Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

–∞ руб. ≤ Цена продукции № 2 ≤ 104 руб, 80 руб. ≤ Цена продукции № 3 ≤ 140 руб,

–∞ руб. ≤ Цена продукции № 4 ≤ 138 руб.

Модель 2

Целевая функция

z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.

Система ограничений:

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей, добавив дополнительное ограничение. Найденный результат сохраним под другим именем.

Необходимо внести изменения в модель с учетом новых технологических условий и повторить поиск решения. Для этого надо выполнить следующие действия:

1.Открыть рабочий лист Excel, где было получено решение по модели 1.

2.Изменить исходные данные согласно новым условиям.

3.Выполнить поиск решения в новых условиях.

4.Полученный результат сохранить в виде сценария с другим именем, просмотреть результаты сценария и проанализировать отчеты.

Подробный пример решения и оформления представлен в под-

разд. 2.6, 2.7.

111

Модель 3

Целевая функция

z = 40x1 + 45x2 + 50x3 + 35x4 → min.

Система ограничений:

x1 2x2 3x3 4x4 100,4x1 x2 2x3 120,

2x1 3x2 x3 5x4 150,2x1 4x3 3x4 140,

5x1 6x2 5x3 7x4 200,

80x1 90x2 100x3 70x4 2000, x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей. Найденный результат сохраним под другим именем.

Модель 4

Целевая функция:

z = 80x1 + 90x2 + 100x3 + 70x4 → max.

Система ограничений:

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Решение

Решим данную задачу аналогично предыдущей. Найденный результат сохраним под другим именем.

112

3.2. Оптимальное использование взаимозаменяемых ресурсов

Одним из условий применения оптимизационных методов в планировании является относительная свобода выбора. В задачах рассматриваемого типа такое условие осуществляется при выборе из групп взаимозаменяемых ресурсов (оборудование, сырье и др.) наиболее эффективного варианта с точки зрения поставленной цели.

Постановка задачи

Разделим оборудование предприятия (цеха) на несколько качественных групп, не заменяющих друг друга, при этом в пределах одной группы единицы оборудования взаимозаменяемы. Так возникает задача наилучшего распределения изготовляемой продукции в пределах одной группы, т.е. закрепления деталей за станками взаимозаменяемой группы.

Допустим, что предприятие может выпускать n видов изделий (обозначаем их индексом j = 1, 2, ..., n), используя оборудование одной из выделенных групп. В группе имеется m видов взаимозаменяемых единиц оборудования (обозначим их индексом i). Известны нормы времени обработки j-го изделия на i-м оборудовании (aij), общий фонд времени i-го оборудования на планируемый период (Ai), себестоимость обработки j-го изделия на i-м оборудовании (cij). Задана производственная программа по выпуску каждого вида изделий (Bj).

Требуется минимизировать суммарную себестоимость обработки всех изделий при условии выполнения производственной программы и соблюдении заданного фонда времени по видам оборудования.

Моделирование

Обозначим через xij количество изделий j-го вида, обрабатываемых на i-м оборудовании (переменные величины имеют два индекса для удобства построения модели). Построим математическую модель задачи.

113

Целевая функция

(3.7) – целевая функция минимума суммарной себестоимости.

(3.8) – система специальных ограничений на объем фактически имеющихся ресурсов и выполнение заданной производственной программы.

(3.9) – все значения переменных неотрицательные.

Задача состоит в определении значений xij, минимизирующих функцию (3.7) и удовлетворяющих условиям (3.8) и (3.9).

Полученная модель задачи может быть решена симплексным методом.

Примечение: в задачах такого типа в качестве цели (критерия эффективности) можно взять минимум суммарного времени обработки всех изделий. Возможны и другие критерии. Например, максимум прибыли. Кроме того, вместо производственной программы в условии задачи может быть дана только ее структура, а именно удельный вес каждого вида продукции в общем объеме (k1, k2, …, kn), т.е. набор продукции в одном комплекте. Тогда критерием является максимальный выпуск продукции заданной структуры.

В этом случае вводится еще одна переменная w – количество комплектов. Математическая модель задачи примет следующий вид.

Целевая функция

z w max.

114

Система ограничений:

n aij xij Ai ,

j 1m

xij k j w,i 1

w ≥ 0, xij ≥ 0, i = 1, …, m, j = 1, ..., n.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

При изготовлении трех видов изделий А, В, С могут быть использованы три вида взаимозаменяемого сырья (S1, S2, S3). В табл. 3.2 даны нормы расхода каждого вида сырья на единицу изделия (кг), количества сырья (кг), прибыль от единицы изделия (руб.).

