Экономические задачи линейного программирования и их решение с испол

Пример

Рассмотрим двойственную задачу для модели из подразд. 1.4. Прямая задача:

z = 20x1 + 18x2 + 26x3 + 30x4 → max,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

Каждому неравенству поставим в соответствие переменные y1, y2 , y3 , которые оценивают единицу каждого ресурса.

Двойственная задача:

f = 126y1 + 152y2 + 112y3 → min,

y1, y2, y3 ≥ 0.

Каноническая форма двойственной задачи: f = 126y1 + 152y2 + 112y3 → min,

y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7 ≥ 0,

где y1, y2, y3 – основные переменные двойственной задачи (теневая цена), которые оценивают единицу соответствующего ресурса;

41

y4, y5, y6, y7 – дополнительные переменные двойственной задачи (приведенная стоимость), которые оценивают соответствующий вариант плана.

Между переменными прямой и двойственной задач существует следующее соответствие (табл. 1.8).

Оптимальное решение двойственной задачи находится в оценочной строке последней итерации симплексной таблицы прямой

задачи j . Оптимальное решение:

y1 0, y2 594 , y3 12 , y4 76, y5 0, y6 4, y7 0, f 2298.

Анализ

Оценка единицы сырья равна 0, так как этот вид ресурса в избытке. Оценка единицы рабочей силы и единицы оборудования

равны соответственно 594 и 12 . Это означает, что дополнительная

единица рабочей силы может дать увеличение прибыли на 594 еди-

ницы, т.е. дополнительно отработанный час может привести к уве-

личению суммарной прибыли предприятия на 594 руб. А дополни-

тельная единица оборудования может дать увеличение прибыли на

12 единицы, т.е. дополнительное использование одного станко-часа оборудования может привести к увеличению суммарной прибыли

42

на 12 руб. Таким образом, самым эффективным ресурсом является

рабочая сила, так как ее двойственная оценка максимальная.

В пределах устойчивости двойственной оценки вывод справедлив для небольших приращений ресурсов.

Дополнительные переменные двойственной задачи y4 , y5 , y6 , y7

оценивают соответствующий вариант плана. Товары 2 и 4 имеют оценки, равные 0, поскольку эти виды продукции вошли в оптимальный план (см. решение прямой задачи). Товар 1 имеет оценку 76, а товар 3 – оценку 4. Это означает, что товар 3 более выгодно производить, чем товар 1. Чем меньше дополнительная переменная двойственной задачи, тем выгоднее производить соответствующий вид продукции.

Таким образом, оптимальное решение двойственной задачи можно использовать для принятия управленческих решений по приобретению дополнительных ресурсов, по выпуску той или иной продукции.

1.6. Транспортная задача линейного программирования

Постановка транспортной задачи. Пусть имеется m пунктов отправления А1, А2, …, Аm, при этом запас груза ограничен и составляет ai (i = 1, ..., m). Данный груз необходимо доставить в n пунктов назначения В1, B2, …, Bn, при этом потребность в грузе составляет bj (j = 1, ..., n). Допустим, суммарный запас груза равен суммар-

ной потребности. Стоимость перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю равна cij.

Требуется определить план доставки грузов от поставщиков к потребителям при условии минимальной суммарной стоимости всех перевозок.

Построим математическую модель транспортной задачи. Обо-

значим переменные величины хij ( i 1, m; j 1, n ) – количество груза перевозимого от i-го поставщика к j-му потребителю.

43

44

Запасы грузов в каждом пункте отправления ограничены, весь груз должен быть вывезен, следовательно, получаем систему ограничений по запасам:

Потребность в грузе каждого пункта назначения должна быть полностью удовлетворена, поэтому получаем систему ограничений по потребностям:

Все переменные должны быть неотрицательными:

xij 0 (i 1, m; j 1, n) .

Целевая функция транспортной задачи – минимальная суммарная стоимость всех перевозок:

z c11x11 ... c1n x1n c21x21 ... cmn xmn min .

Таким образом, можем поставить транспортную задачу следующим образом:

– дана линейная целевая функция

– система m+n линейных уравнений с (m·n) переменными:

45

– при соблюдении условия неотрицательности xij 0 (i 1, m; j 1, n) .

Требуется среди решений системы ограничений (1.18) найти такое неотрицательное решение, при котором целевая функция (1.17) принимает минимальное значение.

Математические модели транспортных задач

1. Закрытая транспортная задача. Транспортная задача на-

зывается закрытой, если суммарный запас грузов у поставщиков равен суммарному спросу потребителей:

Математическая модель транспортной задачи примет вид:

пункте производства.

(1.22) – ограничения по величине спроса в каждом пункте отправления.

