Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

дачи совпадает с оптимальным значением задачи, приведенной к закрытой форме. Следовательно, эффективность назначений в результате такого преобразования не меняется.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Предприятие объявило набор работников для нового цеха – указало названия трех должностей. Кадровая служба собрала четырех претендентов на эти должности, провела тестирование и определила эффект от выполнения работы каждым претендентом.

Нужно назначить на вакантные должности претендентов таким образом, чтобы общая эффективность выполняемых ими работ была максимальной.

Исходные данные для решения представлены в табл. 3.5.

Моделирование

Обозначим переменные величины:

–хij – искомые переменные характеризуют, используется или нет j-й претендент на i-й должности;

–х11 – назначение претендента № 1 на должность а1;

–х12 – назначение претендента № 2 на должность а1;

–х13 – назначение претендента № 3 на должность а1;

–х14 – назначение претендента № 4 на должность а1. Аналогично для остальных должностей.

Тогда целевая функция

z= 5x11 + 4x12 + 2x13 + 6x14 + 4x21 + 5x22 +

+4x23 + 4x24 + 3x31 + 6x32 + 5x33 + 3x34 → max.

131

Система ограничений:

x11 x21 x31 1,x12 x22 x32 1,

x13 x23 x33 1,x14 x24 x34 1,

x11 x12 x13 x14 1,

x21 x22 x23 x24 1,x31 x32 x33 x34 1,

где xij – булевы переменные, принимают значение 0 или 1.1, если j-йпретендент назначенна i-ю должность,

xij 0, если j-йпретендент неназначенна i-ю должность.

Решение

Введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками

(рис. 3.22).

Рис. 3.22

Ячейки H4:K6 предназначены для значений переменных (это изменяемые в процессе поиска решения ячейки), в которых появятся значения 0 или 1 по завершении поиска решения.

L8 – целевая ячейка, в которой будет размещена формула целевой функции.

В таблице Назначение добавлены:

–столбец Назначено на должность;

–строка Назначено претендентов.

132

Заполним таблицу Назначение формулами:

–ограничения на должности – в ячейку L4 столбца введем =СУММ(H4:K4), а затем растянем эту формулу в ячейки L5:L6;

–ограничения на претендентов – в ячейку H7 введем =СУММ(H4:H6) и растянем ее в ячейки I7:K7;

–в ячейку L8 запишем формулу для целевой функции

=СУММПРОИЗВ(B4:E6;H4:K6).

Для поиска оптимального решения воспользуемся надстройкой Поиск решения. Заполним диалоговое окно надстройки (рис. 3.23):

1. ВполеОптимизировать целевуюячейкувведемадресЦФL8. 2. Ниже выберем параметр Максимум.

3. В поле Изменяя ячейки переменных введем диапазон ячеек

сискомыми переменными H4:K6.

4.Установим флажок Сделать переменные без ограничений неотрицательными и выберем параметр Поиск решения линейных задач симплекс-методом.

5.Щелчком по кнопке Добавить вызовем окно Добавление ограничения. В этом окне проставим ссылки на ячейки ограничений,

атакже выберем оператор ограничений. Для решения данной задачи нам необходимы следующие ограничения:

– L4:L6 = 1 – условие назначения на все должности,

– H7:K7 ≤ 1 – условие распределения претендентов,

– H4:K6 – бинарные переменные.

6.Нажав кнопку Найти решения, получим результаты решения. В окне Результаты поиска решения выберем отчет и сохра-

ним полученный результат как сценарий (кнопка Сохранить сце-

нарии) с именем Назначение.

На рис. 3.24 приведено оптимальное решение задачи о назначении.

133

Таким образом, анализ решения показал, что:

–претендент № 1 остается без работы,

–претендент № 2 назначен на должность а2,

–претендент № 3 назначен на должность а3,

–претендент № 4 назначен на должность а1.

3.5.Оптимальный раскрой материала

Вданном подразделе рассмотрены возможности использования модели линейного программирования для решения задач раскроя. Эта область приложения модели линейного программирования хорошо изучена. Благодаря работам в области оптимального раскроя основоположника теории линейного программирования лауреата Нобелевской премии академика Л.В. Канторовича задачу оптимального раскроя можно назвать классической прикладной оптимизационной задачей.

Большинство материалов, используемых в промышленности, поступает на производство в виде стандартных форм. Непосредственное использование таких материалов, как правило, невозможно. Предварительно их разделяют на заготовки необходимых размеров. Это можно сделать, используя различные способы раскроя материала. Задача оптимального раскроя состоит в том, чтобы выбрать один или несколько способов раскроя материала и определить, какое количество материала следует раскроить, применяя каждый из выбранных способов. Задачи такого типа ставятся в металлургии

имашиностроении, лесной, лесообрабатывающей, легкой промышленности.

