Математические основы теории систем. Методы оптимизации

2x1 − x2 + x3 = 4,− + =

x1 2x2 x4 2,+ + =

x1 x2 x5 5,

G= − x1 + x2 → min.

2.Второе ограничение было домножено на (–1). Составляется симплекс-таблица:

разрешающий столбец

Поскольку имеются отрицательные коэффициенты целевой функции, то вершина, которой соответствует симплекс-таблица, неоптимальна. Максимальный по модулю отрицательный коэффициент ЦФ – (–1), следовательно, первый столбец является разрешающим.

Для определения разрешающей стройки находятся отношения правых частей ограничений к положительным коэффициентам разрешающего столбца и выбирается минимальное отношение:

3. Составляется новая симплекс-таблица: разрешающий элемент = 1; новый разрешающий элемент: 1:1 = 1;

новая разрешающая строка: 1 (–2) = –2; 1 2 = 2;

новый разрешающий столбец: 2 (–1) = –2; 1 (–1) = –1; –1 (–1) = 1.

31

Проверка ограничений: 2·2 – 0 – 0 = 4, 2 – (–2)·0 + 0 = 2,

2 + 0 + 3 = 5.

Проверка целевой функции:

–2 + 0 = –2.

Как видим, полученная вершина неоптимальна, так как среди коэффициентов целевой функции есть отрицательный коэффициент (–1). Требуется перейти к следующей вершине.

4. Составляется новая симплекс-таблица:

Проверка ограничений: 2·2 – 0 + 0 = 4, 2 – 2·0 + 0 = 2, 2 + 0 + 3 = 5.

Проверка целевой функции: –2 + 0 = –2.

32

Все коэффициенты целевой функции положительны, следовательно, найдено оптимальное и единственное решение задачи.

Ответ: координаты вершины: x1 = 2, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0, x5 = 3,

Gmin = –2.

Задание для самостоятельной работы

Дано: целевая функция и ограничения в виде неравенств. Требуется: решить ЗЛП графическим и симплекс-методами.

1.В системах координат Х1, Х2 на основании заданных ограничений построить область допустимых решений.

2.Найти решение ЗЛП с помощью построения графика целевой функции.

3.Найти решение ЗЛП посредством вычисления целевой функции в граничных точках области допустимых решений. Сравнить результаты двух методов.

4.Привести ЗЛП к каноническому виду. Если ограничение имеет

вид неравенства типа «≥», а в правой части ограничения стоит отрицательное число, то следует левую и правую часть ограничения умножить на –1, при этом неравенство приобретет вид «≤».

5.Построить симплекс-таблицу и решить ЗЛП симплексметодом.

6.Если в правой части некоторой строки симплекс-таблицы стоит «0», то данную строку следует принять в качестве разрешающей.

7.После каждого пересчета коэффициентов симплекс-таблицы следует проверять выполнение ограничений-равенств. Если ограничения не выполняются, то пересчет произведен неверно.

8.Если в столбце свободных членов симплекс-таблицы после пересчета коэффициентов появились отрицательные числа, то либо неверно произведен пересчет коэффициентов, либо неправильно выбран разрешающий элемент.

33

2.5. Приведение ЗЛП к каноническому виду

Процесс приведения задачи к каноническому виду называется нахождением начальной вершины.

1-й случай. Ограничения имеют вид неравенств типа (≤), ЦФ стремится к минимуму:

Задача приводится к каноническому виду путем введения искусственныхпеременных, которыеявляются базисными. ЦФнеменяется.

35

2-й случай. Ограничения имеют вид неравенств (≥), ЦФ минимизируется. Кроме этого, все коэффициенты ЦФ неотрицательны, а среди bi имеется хотя бы один положительный.

Вводятся искусственные переменные, которые вычитаются из правых частей ограничений. Все коэффициенты ограничений домножаются на (–1):

Далее задача решается двойственным симплекс-методом. Двойственный симплекс-метод применяется, когда имеются базисные переменные в ограничениях-равенствах, все коэффициенты ЦФ положительны, ЦФ минимизируется, а среди правых частей ограничений имеется хотя бы одно отрицательное значение. Алгоритм двойственного симплекс-метода рассмотрен в п. 2.6.

