Математические основы теории систем. Методы оптимизации

Рис. 1.4. Оптимизация по минимальному отклонению реальной характеристики от идеальной: 1 – идеальная характеристика, 2, 3 – реальные характеристики

Необходимо найти такой вектор внутренних параметров X , при котором отклонение реальной характеристики от идеальной будет минимальным. На характеристике выбирают n точек, находят в этих точках разности между реальной и идеальной характеристиками:

где Q – критерий отклонения, Ci – весовые коэффициенты.

1.6.2. Обобщенные критерии

Обобщенные критерии – это критерии, связывающие несколько параметров объекта. Обобщенные критерии подразделяются на две подгруппы: обобщенные аддитивные и обобщенные мультипликативные критерии.

Обобщенный аддитивный критерий

В выражение этого критерия входит сумма выходных параметров объекта, взятая с весовыми коэффициентами:

11

i=1

где fi (X ) – выходные параметры объекта, ai – весовые коэффициен-

ты, (X ) – вектор внутренних параметров.

Для цифровой микросхемы выходными параметрами являются потребляемая мощность (Р), помехоустойчивость (∆U) и быстродействие (tз). Причем потребляемую мощность и время задержки распространения сигнала требуется по возможности уменьшить, а максимальную амплитуду помехи – увеличить. Следовательно, критерий оптимальности будет иметь вид

Обобщенный мультипликативный критерий

В выражение этого критерия входит произведение выходных параметров объекта:

Q= Πai fi + (X ) → (max) ,

Πai fi− (X )

где fi + (X ) – выходные параметры, требующие максимизации; fi − (X ) – выходные параметры, требующие минимизации.

Для примера микросхемы приведем критерий оптимальности

Задача оптимизации микросхемы для этого критерия состоит в том, чтобы найти такой вектор внутренних параметров X (значения резисторов и емкостей), при котором критерий оптимальности Q максимален.

1.6.3.Минимаксные критерии

Вэтих критериях минимизируется максимальный выходной параметр:

12

Положим fi (X ) – отклонение реальной характеристики от иде-

альной, i – номер точки на кривой. В этом случае суть критерия состоит в том, чтобы найти такую характеристику, максимальное отклонение которой от идеальной кривой было бы минимальным.

В группу минимаксных критериев также входят максиминные критерии:

Пример. Пусть fi (X ) – выходное напряжение логических эле-

ментов некоторого объекта. Требуется рассчитать схему так, чтобы минимальное выходное напряжение в разных точках логической схемы было как можно больше.

Нужно заметить, что объект, оптимальный по одному критерию, может быть неоптимальным по другому критерию.

1.7. Общая характеристика методов поиска экстремума

Основные методы поиска экстремума можно разделить на следующие группы (рис. 1.5).

Краткая характеристика методов и задач

Линейное программирование – задачи, в которых целевая функция и ограничения являются линейными функциями. Признаки линейности: переменные входят в выражения только в первой степени, отсутствуют произведения переменных.

Нелинейное программирование – задачи, в которых либо целе-

вая функция, либо ограничения нелинейные.

Вариационное исчисление занимается нахождением таких функций, которые доставляют экстремум некоторому функционалу (например, интегралу). Решением задачи вариационного исчисления является функция.

Оптимальное управление – частный случай задач вариационного исчисления. В этих задачах требуется найти функцию управления.

13

МЕТОДЫ

второго

порядка

Рис. 1.5. Классификация методов поиска экстремума

Если в задаче на поиск экстремума присутствуют ограничения, то это задача на поиск условного экстремума. Если же таковых ограничений нет, то это задача на поиск безусловного экстремума.

Часто для решения задачи требуется нахождение производных. Если нахождения производных не требуется, то метод относится к нулевому порядку, если требуется производная первого порядка, то говорят о методе первого порядка, и т.д.

В аналитических методах используется производная в виде функции. В численных методах нахождение производной как функ-

14

ции не требуется, хотя в задачах может находиться значение производной в некоторой точке численными методами.

В случайных методах для поиска экстремума используют случайные функции и величины. В детерминированных методах используются неслучайные функции.

Итерационные методы – пошаговые методы поиска экстремума. В неитерационных методах экстремум находится за один шаг.

15

2.ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

Кзадачам линейного программирования относятся такие оптимизационные задачи, в которых и целевая функция, и ограничения – линейный многочлен.

2.1. Стандартный вид задачи линейного программирования (ЗЛП)

В стандартном виде ЗЛП целевая функция минимизируется, ограничения имеют вид равенств:

{Переменные в задачах линейного программирования неотрицательны!}

Здесь aij, bi, pi – постоянные коэффициенты.

В этих задачах количество переменных больше или равно количеству ограничений-равенств: n≥m.

Если n = m, то область допустимых решений – точка;

если n > m, то область допустимых решений – многогранник; если n < m, то (m – n) ограничений линейно зависимы и их мож-

но исключить.

2.2. Способы приведения задачи линейного программирования к стандартному виду

Случай 1. Исходные условия задачи: целевая функция минимизируется, ограничения представляют систему неравенств вида «меньше или равно».

16

Полученная задача тождественна исходной. Действительно, убрав искусственные переменные, получим левыечасти ограничений ≤ bi.

Случай 2. Исходные условия задачи: целевая функция минимизируется, ограничения имеют вид неравенств типа«большеилиравно»:

Аналогично предыдущему случаю вводятся искусственные переменные, но эти переменные вычитаются из левых частей ограничений.

17

Случай 3. Исходные условия задачи: целевая функция максимизируется, ограничения имеют вид равенств.

Для приведения задачи к стандартному виду (2.1) сменим целевую функцию Q = p1x1 + p2 x2 + ... + pn xn → max на целевую функцию

G, все коэффициенты которой помножены на –1: G = − p1x1 − − p2 x2 − ... − pn xn → min. Полученная задача тождественна исходной.

2.3.Графический метод решения задач линейного программирования

Графический метод применяется для решения задач небольшой размерности (количество переменных не превышает 3). Рассмотрим метод на примере решения следующей задачи:

Q = x1 + x2 → max;

Рис. 2.1. Графический метод решения ЗЛП

18

3.Находится область допустимых решений (область, где выполняются все ограничения).

4.Строится график целевой функции при каком-либо значении правой части:

Q = x1 + x2 = 0, x2 = − x1.

5.График целевой функции перемещается параллельно самому себе в сторону роста (уменьшения при Q → min) целевой функции до касания с границей области допустимых решений. Граничная точка (или отрезок прямой) является решением задачи линейного программирования.

6.Находится решение: координаты граничной точки (точка А)

изначение целевой функции в этой точке:

A[10;5], Qmax = 15.

Выводы:

1.Область допустимых решений задачи линейного программирования представляет собой выпуклый многогранник.

2.Решение задачи линейного программирования находится на границе области допустимых решений.

Способ 2

Пункты 1–3 выполняются аналогично описанным в способе 1.

4.Подсчитываются значения целевой функции во всех вершинах допустимого многогранника:

Qmax = 15 , следовательно, точка A [10;5] – решение задачи.

19

Пример

Q = −2x1 − 4x2 → min;

Способ 1

1. Ограничения-неравенства заменяются на ограниченияравенства:

x1 − x2 = 10, x1 + 2x2 = 12, x2 = 4,

x1, x2 = 0.

2. Строятся графики полученных функций:

Рис. 2.2. Графический метод решения ЗЛП

20