Тезисы докладов XXI Всероссийской школы-конференции молодых ученых и с

мости существенной амплитуды и связанные с ней диффузионные потоки. Таким образом, годовая температурная волна может существенно сказываться на процессах насыщения грунтовых вод газами или выходе метана из болот.

Результаты численного моделирования показывают, что годовая волна температуры приводит к двум главным эффектам: образованию поверхностного пузырькового слоя, а также «вентиляции» пористого массива на глубине. Расчеты позволяют вычислить интегральные характеристики обнаруженных явлений, а также определить зависимости от средней годовой температуры и амплитуды температурной волны.

Список литературы

1.Goldobin D.S., Briliantov N.V. // Phys. Rev. E. – 2011. – 84.

2.Lyubimov D.V., Shklyaev S., Lyubimova T.P., Zikanov O. // Phys. Fluids. – 2009. – 21.

3.Firoozabadi A., Ottese B., Mikkelsen M. // SPE Formation Evaluation. – 1992. – 7. – P. 337–344.

4.Moulu J.C. // J. Petrol Sci. Eng. – 1989. – 2. – P. 379–386.

5.Bird R.B., Stewart W.E., Lightfoot E.N. Transport Phenomena. – N.-Y., 2007. – 897 p.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕУПРУГОГО ПОВЕДЕНИЯ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКОГО МАТЕРИАЛА С ГЦК-РЕШЕТКОЙ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ПРОГРАММАХ НАГРУЖЕНИЯ

Е.М. Гомзикова, В.Н. Ашихмин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

В настоящее время поликристаллы и различные композитные материалы находят все большее распространение в технике. Но процессы формирования изделий из поликри-

41

сталлических материалов, основанные на глубоких неупругих деформациях, как показывают экспериментальные и теоретические исследования, весьма чувствительны к изменению мезо- и микроструктуры материала, которые существенным образом трансформируются в процессе деформирования.

Процессы на макро- и мезоуровнях взаимосвязаны между собой: макронагружения являются силой изменения мезо- и микроструктуры; эволюция мезо- и микроструктуры определяет поведение материала на макроуровне; воздействуя на мезо- и микроструктуру, можно получать необходимые свойствами материалов на макроуровне.

Известно, что деформирование сопровождается образованием кристаллографической текстуры. За счет текстуры поликристаллический материал приобретает анизотропию свойств. Существуют примеры как положительного, так и отрицательного влияния текстуры на механические характеристики материала, что подчеркивает актуальность построения модели текстурообразования, необходимой для исследования технологических процессов с целью улучшения свойств материала и предотвращения негативных эффектов текстуры.

Целью работы является разработка математической модели, описывающей явление текстурообразования при пластическом деформировании представительного объема поликристалла для металлов с кубической ГЦК-решеткой.

Полученная модель должна:

1)реализовывать различные программы нагружения ПКА;

2)выдавать текстуру, полученную при пластическом деформировании ПКА;

3)выводить выборку распределения ориентаций для полученных текстур.

Адекватность модели будет оцениваться по качественному соответствию и количественному параметру. Качествен-

42

ная оценка будет проводится за счет визуального сравнения текстур, полученнных при численном моделировании, и текстур, полученных из экспериментов, соответствующих осадке и стесненной осадке. Количественная оценка будет осуществляться за счет проверки критерием Хи2 соответствия численной выборки ориентаций после нагружения выборке ориентаций, полученной экспериметально.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ №10-08- 00156-а, №10-08-96010-р_урал_а).

МОДЕЛИРОВАНИЕ СТАДИЙНОСТИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ МОНОКРИСТАЛЛОВ С ГЦК-РЕШЕТКОЙ

Е.М. Гомзикова, А.К. Хамидуллина, В.Н. Ашихмин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

Деформация и разрушение кристаллических тел под действием приложенных сил – это основные явления, определяющие механическое поведение материалов. Деформация тел в значительной степени зависит от размера и формы тела, поэтому поведение материала обычно описывается с помощью силы, отнесенной к единице площади, или напряжения σ и относительного формоизменения, отнесенного к единице длины, или степени деформации ε. Если при снятии нагрузки восстанавливается исходная форма образца, то деформация называется упругой. Деформация, сохраняющаяся после разгрузки, называется пластической. Большое количество металлических материалов расходуется на изготовление конструкций, основное назначение которых – сопротивление деформации. Сопротивление пластической деформации, как правило, определяют

43

по диаграммам деформации в координатах σ, ε. Изучение явления стадийности зависимостей «напряжение–деформация» имеет важное значение для понимания природы формирования механических свойств металлических материалов. Зависимости деформации от напряжения позволяют разбить процесс деформации на стадии, различающиеся интенсивностью упрочнения.

