- •Оглавление
- •Список используемых сокращений
- •Введение
- •Понятие и сущность статистических гипотез
- •1.1.Постановка проблемы
- •1.2. Статистический критерий
- •Классификация статистических критериев:
- •1.3. Функция потерь и критерий качества выбора решения
- •2. Проверка простой гипотезы против простой альтернативы
- •2.1. Вероятности правильных и ошибочных решений
- •Критерии принятия решений
- •Байесовское решение
- •Максимум апостериорной вероятности
- •Максимальное правдоподобие
- •Критерий Неймана-Пирсона
- •Минимаксное правило
- •Критерии значимости
- •3.1. Проверка гипотез для нормального распределения
- •3.1.1. Гипотезы о неизвестном среднем при известной дисперсии
- •3.1.2. Гипотезы о неизвестном среднем при неизвестной дисперсии
- •3.1.3. Гипотеза о неизвестной дисперсии
- •3.2. Сравнение средних нормального распределения
- •3.2.1. Проверка гипотез о равенстве средних для двух выборок
- •3.2.1.1. Гипотеза о равенстве средних при неизвестных равных дисперсиях
- •3.2.1.2. Гипотеза о равенстве средних при известных дисперсиях
- •3.2.1.3. Сравнение средних при неизвестных неравных дисперсиях
- •3.2.1.3.1. Критерий Кохрана-Кокса
- •3.2.1.3.2. Критерий Сатервайта
- •3.2.2. Проверка гипотез о равенстве средних для выборок
- •3.2.2.1. Критерий Полсона
- •3.2.2.2. Критерий Шеффе
- •3.3. Сравнение дисперсий нормального распределения
- •3.3.1. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для двух выборок
- •3.3.1.1. Критерий Фишера
- •3.3.1.2. Критерий Романовского
- •3.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий для выборок
- •3.3.2.1. Критерии Бартлетта
- •3.3.2.2. Критерии Кохрена
- •3.3.2.3. Критерий Самиуддина
- •3.4. Проверка гипотез для экспоненциального распределения
- •3.4.1. Гипотеза о неизвестном параметре экспоненциального распределения
- •4. Общие критерии согласия
- •4.1.Критерии хи-квадрат Пирсона
- •4.2. Критерии хи-квадрат Фишера
- •4.3. Критерий согласия Колмогорова- Смирнова
- •4.4. Критерий Смирнова-Крамера-фон Мизеса
- •4.5. Критерий Андерсона-Дарлинга
- •4.6. Критерий согласим Дарбина
- •5. Частные критерии согласия
- •5.1. Критерии проверки нормальности распределения
- •5.1.1. Сравнительный анализ критериев нормальности
- •5.1.2. Критерий Шапиро-Уилка
- •5.1.3 Критерий
- •5.1.4 Критерий
- •5.1.5 Критерий
- •5.1.6. Критерий нормальности д'Агостино
- •5.1.7. Энтропийный критерий нормальности (критерий Васичека)
- •5.1.8. Критерий Дэвида-Хартли-Пирсона
- •5.2. Критерии проверки экспоненциальности распределения
- •5.2.1. Критерий Фроцини
- •5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
- •5.3. Критерии проверки равномерности распределения
- •5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
- •5.3.2. Критерий Саркади – Косика
- •5.4. Критерии симметрии
- •5.4.1. Критерий симметрии Смирнова
- •5.4.2. Одновыборочный критерий Вилкоксона
- •6. Критерии однородности
- •6.1. Критерий -квадрат
- •6.2. Критерий Колмогорова
- •6.3. Критерий Уилкоксона — Манна — Уитни
- •7. Подбор кривых распределения вероятностей по экспериментальным данным
- •7.1. Кривые Пирсона типа I
- •7.2. Кривые Пирсона типа II
- •7.3. Кривые Пирсона типа III
- •7.4. Кривые Пирсона типа IV
- •7.5. Кривые Пирсона типа V
- •7.6. Кривые Пирсона типа VI
- •7.7. Кривые Пирсона типа VII
- •Список используемой литературы
5.2.2. Критерий Бартлетта-Морана
Статистика критерия, вычисляемая по ряду значений имеет вид
(162)
При распределение статистики удовлетворительно аппроксимируется распределением с степенями свободы [87]. Поэтому нулевая гипотеза экспоненциальности отклоняется, если на уровне значимости .