Составитьоптимальнуюпрограммуиспользованиясырьясцелью:

–задача 1 – получения максимальной прибыли;

–задача 2 – получения максимума комплектов если задано условие комплектности (2:1:3).

Необходимо построить модели, найти оптимальное решение, проанализировать результаты.

Таблица 3.2

Задача 1

Моделирование

Обозначим переменные величины:

–х11 – количество изделий А из сырья S1;

–х12 – количество изделий В из сырья S1;

–х13 – количество изделий С из сырья S1;

115

–х21 – количество изделий А из сырья S2;

–х22 – количество изделий В из сырья S2;

–х23 – количество изделий С из сырья S2;

–х31 – количество изделий А из сырья S3;

–х32 – количество изделий В из сырья S3;

–х33 – количество изделий С из сырья S3. Целевая функция

z= 4x11 + x21 + 5x31 + 3x12 + 3x22 + 2x32 + 2x13 + 4x23 + 3x33 → max.

Система ограничений:

Решение

На рабочий лист Excel введем исходные данные и таблицу с изменяемымиячейками(рис. 3.11).

Рис. 3.11

Ячейки К3:М5 предназначены для значений переменных. О7 – целевая ячейка, в которой будет размещена формула целевой функции.

Ограничения на количество сырья – введем формулу =СУММПРОИЗВ(В3:D3;K3:M3) в ячейку N3 и растянем на ячейки

N3:N5.

Введем формулу =СУММПРОИЗВ(F3:H5;K3:M5) в ячейку O7 – целеваяфункция.

116

В ячейку К6 введем формулу суммы для всех изделий =СУММ (К3:К5) и растянем в ячейки К6:М6.

Для поиска оптимального плана производства изделий, который соответствует максимальному значению целевой функции, воспользуемся надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговое окно надстройки Поиск решения (рис. 3.12):

Рис. 3.12

1.В поле Оптимизировать целевую ячейку введем адрес целе-

вой функции О7.

2.Ниже выберем параметр Максимум.

3.В поле Изменяя ячейки переменных введем диапазон ячеек

сискомыми переменными К3:М5.

117

4.Установим флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберем параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовем окно Добавление ограничения. В этом окне выполним ссылки на ячейки ограничений,

атакже выберем оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимо ограничение на количество сырья N3:N5 ≤

≤O3:O5.

6.Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения. В окне Результаты поиска решения выберем отчет и сохра-

ним полученный результат как сценарий (кнопка Сохранить сце-

нарии) с именем Ресурсы.

Нарис. 3.13 приведеноптимальныйпланпроизводства изделий.

Рис. 3.13

Анализ отчетов

Анализ отчетов и выводы по анализу аналогичны тем, что представлены в подразд. 2.6 и 2.7.

Задача 2

Моделирование

Обозначим переменные величины:

–х11 – количество изделий А из первого сырья,

–х12 – количество изделий В из первого сырья,

–х13 – количество изделий С из первого сырья,

–х21 – количество изделий А из второго сырья,

–х22 – количество изделий В из второго сырья,

118

–х23 – количество изделий С из второго сырья,

–х31 – количество изделий А из третьего сырья,

–х32 – количество изделий В из третьего сырья,

–х33 – количество изделий С из третьего сырья. Целевая функция

z = x12 + x22 + x32 → max (максимум прибыли). Система ограничений:

Решение

Решим задачу аналогично предыдущей. В ограничениях добавим дополнительные ограничения на комплектность.

Анализ отчетов

Анализ отчетов и выводы по анализу аналогичны тем, что представлены в подразд. 2.6 и 2.7.

3.3.Транспортная задача

Вданном подразделе рассматривается задача транспортировки продукта, который в определенных количествах предлагается различными производителями. Известен спрос каждого потребителя на этот продукт. Требуется определить, от каких производителей

ив каких объемах должны получать продукт потребители. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы совокупные издержки на транспортировку были минимальными.

Моделирование

Обозначения:

– аi – величина предложения продукта в пункте i (i = = 1, ..., m);

119

–bj – величина спроса на продукт в пункте j (j = 1, ..., n);

–cij – затраты на транспортировку единицы продукта из пункта i в пункт j;

–xij – количество продукта, перевозимого из пункта i в пункт j.

Закрытая транспортная задача

Общее предложение равно общему спросу:

Математическая модель транспортной задачи примет следующий вид. Целевая функция

Условие (3.10) – необходимое и достаточное для существования допустимого плана задачи (3.11)–(3.14).

Существуют различные модели транспортной задачи: открытая транспортная задача, транспортная задача с запретами, с фиксированными перевозками, с ограничениями на пропускную способность, с фиксированными доплатами и т.д. (см. подразд. 1.6).

120