L |
= A·K ·L = |
534,8 |
= |
|
|
K |
|
|
K |
310,42 |
|||||
K |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
= 1,72 (млрд долл./ млрд долл.) =1,72 (долл./долл.).
Следовательно, отдача с одного доллара основного капитала составляет в среднем 1,72 долл. выпускаемой продукции.
Аналогично определяется средняя производительность труда, которая вычисляется по формуле (1.34):
AyL = |
Y |
= |
F( K ,L ) |
= |
A |
K L |
= A·K ·L = |
534,8 |
= |
|
L |
L |
|
|
L |
125,12 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
= 4,27 (млрд долл./ млрд ч.) = 4,27(долл./ч.).
Таким образом, выработка на одного работника за один отработанный час составляет в среднем 4,27 долл. выпускаемой продукции.
Предельные эффективности производственных факторов K и L и их экономический смысл.
Вычислим предельные эффективности производственных факторов степенной производственной функции формулам (1.35) – (1.36):
|
MyK= |
Y |
= |
F( K ,L ) |
= |
A K 1 L |
Y |
= |
||
|
K |
K |
|
K |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 0,849 |
534 ,8 |
|
= 1,46 (млрд долл./ млрд долл.) =1,46 (долл./долл.); |
|||||||
310 ,42 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
My = |
Y |
= |
F( K ,L ) |
= |
Y |
= |
|
|
|
L |
L |
L |
L |
||||
|
|
|
|||||||
= 0,151 |
534,8 |
= 0,64 (млрд долл./ млрд долл.) =0,64 (долл./долл.). |
|||||||
125,12 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
56
Рассмотрим экономический смысл предельных эффективностей производственных факторов на примере фактора K. Поскольку для этого фактора предельная эффективность оказалась равной 1,46 (долл./долл.), это свидетельствует о том, что дополнительный доллар основного капитала даёт в среднем 1,46 долл. дополнительной продукции.
Соотношение между средней и предельной эффективностью производственных факторов.
Если величины K и L будут положительными, то согласно формулам расчета MyK и MyL положительными будут и величины предельных эффективностей производственных факторов. В степенной ПФ (1.21) предельные эффективности факторов всегда ниже их средних эффективностей, так как параметры и удовлетворяют условию
0 < |
< 1; |
0 < |
< 1. |
||
Например, для фактора K справедливо соотношение: |
|||||
|
Y |
1,46 |
1,72 |
Y |
. |
|
|
|
|||
|
K |
|
|
K |
|
Таким образом, подставив найденные значения средних и предельных
производительностей в соотношения
MyK ≤ 1 (MyK ≤ AyK), AyK
и
MyL ≤ 1 (MyL ≤ AyL), AyL
убеждаемся в справедливости утверждений для степенных производственных функций, что предельные продукты производственных факторов всегда меньше соответствующих средних продуктов производственных факторов.
57
Коэффициенты эластичности выпуска по факторам K и L в степенных производственных функциях и их экономический смысл.
Для расчёта коэффициентов эластичности выпуска по производственным факторам K и L в степенных производственных функциях воспользуемся формулами (1.39) – (1.40):
EK |
Y |
|
|
Y |
|
Y |
|
K |
MyK |
= = 0,849; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
K |
K |
|
K |
|
Y AyK |
|||||||||||
|
E |
|
|
|
Y |
|
|
L |
|
|
|
MyL |
= = 0,151. |
||||
|
L |
|
|
L |
|
Y |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
AyL |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Эти коэффициенты показывают, на сколько процентов изменится в среднем выпуск продукции при изменении затрат соответствующего фактора на один процент.
Поскольку в рассматриваемом случае = 0,849 и = 0,151, это означает, что при изменении затрат фактора K на 1% выпуск продукции изменится в среднем на 0,849%, а при изменении затрат фактора L на 1 % выпуск продукции изменится в среднем на 0,151%.
III. Проверка выполнения трёх предположений о свойствах производственной функции Y=F(K,L) (1.1) – (1.3):
F(0, L) = 0 , F(K, 0) = 0 ;
|
F( K ,L ) |
0, |
|
F( K ,L ) |
0 |
при K>0, L>0; |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
K |
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 F |
0, |
|
2 F |
0 |
при K>0, L>0. |
||||
|
|
|
|
|
||||||
|
K 2 |
|
L2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
58
Рассмотрим проверку выполнения первого предположения (1.1). Экономически это предположение указывает на то, что производство невозможно при отсутствии хотя бы одного производственного фактора:
F(0,L)=0 , F(K,0)=0.
Это предположение означает, что каждый из факторов необходим хотя бы в малых количествах. Полное его отсутствие не может быть компенсировано другими факторами.
Подставив нулевые значения производственных факторов K и L в степенную производственную функцию, убеждаемся в выполнении для степенной производственной функции первого предположения:
Y=A .0 .L
=A.K .0
= 0.
