Математические основы теории систем. Методы оптимизации

2.Накаждом шаге, кроменулевого, функциявычисляется одинраз.

3.Высокая производительность. (Для нахождения экстремума с

точностью ε = 1 % требуется вычислить функцию 11 раз.)

Пример 1

Найти минимум унимодальной функции f(x) = х2 – 5х, [а0, b0] = = [2;4], ε = 0,1.

Решение:

1. y0 = a0 + 3 − 5 (b0 − a0 ) = 2 + 0,382 2 = 2,764, 2

Z0 = a0 + b0 − y0 = 3,236.

2.f ( y0 ) = −6,180, f (z0 ) = −5,708 – отбрасываем правую часть интервала неопределенности.

3.a1 = a0 = 2,

b1 = z0 = 3,236,

Рис. 3.3. Метод «золотого сечения». Пример

a1 = y0 = 2, b1 = b0 = 1,

z1 = y0 = 0,764, y1 = z0 = 0,618,

f (z1 ) = 1,476, f ( y1 ) = 1,47 – отбрасываем правую часть интервала неопределенности и т.д.

3.1.2.5. Метод Фибоначчи

Постановка задачи.

Дано:

5. Начальный интервал неопределенности [а0, b0]. Функция f(x), унимодальная на отрезке [а0, b0]. Точность нахождения экстремума.

Требуется заn измерений функциинайтиэкстремум сточностьюε. Метод Фибоначчи считается самым эффективным.

Этот метод имеет тот же алгоритм, что и метод «золотого сечения», отличия заключены в координатах начальных точек:

где Fn и Fn+2 – n-е и (n+2)-е числа Фибоначчи.

72

F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8, F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55,

F11 = 89, F12 = 144, …

Значение n определяется при помощи неравенства

Пусть требуется найти экстремум с точностью 0,01. Тогда

b0 − a0 = 100,

ε

F11 = 89 < 100 < 144 = F12 , n = 10,

y0 = a0 + (b0 − a0 )55. 144

Далее так же, как и в методе «золотого сечения».

Задание для самостоятельного решения

Решить задачи, указанные в табл. 3.1. Последовательность действий:

1.Определить тип экстремума функции f(x). Для этого подсчи-

тываются значения f(x) в нескольких внутренних точках [a0, b0]. На основании найденных значений определяется тип экстремума функции f(x).

2.Если функция f(x) является монотонной на отрезке [a0, b0], то в качестве экстремума взять «минимум».

3.Для каждого метода достаточно сделать 4–5 шагов.

4.Результаты решения по окончании счета занести в таблицу.

Окончание табл. 3 . 1

74

3.2. Графический метод решения задач нелинейного программирования

Этот метод применяется, когда количество переменных равно двум и либо целевая функция, либо ограничения линейные. Рассмотрим два случая.

Целевая функция линейная, ограничения нелинейны

Алгоритм решения задачи:

1.Ограничения-неравенства заменяем ограничениями-равенствами. Строим графики полученных функций.

2.Выделяем область допустимых решений.

3.Строим график целевой функции при каком-либо значении правой части (графиком является прямая).

4.График целевой функции переносим параллельно самому себе до касания с границей области допустимых решений.

5.Находим координаты точки касания.

Пример

Z = 2x + y → max,

Точка А лежит на луче, проходящем под углом β к оси абсцисс. Кроме того, точка А принадлежит окружности. Следовательно, координаты точки А можно найти, решив следующую систему

(рис. 3.4):

75

Рис. 3.4. Графический метод решения ЗНЛП для линейной ЦФ и нелинейных ограничений

Zmax = 30 .

5

Ограничения линейные, целевая функция нелинейна

Алгоритм аналогичен предыдущему случаю с некоторыми отличиями:

1)область допустимых решений – выпуклый многоугольник;

2)для нахождения решения требуется строить семейство целевых функций.

Пример

Z = (x2 + y2 ) → max.

76

Рис. 3.5. Графический метод решения ЗНЛП для нелинейной ЦФ и линейных ограничений

Ответ: x = 8, y = 0, Zmax = 8.

3.3. Задачи дробно-линейного программирования

Существует некоторый класс задач нелинейного программирования, который можно свести к задачам линейного программирования. Это задачи дробно-линейного программирования.

Постановка задачи:

Предположим, что знаменатель целевой функции не равен нулю и положителен (если он отрицателен, то умножим числитель и знаменатель на –1).

Введем новую переменную y0:

d0 + ∑di xi

i=1

77

тогда ЦФ

d0 + ∑d j xj j=1

j=1

Получили задачу линейного программирования ((3.9) – (3.11)). Решив ее одним из методов линейного программирования, получим оптимальное решение yj .

Решение:

1. Вводим новые переменные y0, y1, y2:

y0 = 1 , x1 + 2x2 + 1

Q = −2x1 y0 + x2 y0 = −2y1 + y2 → min.

78

2. Преобразуем ограничения:

x1 y0 − 2x2 y0 − 2y0 ≤ 0,+ + =

2x1 y0 x2 y0 x3 y0 6y0 ,+ + =

x1 y0 2x2 y0 y0 1.

3. Преобразуем ограничение-неравенство в ограничениеравенство введением искусственной переменной y4:

y1 − 2y2 − 2y0 + y4 = 0.

4. Приведем задачу к каноническому виду методом искусственного базиса:

y1 − 2y2 − 2y0 + y4 = 0,+ + − + =

2y1 y2 y3 6y0 y5 0,+ + + =

y1 2y2 y0 y6 1.

Искусственная целевая функция: G = y5 + y6 → min.

5. В результате решения задачи методами линейного программирования получен ответ:

6. Переход к исходным переменным:

x1 − x2 + 2x3 = 4,− + + + =

x1 2x2 x3 x4 6,≥

x1, x2 , x3 , x4 0.

79

Решение:

1. Вводим новые переменные y0, y1, y2, y4:

Q = 3x2 y0 − 2x3 y0 = 3y2 − 2y3 → min.

x1 y0 − x2 y0 + 2x3 y0 = 4y0 ,+ + + =

x1 y0 2x2 y0 x3 y0 x4 y4 6y0 ,+ =

x2 y0 3x3 y0 1.

а) искусственные переменные выражаем из ограничений и подставляем в искусственную целевую функцию:

y5 = − y1 + y2 − 2y3 + 4y0 , y4 = y1 − 2y2 − y3 + 6y0 , y6 = 1− y2 − 3y3 = 1,

G = 6y0 − y1 + y2 − 2y3 + 6y0 + y1 − 2y2 − y3 + 1− y2 − 3y3 = = 10y0 − 2y2 − 6y3 + 1.

Теперь задача приведена к каноническому виду; б) решаем задачу линейного программирования, для которой ис-

кусственные переменные – базисные, а искомые – свободные. Задачу решаем для искусственной целевой функции.

80