(1.23) – условия неотрицательности объемов перевозок. Условие (1.19) – необходимое и достаточное условие сущест-

вования допустимого плана задачи (1.20)–(1.23).

2. Открытая транспортная задача. Транспортная задача на-

зывается открытой, если суммарный запас грузов у поставщиков

46

больше или меньше суммарного спроса потребителей. При этом возможно два варианта: излишек запаса груза или дефицит груза.

При излишке продукта

математическая модель транспортной задачи примет вид:

математическая модель транспортной задачи примет вид:

n m

z(x) cij xij min,

j 1 i 1

n

xij ai (i 1, ..., m),

j 1

m

xij bj (j 1, ..., n),

i 1

xij ≥ 0 (i = 1, …, m, j = 1, ..., n).

Для решения открытой транспортной задачи необходимо преобразовать ее в закрытую. С этой целью вводится фиктивный (n+1)-й потребитель или фиктивный (m+1)-й поставщик.

47

Допустим, имеет место излишек груза. В этом случае необходимо ввести фиктивного (n+1)-го потребителя (в транспортной таблице – дополнительный столбец). Тогда спрос фиктивного потребителя

а все тарифы одинаковы и обычно равны нулю: ci,n 1 0 (i 1, m).

Если имеет место дефицит продукта, то необходимо ввести фиктивного (m+1)-го поставщика (в транспортной таблице – дополнительная строка). Тогда запас груза фиктивного поставщика

а все тарифы одинаковы и обычно равны нулю: cm 1, j 0 ( j 1, n).

При преобразовании открытой задачи в закрытую целевая функция не меняется, так как все слагаемые, соответствующие дополнительным перевозкам, равны нулю.

3. Транспортная задача с запретами. Пусть Е – множество пар индексов ij, таких, что из пункта i в пункт j допускается транспортировка продукта. Между любыми другими двумя пунктами транспортировка невозможна.

Пусть М – большое число, например:

Mmax(cij ) max n bj , m ai (i 1,..., m; j 1,..., n).

j 1 i 1

Тогда

s cij , если (i, j) E, ij M , если (i, j) E.

Транспортная задача решается с коэффициентом sij.

В оптимальном плане {xij*} транспортной задачи при ограни-

чениях (1.21), (1.22) xij = 0, если (i, j) Е.

48

4.Транспортная задача с фиксированными перевозками. Если объем перевозок между пунктами i и j задан, то в задаче (1.20)–

(1.23) вводится дополнительное ограничение: xij = vij, где vij – заданный объем перевозок.

5.Транспортная задача с ограничениями на пропускную спо-

собность. Если объем перевозок из пункта i в пункт j ограничен величиной wij, то в задаче (1.20)–(1.23) вводится дополнительное

ограничение: xij ≤ wij.

6. Транспортная задача с фиксированными доплатами. Пред-

положим, что в открытой транспортной задаче имеет место дефицит продукта и для его устранения в пунктах i = m + 1, ..., k возможно создание новых мощностей di.

Пусть переменные si = 1, если в пункте i (i = m + 1, ..., k) вводятся мощности di, и si = 0, если в пункте i мощности не вводятся. Издержки на ввод мощностей di в пункте i (i = m + 1, ..., k) состав-

ляют иi.

С учетом возможности создания новых мощностей транспортная задача может быть записана в следующем виде.

Математическая модель:

49

(1.24) – целевая функция (минимум затрат на транспортировку и ввод мощностей).

(1.25) – ограничения по величине предложения в каждом существующем пункте производства.

(1.26) – ограничения по величине предложения в каждом новом пункте производства.

(1.27) – ограничения по величине спроса в каждом пункте потребления.

(1.28) – ограничение на ввод мощностей.

(1.29) – условия неотрицательности объемов перевозок. Помимо непрерывных переменных xij в модель включены бу-

левые переменные zi. Задача (1.24)–(1.28) является задачей линейного программирования со «смешанными» переменными.

Все приведенные модели описывают транспортную задачу в виде задачи линейного программирования. В такой форме она может быть решена стандартными средствами линейного программирования, например симплекс-методом.

Для решения транспортной задачи могут быть использованы также и менее трудоемкие (по объему вычислений) алгоритмы, например метод потенциалов.

Этапы решения транспортной задачи. Решение транспорт-

ных задач состоит из двух этапов:

1.Построение исходного опорного плана перевозок xij, удовлетворяющего системе ограничений.

2.Улучшение исходного плана перевозок и получение оптимального плана, при котором целевая функция принимает минимальное значение.

Переменные, которые больше 0, называются базисными. Количество базисных переменных не более ранга системы ограничений. Для транспортной задачи ранг r m n 1.

Нахождение исходного опорного плана транспортной задачи возможно различными методами, например методом «северозападного угла» или методом «минимального элемента».

50