Рассмотрим проверку выполнения второго предположения (1.2) о свойствах степенной производственной функции. Экономически это предположение указывает на то, что при увеличении затрат производственных факторов K и L выпуск продукции не уменьшается, то есть в случае дифференцируемых ПФ справедливо соотношение
|
|
|
|
|
|
F(K, L) |
0, |
|
F (K, L) |
0 . |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
K |
|
L |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Поскольку найденные значения предельных эффективностей |
||||||||||||||
|
|
|
Y |
= |
|
F( K ,L ) |
= |
A K 1 L |
|
Y |
= |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
K |
K |
|
|
|
|
|
K |
||||
= 0,849 |
534 ,8 |
|
= 1,46 (млрд долл./ млрд долл.) =1,46 (долл./долл.) 0; |
|||||||||||
310 ,42 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и
59
|
|
|
Y |
= |
F( K ,L ) |
= |
Y |
= |
||
|
|
|
L |
L |
|
L |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
= 0,151 |
534,8 |
= 0,64 (млрд долл./ млрд долл.) =0,64 (долл./долл.) 0 |
||||||||
125,12 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(больше нуля), то второе предположение о свойствах производственных функций также выполняется.
Рассмотрим проверку выполнения третьего предположения (1.3) о свойствах степенной производственной функции. Экономически это предположение указывает на то, что по мере увеличения количества одного производственного фактора при постоянных количествах других предельная эффективность этого фактора не возрастает, то есть справедливо соотношение
2 F |
0, |
2 F |
0 |
при K>0, L>0. |
|
K 2 |
L2 |
||||
|
|
|
Этот факт имеет вполне разумное объяснение. Поскольку каждая последующая единица производственного фактора, количество которого возрастает, должно соединяться с меньшим приходящимся на неё количеством других факторов, эффективность использования растущего фактора уменьшается. Необходимо отметить, что эта закономерность наблюдается лишь при отсутствии качественных изменений в производстве.
Из предположения (1.2) следует, что в точке (K0,L0) вторые частные производные отрицательны:
2Y |
( |
1 ) A K |
2 L |
( |
1 ) |
Y |
|
K 2 |
K 2 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
0,849 ( 0,849 |
1 ) |
534,8 |
0; |
|
||
|
|
|
|||||
|
310,422 |
|
|||||
60
2Y |
( |
1 ) |
Y |
= |
0,151 ( 0,151 1 ) |
534,8 |
|
0; |
2 |
2 |
125,12 |
2 |
|||||
L |
|
|
L |
|
|
|
|
Таким образом, для степенной производственной функции предположение (1.3) выполняется.
IV. Исследование отдачи от расширения масштабов производства
Однородность производственных функций.
Рассмотрим проверку выполнения четвёртого предположения (1.4) о свойствах степенной производственной функции. Математически четвёртое предположение состоит в требовании однородности производственной функции.
Производственная функция F(K,L) называется однородной функцией степени
, если для произвольных значений K, L и
она удовлетворяет соотношению
F( |
K, |
L) = |
F(K,L) . |
Если >1, то говорят, |
что |
производственная функция характеризуется |
|
возрастающей отдачей от расширения масштабов производства; если =1 |
— |
|
постоянной отдачей (наиболее часто встречающийся случай), а при |
< 1 |
— |
убывающей отдачей. Естественно, что выполняется предположение |
0, ибо в |
|
противном случае нарушалось бы третье предположения (1.3) о свойствах степенной производственной функции во всех точках положительного
квадранта. |
|
|
|
|
|
|
Предположим, что производственные факторы увеличились |
в |
два |
||||
раза, то есть |
= 2. Тогда |
при >1 выпуск |
продукции |
возрастает |
в |
|
среднем в 2v раз, то есть более чем в два раза, при |
=1 — в среднем в 2 раза, а |
|||||
при <1 — менее чем в два раза. |
|
|
|
|
|
|
Поскольку в нашем примере |
= 0,849, = 0,151, то = |
+ |
= 1. Это |
|||
соответствует постоянной отдаче от расширения масштабов производства, т.е., если объём основного капитала и численности занятых в материальном производстве увеличатся в “m” раз, то выпуск продукции возрастёт в среднем также в “m” раз.
61
Таким образом, однородность производственной функции означает, что при увеличении затрат производственных факторов в
раз объём производства возрастает в среднем в v раз.
Определите степень однородности производственной функции
Y=1,978·K , ·L ,
Для выполнения остальных пунктов этого раздела воспользуйтесь формулами (1.14) – (1.16):
Y |
K + |
Y |
L = F(K, L); |
|
K |
L |
|||
|
|
|||
|
E |
EK EL; |
||
E
EK EL = .
Таким образом, эластичность производства для степенной производственной функции равна степени однородности производственной функции при всех значениях (K,L) и не зависит от комбинации затрат.
V. Исследование взаимного замещения производственных факторов
Возможность взаимного замещения ресурсов |
означает, что |
одно и |
то же количество продукта Y0 может быть произведено при различных |
||
сочетаниях ресурсов. Изокванта — геометрическое |
поле точек, |
которым |
соответствует одинаковый уровень выпуска продукции. |
|
|
Для степенной производственной функции линии постоянного уровня выпуска Y=Y0 образуют семейство изоквант, уравнение которых можно получить из уравнения степенной производственной функции, принимая, например, K как функцию L:
62