Задача рационального или оптимального раскроя (распила) материалов возникает в заготовительном цехе любого машиностроительного предприятия. Рациональный раскрой материала на заготовки позволяет экономить сырье, уменьшая отходы. А это, в свою очередь, приводит к снижению себестоимости продукции.

Выделяют два этапа решения задачи оптимального раскроя. На первом этапе определяются рациональные способы раскроя ма-

135

териала, на втором – решается задача линейного программирования для определения интенсивности использования рациональных способов раскроя.

Обычно в задачах подобного типа не задаются способы раскроя, их определяет разработчик-специалист из практических соображений до построения математической модели.

1.Определение рациональных способов раскроя материала.

Взадачах оптимального раскроя рассматриваются так называемые рациональные (оптимальные по Парето) способы раскроя. Предположим, что из единицы материала можно изготовить заготовки нескольких видов. Способ раскроя единицы материала называется

рациональным (оптимальным по Парето), если увеличение числа заготовок одного вида возможно только за счет сокращения числа заготовок другого вида.

Если способ раскроя задан, то известно количество заготовок, полученных из единицы конкретного вида материала.

2.Определение интенсивности использования рациональных способов раскроя. Обозначения:

– j – индекс материала, j = 1, ..., п;

– k – индекс вида заготовки, k = 1, ..., q;

– i – индекс способа раскроя единицы материала, i = 1, ..., m;

– аijk – количество (целое число) заготовок вида k, полученных при раскрое единицы j-го материала i-м способом;

– bk – число заготовок вида k в комплекте, поставляемом заказчику;

– Bk – план выпуска заготовки k-го вида;

– dj – количество материала j-го вида;

– cij – величина отхода, полученного при раскрое единицы j-го материала по i-му способу;

– w – число комплектов заготовок различного вида, поставляемых заказчику;

– xij – количество единиц j-го материала, раскраиваемых по i-му способу (интенсивность использования способа раскроя).

Математическая модель задачи раскроя с минимальным расходом материалов примет следующий вид.

136

Целевая функция

(3.19) – целевая функция (минимум количества используемых материалов).

(3.20) – система ограничений, определяющих количество заго-

Система ограничений (3.20)–(3.22).

Математическая модель задачи раскроя с учетом комплектации примет следующий вид.

Целевая функция

Система ограничений:

137

(3.24) – целевая функция (максимум комплектов, включающих заготовки различных видов).

(3.25) – ограничения по количеству материалов.

(3.26) – система ограничений, определяющих количество заготовок, необходимое для формирования комплектов.

(3.27) – условия неотрицательности переменных.

Пример решения задачи в Microsoft Excel

Постановка задачи

Прутки длиной L1 = 100 см в количестве 50 шт. и длиной L2 = 150 см в количестве 60 шт. требуется разрезать на заготовки длиной 40, 35 и 45 см.

Необходимо построить таблицу полноценных вариантов раскроя (табл. 3.6).

На множестве полноценных вариантов раскроя сформулировать модель задачи по критериям максимума количества заготовок, удовлетворяющих условию комплектности (3, 2, 1). Найти оптимальный план раскроя. Проанализировать решение.

Варианты раскроя

138

Моделирование

Обозначим переменные величины (для удобства переменные имеют один индекс, их число равно количеству способов):

–х1 – количество первого материала, раскроенного первым способом;

–х2 – количество первого материала, раскроенного вторым способом;

–х3 – количество первого материала, раскроенного третьим способом;

–х4 – количество первого материала, раскроенного четвертым способом;

–х5 – количество первого материала, раскроенного пятым способом;

–х6 – количество первого материала, раскроенного шестым способом;

–х7 – количество второго материала, раскроенного седьмым способом;

–х8 – количество второго материала, раскроенного восьмым способом;

–х9 – количество второго материала, раскроенного девятым способом;

–х10 – количество второго материала, раскроенного десятым способом;

–х11 – количество второго материала, раскроенного одиннадцатым способом;

–х12 – количество второго материала, раскроенного двенадцатым способом;

–х13 – количество второго материала, раскроенного тринадцатым способом;

–w – количество комплектов.

Тогда целевая функция

z = w → max.

139

Система ограничений:

xi ≥ 0, i = 1, 2, …, 18.

Решение

Введем исходные данные и таблицу с изменяемыми ячейками в Excel (рис. 3.25).

Рис. 3.25

Ячейки G3:G15 предназначены для значений переменных. G16 – целеваяячейка, вкоторойбудетразмещенаформулацелевойфункции.

Ограничения на количество материала – в ячейку H3 введем формулу =СУММ(G3:G8), а в ячейку H9 введем формулу

=СУММ(G9:G15).

140