3-й случай. Ограничения имеют вид равенств, ЦФ минимизируется.

36

К такому виду сводятся все задачи линейного программирования, т.е. этот случай является общим.

Существует несколько методов приведения таких задач к каноническому виду. Один из них – метод искусственного базиса.

2.5.1. Метод искусственного базиса

Суть метода: вводятся искусственные переменные xn+1, xn+2,…, xn+m. Эти искусственные переменные добавляются к левым частям ограничений:

Вводится искусственная целевая функция:

G = xn+1 + xn+2 + ... + xn+m → min, xi ≥ 0,

i = 1,(n + m).

Искомые переменные исключаются из выражения искомой целевой функции, при этом искомая целевая функция оказывается выраженной через искомые переменные x1,…,xn.

Полученная задача приведена к каноническому виду. В ней искусственные переменные являются базисными. Далее эта задача решается симплекс-методом.

Чтобы ограничения остались прежними, в результате решения должны быть получены нулевые значения искусственных переменных и искусственной целевой функции.

Особенности решения: если в процессе решения искусственная переменная переходит из базисной в свободную, то столбец, соответствующий этой переменной, исключается из рассмотрения, так как эта переменная становится равной нулю.

37

Анализ полученного решения.

1.Оптимальное решение полученной целевой функции положительно.

В этом случае задача не имеет решения.

2.Оптимальное решение полученной целевой функции равно нулю и среди базисных переменных нет ни одной искусственной.

В этом случае исходные переменные оказались поделенными на две группы: свободные и базисные. После этого осуществляется переход к искомой целевой функции. Для этого в исходном выражении целевойфункциибазисные переменные выражаются через свободные.

Пример 1

1. Вводим искусственные переменные x6 , x7 , x8 . Искусственная целевая функция: G = x6 + x7 + x8 → 0 ,

G = x6 + x7 + x8 = 12 − 3x1 − 2x3 + x5 − x1 + x2 − x3 + 6 − x1 − x3 − x4 =

=23 − 5x1 + x2 − 4x3 − x4 + x5 → min .

2.Составляем симплекс-таблицу:

Далее по симплекс-методу находим разрешающий элемент 3. Меняем местами переменные x1 и x6, причем столбец, соответствующий x6, вычеркиваем из таблицы.

38

Новая симплекс-таблица:

Теперь свободной становится переменная x8, следовательно, вычеркивается соответствующий столбец.

Из равноценных столбцов желательно выбрать такой, чтобы искусственная переменная стала свободной.

В результате всех преобразований получена таблица:

Как видно из таблицы, в результате тождественного преобразования исходные переменные разделены на базисные и свободные.

3. Переход к исходной целевой функции:

Q = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 − x5 .

Запишемограничения, полученныеизитоговойсимплекс-таблицы:

x1 − x2 + x3 = 5,− + =

x5 3x2 x3 3,+ =

x4 x2 1.

39

Выразим базисные переменные через свободные и подставим эти выражения в целевую функцию:

Q = 2x1 + x2 − x3 + 3x4 − x5 =

= 2(5 + x2 − x3 ) + x2 − x3 + 3(1− x2 ) − (3 + 3x2 − x3 ) = 10 − 3x2 − 2x3.

В итоге получена начальная симплекс-таблица, т.е. задача приведена к каноническому виду:

Пример 2

x1 + x2 + x3 + x4 = 7,− + + + =

3x1 x2 2x3 x4 6,+ + − =

2x1 x2 x3 x4 2,

Q = − x1 + x2 + 2x3 − x4 → min.

1. Вводятся искусственные переменные x5 , x6 , x7 :

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 7,− + + + + =

3x1 x2 2x3 x4 x6 6,+ + − + =

2x1 x2 x3 x4 x7 2.

Искусственная целевая функция: G = x5 + x6 + x7 → min.

G = x5 + x6 + x7 = 7 − x1 − x2 − x3 − x4 + 6 + 3x1 − x2 − 2x3 − x4 − − x6 + 2 − 2x1 − x2 − x3 − x4 = 15 − 3x2 − 4x3 − x4 → min.

40