Математические основы теории систем. Методы оптимизации

Выражение (4.8) есть формула Эйлера–Лагранжа или Эйлера. Чтобы решить задачу вариационного исчисления, нужно решить дифференциальное уравнение Эйлера–Лагранжа (4.7) с граничными

условиями: y(x0) = y0, y(x1) = y1.

Тип экстремума определяется условиями Лежандра:

Пример

0

I = ∫( y′2 − 12xy)dx, y(0) = 0, y(1) = 1.

1

Требуется найти функцию, доставляющую экстремум функционалу, и определить вид экстремума.

111

Решение:

1. Запишем формулу Эйлера: fy′ − dxfy′′ = 0 , f = y′2 − 12xy, fy′ = −12x, fy′′ = 2y′,

−12x − d (2y′) = 0. dx

2. Решаем полученное дифференциальное уравнение:

– 12x – 2y′′ = 0, y′′ = – 6x,

y′ = – 3x2 + c1,

y =– x3 + c1x + c2

Определяем константы: y(0) = c2 = 0,

y(1) = – 1 + c1 = 1, c1 = 2, y(x) = – x3 + 2x.

3. Определение типа экстремума: f′′y′y′ = (2y′)′y′ = 2, следовательно, при найденной функции у(х) функционал достигает максимума.

4.2. Частные случаи формулы Эйлера

Рассмотрим частные случаи формулы Эйлера:

112

Из начальных условий находим константы:y(−1) = −k + b = −1,

y(1) = k + b = 1,

b = 0, k = 1.

Ответ: у = х.

2. Подынтегральная функция f не зависит явно от х: f (у, y′). Найдем производную по х от выражения (f – y′ f′y′):

Будем искать решение этого дифференциального уравнения в параметрической форме: х(t), y(t). Воспользуемся следующей под-

становкой: y′ = ctg( t ) . 2

113

Рис. 4.1. Циклоида

4.3.Обобщенная задача вариационного исчисления

Вобобщенной задаче подынтегральная функция зависит от п функций и их производных по х:

граничные условия: yi(x0 ) = yi0, yi(x1) = yi1, i = 1,n.

Решение задачи является решением системы дифференциальных уравнений Эйлера:

Найти функции y1 и y2, при которых функционал достигает экстремума и выполняются граничные условия.

115

Решение.

Составим систему уравнений Эйлера:

y1 − y1IY = 0.

составим характеристическое уравнение: 1− p4 = 0, p4 = 1, p2 = ±1,

y1 = C1ex + C2e− x + C3 sin x + C4 cos x, y1′ = C1ex − C2e− x + C3 cos x − C4 sin x, y1″ = C1ex + C2e− x − C3 sin x − C4 cos x,

y2 = − y1″ = −C1ex − C2e− x + C3 sin x + C4 cos x.

C1, C2, C3, C4 находятся из граничных условий.

4.4.Решение задач вариационного исчисления

сограничениями

Пример

Найти кратчайшее расстояние между двумя точками, лежащими на сфере:

116

x2 + y2 + z2 − R2 = 0 – уравнение сферы,

y(x0 ) = y0 , z(x0 ) = z0 , y(x1 ) = y1, z(x1 ) = z1, – координаты точек.

Постановка задачи в общем виде (для функционала, зависящего от функций y(x) и z(x)).

x1

I = ∫ f (x, y, z, y′, z′)dx,

x0

ограничение (уравнение связи) ϕ (x, y, z) = 0 (ограничимся сначала одним уравнением связи);

граничные условия: y (x0) = y0, z (x0) = z0,

Требуется найти такие функции y(x) и z(x), при которых функционал достигает экстремума и выполняются ограничения и граничные условия.

Решение.

Дадим функциям y(x) и z(x) приращения δy и δz, удовлетворяющие следующим условиям: δy и δz не равны нулю только в некоторой точке хc (x0 < xc < x1), приращения должны удовлетворять ограничениям (уравнениям связи).

По аналогии с (4.7) найдем вариации функционала при данных приращениях функций.

Введем обозначения:

Выразим σ1 и σ2 из уравнения связи:

ϕ(x, y, z) = 0,

ϕ(x, y +δу, z +δz) = 0 (согласно условиям задания приращений δy

и δz),

ϕ(x, y +δу, z +δz) – ϕ(x, y, z) = 0.

Проинтегрируем обе части уравнения по х:

Функцию ϕ(x, y + δу, z + δz) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки хс:

ϕ(x, y + δy, z + δz) = ϕ(x, y, z) xc + ϕ'y xc δy + ϕ'z xc δz.

Тогда для точки х = xc:

Осуществив замену согласно (4.15), получим следующее выражение:

Подставим (4.17) в (4.16):

Положим, что точка хс – текущая точка х. Найдем, при каких условиях приращение функционала будет равно нулю. Эти условия будут решением поставленной задачи.

С учетом (4.19) уравнение (4.18) примет вид:

fy′ − d ( fy′′ ) + λ(x)ϕ'y = 0. dx

Домножим (4.19) на ϕ′z:

fz′ − d ( fz′′ ) + λ(x)ϕ'z = 0. dx

Таким образом, получаем следующее решение исходной задачи:

119

Та же система получится, если проделать следующие действия: 1. Составляем функцию Лагранжа:

L = f(x, y, z, y′, z′) + λ(х)ϕ(x, y, z) .

2. Подставляем L в формулу Эйлера:

Система (4.21) является тождественной системе (4.20). Следовательно, задача (4.14) решается с помощью (4.21) при заданных граничных условиях.

4.5. Изопериметрическая задача

Постановка задачи:

{ограничение имеет вид определенногоинтеграла}, y (x0) = y0, y (x1) = y1. Задача называется изопериметрической, так как к этому виду сводится следующая задача: среди кривых равного периметра найти

такую, которая ограничивает максимальную площадь. Предположим, что в ограничении верхний предел интегрирова-

ния – текущая точка х, тогда Z является функцией от х.

120