Пример 30
Имеется ряд наблюдений : 1, 2, 4, 5, 9, 11, 18, 21, 29, 35, проверить гипотезу экспоненциальности критерием Бартлетта-Морана при . Решение Находим среднее значение (39): ; Логарифм среднего: ; ; . Из табл. 4 для и находим . Так как , нулевая гипотеза нормальности распределения не отклоняется. |
5.3. Критерии проверки равномерности распределения
В литературе приводятся множество критериев равномерности, таких как: Критерий Шермана [81]. Критерий Морана [73]. Критерий Ченга - Спиринга [88]. Критерий Саркади - Косика [89]. Энтропийный критерий Дудевича-ван дер Мюлена [90]. Критерий Хегази-Грина [91]. Критерий Янга [92]. Критерии типа Колмогорова - Смирнова. Критерий Фроцини [70]. Критерий Гринвуда – Кэсенберри-Миллера [93]. «Сглаженный» критерий Неймана-Бартона [94].
Рассмотрим наиболее простые критерии, а именно, критерий Ченга - Спиринга и критерий Саркади - Косика.
5.3.1. Критерий Ченга – Спиринга
Критерий равномерности распределения, аналогичный критерию Шапиро-Уилка, предложен в [88]. Его статистика имеет вид
(163)
где - выборочный размах.
Всегда
при - четном.
при - нечетном.
при справедливости нулевой гипотезы.
Гипотеза равномерности отклоняется, если , где и - критические значения при доверительной вероятности , приведенные в таблице 18.
Таблица 18. Критические значения и критерия равномерности Ченга-Спиринга
|
Доверительная вероятность |
|
Доверительная вероятность |
||||||||||
0,90 |
0,95 |
0,99 |
0,90 |
0,95 |
0,99 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
6,30 3,74 2,58 2,00 1,64 1,40 1,22 1,08 0,97 0,89 0,81 0,75 0,70 |
7,97 5,31 4,02 3,23 2,68 2,32 2,04 1,79 1,60 1,45 1,31 1,22 1,12 |
6,15 3,44 2,42 1,88 1,54 1,32 1,15 1,02 0,92 0,84 0,77 0,71 0,66 |
7,99 5,43 4,18 3,41 2,85 2,47 2,19 1,92 1,73 1,57 1,42 1,31 1,21 |
6,03 3,08 2540 1,71 1539 1,18 1,04 0,91 0,83 0,76 0,69 0,64 0,60 |
8,00 5,53 4,39 3,67 3,13 2,77 2,46 2,18 1,99 1,79 1,64 1,52 1,39 |
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 40 50 |
0,65 0,61 0,58 0,55 0,52 0,50 0,47 0,45 0,44 0,42 0,35 0,26 0,21 |
1,03 0,97 0,90 0,85 0,80 0,76 0,72 0,68 0,65 0,62 0,51 0,37 0,29 |
0,62 0,58 0,55 0,52 0,50 0,47 0,45 0,43 0,42 0,40 0,33 0,25 0,20 |
1,11 1,04 0,98 0,92 0,86 0,81 0,78 0,73 0,70 0,67 0,54 0,39 0,30 |
0,56 0,53 0,50 0,47 0,45 0,43 0,41 0,40 0,38 0,36 0,31 0,23 0,19 |
1,31 1,20 1,12 1,05 0,98 0,92 0,89 0,84 0,80 0,76 0,61 0,44 0,33 |
Пример 31
Имеется ряд наблюдений над случайной величиной: : 0,047; 0,05; 0,15; 0,18; 0,29; 0,48; 0,52; 0,61; 0,72; 0,91 проверить гипотезу равномерности распределения случайных величин критерием Ченга – Спиринга при доверительной вероятности . Решение Имеем: , и Тогда ; Из таблицы 18для и находим и . Так как , гипотеза равномерности распределения совокупности случайных величин не отклоняется. |