Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Суммарные расходы на перевозку

Z (X 2 ) 1 25 4 15 1 45 6 5 3 45 2 25 3 10 375.

Определим потенциалы для получения опорного плана по способу, описанному ранее. Положим, что u1 0, тогда

u2 1, u3 1, u4 1,

v1 5, v2 2, v3 2, v4 1.

Проверяем план на оптимальность. Вычисляем оценки для всех свободных клеток:

S11 9 (0 5) 4,

S12 8 (0 2) 6,

S13 3 (0 2) 1,

S23 5 ( 1 2) 4,

S24 7 ( 1 1) 7,

S32 5 (1 2) 2,

S41 8 (5 1) 2,

S42 7 (1 2) 4,

S44 4 (1 1) 2.

Отсутствие отрицательных оценок говорит о том, что полученный план является оптимальным. При этом решение единственное, так как нет нулевых оценок.

62

Суммарные расходы на перевозку по плану X2 будут минимальны:

Z (X 2 ) 1 25 4 15 1 45 6 5 3 45 2 25 3 10 375.

Решение транспортной задачи с открытой моделью. Как уже отмечалось ранее, транспортная задача с открытой моделью

решение.

Пример 3. Составить план перевозки груза из четырех пунктов отправления Аi, в которых запас продукции составляет ai, в четыре пункта назначения Вj, в которых потребность в запасах составляет bj. Затраты на перевозку единицы груза равны cij. Исходные данные задачи приведены в табл. 1.15.

Суммарный запас больше суммарной потребности, мы имеем открытую модель транспортной задачи.

Поскольку запасы ресурсов поставщиков превышают спрос потребителей, вводится фиктивный потребитель B5, спрос которого

b5 ai bj 180 170 10.

Затраты на перевозку к фиктивному потребителю составляют

ci5 0 (i 1,3).

После введения фиктивного потребителя открытая модель задачи преобразуется в закрытую (табл. 1.16).

63

64

Суммарные расходы на перевозку

Z (X 1 ) 1 30 4 20 1 40 5 5 3 55 2 20 8 0 0 10 380.

Число занятых клеток равно 8, а m n 1 4 5 1 8 , значит, исходный опорный план является невырожденным.

Вычисляем оценки для всех свободных клеток:

S11 9 (0 7) 2,

S12 8 (0 4) 4,

S13 3 (0 2) 1,

S15 0 (0 1) 1,

S23 5 ( 3 2) 6,

S24 7 ( 3 1) 9,

S25 0 ( 3 0) 3, S31 6 (7 1) 2 (!), S35 0 (1 1) 0,

S42 7 (1 4) 2,

S43 3 (2 1) 0,

S44 4 (1 1) 2.

Присутствие отрицательных оценок говорит о том, что полученный план не является оптимальным.

Построим для отрицательной оценки цикл в распределительной таблице:

min(5, 20) 5.

Делаем сдвиг по циклу на число λ = 5. Получаем новый опорный план (табл. 1.18).

65

Суммарные расходы на перевозку

Z ( X 2 ) 1 30 4 15 1 45 6 5 3 55 2 20 8 0 0 10 370.

Проверяем план X 2 на оптимальность. Определяем потенциалы:

u1 0, u2 1, u3 1, u4 3,

v1 5, v2 2, v3 2, v4 1, v5 3.

Вычисляем оценки для всех свободных клеток:

S11 9 (0 5) 4,

S12 8 (0 2) 6,

S13 3 (0 2) 1,

S15 0 (0 3) 3,

66

Определяем потенциалы:

u1 0, u2 1, u3 1, u4 1,

v1 5, v2 2, v3 2, v4 1, v5 1.

Вычисляем оценки для всех свободных клеток:

S11 9 (0 5) 4,

S12 8 (0 2) 6,

S13 3 (0 2) 1,

S15 0 (0 1) 1,

S23 5 ( 1 2) 4,

S24 7 ( 1 1) 7,

S25 0 ( 1 1) 2,

S32 5 (1 2) 2,

S35 0 (1 1) 0,

S41 8 (1 5) 2,

S42 7 (1 2) 4,

S44 4 (1 1) 2.

Отсутствие отрицательных оценок говорит о том, что полученный план является оптимальным. При этом решений множество, так как есть нулевая оценка.

68

Суммарные расходы на перевозку по плану X3* будут минимальны:

Z ( X3* ) 1 30 4 15 1 45 6 5 3 55 2 20 3 0 0 10 370.

69

ГЛАВА 2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НАДСТРОЙКИ

MICROSOFT EXCEL «ПОИСК РЕШЕНИЯ» ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

2.1. Описание надстройки «Поиск решения»

Задача оптимизации – это задача выбора из множества возможных вариантов наилучшего, оптимального. Оптимальным называется решение, обеспечивающее наилучшее значение выбранного критерия. Например, минимум используемых ресурсов, максимум получаемой прибыли и т.д. Одно и то же решение может быть оптимальным в одних условиях и неоптимальным – в других. Отличительной особенностью оптимального решения является то обстоятельство, что его нельзя улучшить, а можно только повторить. Этот эффект объясняется тем, что оптимальное решение удовлетворяет условию экстремума (максимума или минимума) критериальной функции.

Решение такой задачи называют планом или программой, например план производства. Другими словами, это те неизвестные, которые необходимо найти, например количество продукции, которое даст максимальную прибыль. Задача оптимизации – поиск экстремума, т.е. максимального или минимального значения определенной функции, которую называют целевой функцией. Поскольку все в мире ограничено (время, деньги, природные и человеческие ресурсы), в задачах оптимизации всегда есть определенные ограничения, например количество материала, рабочих и станков на предприятии по изготовлению деталей.

Оптимизационные модели широко используются в экономике для решения различных задач: определение оптимального ассортимента выпускаемой продукции, оптимальное использование взаимозаменяемых ресурсов, определение оптимальных смесей, транспортная задача, задача о назначении и пр.

70