Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-конференции молодых ученых и с

Одновитковый тор из гибкой упругой трубки получается в результате соединения концов трубки телескопическим подвижным соединением при одновременном развороте концов трубки в противоположные стороны. Полученный промежуточный тор может быть сложен в трехвитковый тор без существенных деформаций трубки.

Их той же самой трубки можно получить двухвитковый тор, к которому будем применять два способа соединения концов трубки. Первый способ заключается в соединении концов по наружному контуру объекта, а второй способ – по внутреннему.

С использованием более длинной трубки можно создавать несколько трехвитковых торов, у которых концы трубки соединяются 4 способами при намотке витков по часовой стрелке и 4 способами при намотке против часовой стрелки. Увеличивая число витков объекта, мы увеличиваем число возможных способов соединения контуров в получаемых объектах. При этом получаем множество торов, в которых будут различные остаточные деформации. Полученные структуры будут однотипными. Проекции этих структур на любую плоскость дают множество кривых. Вращая в соединениях концы трубки в противоположных направлениях, получим плоские или пространственные фигуры и динамические картины их изменения.

Предложенные физико-топологические преобразования тонких трубок, сделанных из слабоупругопластических материалов (полиэтилена терафтолат), дают возможность решать некоторые задачи топологии. Во время доклада будут продемонстрированы описанные физико-топологические преобразования.

131

БИОМЕХАНИЧЕСКОЕ ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЙ ПРИКУСА НА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ВИСОЧНО-НИЖНЕЧЕЛЮСТНОГО СУСТАВА

В.Н. Никитин, Ю.И. Няшин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Физиологические процессы в организме человека очень тесно связаны. Изменения в одной из систем организма непременно влекут за собой изменения в других. Для выявления взаимосвязи различных процессов и систем необходимо рассматривать их комплексно, и зачастую это биомеханическое влияние различных процессов друг на друга трудно учесть.

Различные медицинские специалисты в своей практике зачастую изучают отдельные органы или системы организма человека. Стоматологи в своей практике изучают изменения прикуса человека и влияние этих изменений на окружающие ткани, анализируют возможности проведения лечения, используя ортопедические аппараты, протезы и имплантаты. Практикующие стоматологи практически не анализируют состояние височно-нижнечелюстного сустава (ВНЧС). При изменениях прикуса диск ВНЧС, который является самой мобильной структурой сустава и находится между двумя суставными поверхностями, перераспределяет напряжения во всей зубочелюстной системе путем смещения в различных направлениях и зачастую «ставит себя под удар» [1].

При смещении суставного диска ВНЧС вовнутрь образуется выпячивание капсулы сустава (дивертикул) [1, 2]. Часто образование дивертикула сопровождается появлением головных болей и чрезмерной напряженностью мышц лица, что иногда значительно осложняет жизнь и ведет к дальнейшему ухудшению состояния прикуса и ВНЧС. При больших выпячиваниях (дивертикулах) происходит раздражение нервов, опле-

132

тающих ВСА. При раздражении ее стенки происходит сужение просвета и уменьшение объема крови, поступающего в головной мозг, а также перераспределение кровотока [3]. При полном пережатии (окклюзии) ВСА происходит инсульт (острое нарушение мозгового кровоснабжения), после которого человек погибает или остается инвалидом [1].

При неправильном прикусе (неправильное положение и (или) отсутствие зубов) необходимо оценивать биомеханическое состояние ВНЧС, выявить соотношение прикуса и положения ВНЧС по отношению к суставной ямке и оценить возможное влияние ВНЧС на ВСА [1–4]. Следует отметить, что любое лечение должно носить комплексный характер. Иначе вылечив один орган, можно привести к тому, что пострадает другой.

Международная программа «Виртуальный физиологический человек», целью которой является создание виртуальной модели человека, направлена на рассмотрение организма в целом и учет процессов и их взаимовлияния для лучшего понимания функционирования организма и лечения [4].

Список литературы

1.Влияние биомеханических стоматологических факторов на качество и продолжительность жизни людей / Л.Ф. Оборин, Ю.И. Няшин, В.Н. Никитин, А.В. Райков // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 14, № 4. – С. 70–86.

2.Височно-нижнечелюстной сустав человека как элемент зубочелюстной системы: биомеханический анализ / Ю.И. Няшин, В.М. Тверье, В.А. Лохов, М. Менар // Российский журнал биомеханики. – 2009. – Т. 13, № 4. – С. 7–21.

3.Оборин Л.Ф., Шмурак М.И. О механизме влияния коллатерального кровообращения головного мозга на развитие атрофических, болевых и других синдромов зубочелюстной системы // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 14,

№1. – С. 64–72.

133

4. Взаимодействие зубочелюстной системы с другими системами человеческого организма в рамках концепции виртуального физиологического человека / Ю.И. Няшин, А.Н. Еловикова, Я.А. Коркодинов, В.Н. Никитин, А.В. Тотьмянина // Российский журнал биомеханики. – 2011. – Т. 15, № 3. – С. 8–26.

ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИИ И ЭВОЛЮЦИИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕКУЧЕСТИ В УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МОНО- И ПОЛИКРИСТАЛЛОВ

А.С. Никитюк, П.В. Трусов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

При построении математических моделей процессов неупругого деформирования весьма важным является определение условий разделения областей упругого и упругопластического деформирования, поскольку материал при каждом из этих видов деформирования ведет себя принципиально различным образом, его свойства и отклик на воздействия различны.

Для решения этой проблемы в классической теории пластичности вводится шестимерное пространство напряжений или пятимерное пространство девиаторов напряжений. Полагается, что деформирование осуществляется упругим образом до тех пор, пока изображающая точка в пространстве напряжений не достигает пределов некоторой гиперповерхности в 5-мерном пространстве девиаторов или 6-мерном пространстве тензоров напряжений, характерной для данного материала – поверхности текучести (ПТ) [1]. Если уравнение поверхности текучести известно в произвольный момент деформирования, то с использованием принципа градиентальности легко устанавливаются и определяющие соотношения. Таким образом, построение законов эволюции поверхности текучести явля-

134

ется очень важной проблемой, с решением которой связаны сложные задачи описания процессов упругопластического деформирования, в том числе при больших градиентах перемещений. Эмпирическое определение законов эволюции поверхности текучести, используемое в макрофеноменологической теории пластичности, сопряжено со значительными материальными

ивременными затратами. Кроме того, при этом трудно выявить

иописать физические механизмы, обусловливающие особенности поведения различных материалов. Целью работы является

свойств и эволюции поверхности текучести в процессах интенсивных пластических деформаций.

Для достижения поставленной цели в работе используется аппарат физических теорий пластичности (ФТП), под которыми понимается широкий класс теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах [1]. В ФТП в качестве основного механизма неупругого деформирования рассматривается скольжение дислокаций по определенным системам скольжения. На первой стадии работы рассматривалась задача об исследовании геометрических свойств ПТ для монокристалла с гранецентрированной кубической решеткой, результаты представлены в работе [2]. На основе упругопластической модели деформирования поликристалла (подробнее с которой можно ознакомиться в работе [3]) предложен алгоритм построения эволюционирующей поверхности текучести поликристалла при интенсивных пластических деформациях.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(гранты 10-08-96010-р_урал_а, 10-08-00156_а, 12-08-01052-а),

ФЦП «Научные и педагогические кадры инновационной России» (мероприятие 1.2.2, соглашение 14.B37.21.0382).

135

Список литературы

1.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2011. – 419 с.

2.Волегов П.С., Никитюк А.С., Янц А.Ю. Геометрия поверхности текучести и законы упрочнения в физических теориях пластичности // Вестник ПГТУ. Математическое моделирование систем и процессов. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.

ун-та, 2009. – № 17. – С. 25–34.

3.Швейкин А.И. Конститутивная модель упругопластического деформирования металлов // Вестник ПГТУ. Прикладная математика и механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.

ун-та, 2007. – № 8 (6). – С. 42–53.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГЦК-ПОЛИКРИСТАЛЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЗИЧЕСКОЙ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ

М.А. Новикова, П.В. Трусов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

В работе рассматривается одна из актуальных проблем современной физики и механики деформируемого твердого тела – описание упрочнения моно- и поликристаллических материалов. Работа посвящена разработке и реализации математической модели для описания упруговязкопластического деформирования представительного объема ГЦК-поликристалла, которая позволяет описать его поведение при деформировании. Осуществлены концептуальная и математическая постановки задач на макро- и мезоуровне, записаны определяющие соотношения для модели, рассматривается двухуровневая упруговязкопластическая модель. Элементом макроуровня является

136

представительный макрообъем (поликристаллический агрегат), мезоуровня – кристаллит (зерно, субзерно).

Основным механизмом пластического (неупругого) деформирования является движение краевых дислокаций, которое моделируется сдвигами по кристаллографическим системам скольжения. В качестве определяющего соотношения на макро- и мезоуровне используется закон Гука в скоростной релаксационной форме; скорость полных деформаций поликристаллического агрегата на макроуровне представляется суммой упругих и пластических составляющих [1].

На мезоуровне рассматривается вариант упруговязкопластической модели со степенным законом течения и комбинированным законом упрочнения. Для неупругих ротаций на мезоуровне принимается полностью стесненная модель Тейлора, определяющая спин решетки как разность тензора вихря и антисимметричной части тензора пластических сдвигов [2]. В качестве меры скорости напряжений используется производная яуманновского типа тензора напряжений Коши [3, 4].

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(гранты №10-08-00156-а, 10-08-96010-р_урал_а).

Список литературы

1.Трусов П.В., Швейкин А.И. Теория пластичности. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. – 281 с.

2.Швейкин А.И., Ашихмин В.Н., Трусов П.В. О моделях ротации решетки при деформировании металлов // Вестник ПГТУ. Механика. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2010. –

№1. – С. 111–127.

3.Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель полиэтилена низкого давления с внутренними переменными: общая структура и механизмы деформирования // Математическое моделирование систем и процессов: межвуз. сб. науч. тр. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. ун-та, 2008. – № 16. – С. 87–99.

137

4. Нечаева Е.С., Трусов П.В. Конститутивная модель частично кристаллического полимерного материала. Алгоритм реализации модели мезоуровня // Вычислительная механика сплошных сред. – 2011. – Т. 4, № 1. – С. 74–89.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ГИПЕРУПРУГИХ ИЗОТРОПНЫХ ТЕЛ

А.А. Олейников

(Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет, г. Комсомольск-на-Амуре)

Для гиперупругого изотропного материала Генки получено новое компактное представление тензора упругости четвертого порядка, обладающего как минорными симметриями, так и главной симметрией [1], что обеспечивает такую конеч- но-элементную аппроксимацию уравнений, при которой матрица касательной жесткости является симметричной. Полученное выражение введено и численно реализовано в пользовательской программе конечно-элементного пакета MSC Marc при определении матриц касательных жесткостей в лагранжевых переменных в отсчетной системе координат без определения главных осей правого тензора деформаций Коши–Грина С. Это выражение получено как для различных, так и для кратных собственных значений правого тензора деформаций Коши– Грина С. Реализация введенной модели материала Генки в пользовательском модуле заключается в нахождении компонентов второго тензора напряжений Пиола–Кирхгофа Sij (i, j =1,2,3) и элементов матрицы определяющих соотно-

шений 0tCij (i, j =1,K,6) , через определение собственных проекций правого тензора деформаций Коши–Грина С [2].

138

Проведена валидефикация разработанного программного модуля решением тестовых задач о простом сдвиге, об одноосном растяжении стержня, о потере устойчивости шарнирно опертого стержня при сжатии. В заключение приведены результаты прямого сравнения расчетных и экспериментальных данных поведения образца из полиуретанового материала – дуотана QA 965 при одноосном нагружении.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 09- 08-00684) и программы фундаментальных исследований РАН № 2.13.5.

Список литературы

1.Коробейников С.Н., Олейников А.А. Лагранжева формулировка определяющих соотношений гиперупругого материала Генки // Дальневосточный математический журнал. – 2011. – Т. 11, № 2. – С. 155–180.

2.Korobeynikov S.N. // Acta Mech. – 2011. – Vol. 216,

№1–4. – P. 301–332.

ИССЛЕДОВАНИЕ СВОЙСТВ КРИСТАЛЛОВ МЕТОДОМ МОЛЕКУЛЯРНОЙ СТАТИКИ

К.В. Остапович, В.И. Кочуров

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

При компьютерном моделировании кристаллов особое внимание уделяется потенциалу межатомного взаимодействия. Точный расчет его величины занимает много времени, поэтому для ускорения вычислений прибегают к учету взаимодействий лишь тех частиц, которые находятся на расстоянии, меньшем величины так называемого расчетного радиу-

139

са. Подобный прием в значительной степени сокращает временные затраты, но приводит к появлению погрешности, относительная величина которой зависит от многих параметров рассматриваемой модели.

Целью настоящей работы явилась оценка эффективности приближенного метода при вычислении потенциала Леннарда– Джонса. Критерии оценки – временные затраты и возникающая относительная погрешность. Полученные результаты представлены в виде графиков зависимостей последних от величины расчетного радиуса при различных параметрах кристаллических решеток двух типов – ОЦК и ГЦК. Проведена параллелизация расчетных алгоритмов с использованием технологии

Open MP.

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ СИНГУЛЯРНОСТИ НАПРЯЖЕНИЙ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ КЛАССИЧЕСКОЙ

И НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИЙ УПРУГОСТИ

Д.А. Ошмарин1, В.В. Корепанов2

(1 Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь,

2Институт механики сплошных сред УрО РАН, г. Пермь)

Взадачах классической теории упругости существуют сингулярные решения, связанные с наличием бесконечных напряжений в точках границы тела, где имеет место нарушение гладкости поверхности, смена типа краевых условий или контакт различных материалов. Точки тела, в которых возможны сингулярные решения, принято называть особыми точками. При наличии сингулярных решений важное теоретическое и прикладное значение имеет оценка характера поведения напряжений (характера сингулярности) в окрестности особых точек.

140