Целью нашей работы являлась разработка модели деформирования отдельного кристаллита на примере моделирования нагружения (растяжения) монокристаллов с кубической ГЦК-решеткой. Объектом исследования являлся монокристалл, рассматривался вариант упругой модели. Входными параметрами были монокристалл и элементы испытательной машины (зажимы), определенный вид нагружения (растяжение), выходными параметрами – поля напряжений деформаций.

Разработка модели осуществлялась с помощью программного комплекса ABAQUS, поставлена и решена задача одноосного растяжения монокристалла, исследовано НДС образца на упругой стадии для различных направлений ([001], [102], [124], [112], [123], [011], [313], [212], [234], [111]), по-

строены графики зависимостей σ(ε) и распределения значений параметра Надаи – Лоде. Из построенных нами графиков видно, что в случае анизотропного материала поле напряжений не соответствует «одноосному».

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты РФФИ №10-08- 00156-а, №10-08-96010-р_урал_а).

44

ВАРИАНТ ЭНДОХРОННОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ ДЕФОРМИРОВАНИЯ

РАЗУПРОЧНЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

С.В. Горбунов

(Самарский государственный технический университет, г. Самара)

При моделировании неупругого деформирования принято учитывать процесс пластичности лишь при напряжениях, превышающих предел упругости (пропорциональности, текучести). Принимая во внимание имеющиеся трудности в экспериментальном определении этой характеристики материала, исключим её из рассмотрения, и будем считать, что пластическая деформация возникает при любом значении напряжения. Этот формальный математический приём не противоречит современным металлофизическим представлениям, согласно которым элементарные акты пластического взаимодействия в микрообъёмах имеют место уже при малых значениях напряжения. Будем также полагать, что в процессе деформирования явления ползучести не происходит, а рассматриваемый материал является изотропным и однородным. С учётом сделанных допущений определяющие соотношения взятой за основу теории из работы* в одноосном случае имеют вид:

*Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование

иразрушение материалов и элементов конструкций. – М.: Машино-

строение-1, 2004. – 264 с.

45

ep (0) = 0, ω(0) = 0,

где ε, е, ер – полная, упругая и пластическая деформации (соответственно); σ0 и σ – соответственно номинальное и истинное напряжения (σ0≥0); Е – модуль Юнга; ω – скалярный параметр повреждённости; λ – параметр, характеризующий скорость нарастания пластической деформации; n, a, γ – параметры модели, определяемые по данным одноосного эксперимента.

Наличие в модели параметра повреждённости ω обусловливает возможность описания полной диаграммы деформирования при расчёте в режиме жёсткого нагружения. При мягком нагружении численный процесс решения системы (1) методом Эйлера, начиная с некоторого значения σ0числ, расходится, и ниспадающая ветвь диаграммы дефор-

мирования расчётным путём не прогнозируется. Для математического объяснения такого поведения модели (1) был выполнен анализ устойчивости её соотношений в смысле Ляпунова с помощью второго (прямого) метода. В результате было получено условие асимптотической устойчивости процесса деформирования:

anγ(σ0 )n+1 eγnσ0e p <1.

Выполненные расчёты показали, что значение σкрит0 , при котором это условие нарушается, хорошо коррелирует со значением σ0числ, отвечающим началу расходимости численного итерационной процедуры метода Эйлера, и с экспериментальным значением предела временного сопротивления σвр (таблица).

46

Критические значения напряжений, вычисленные по аналитическому критерию ( σкрит0 ) и численно по методу

Эйлера ( σ0числ ), пределы временного сопротивления ( σвр )

Также выполнено исследование устойчивости для случаев плоского и сложного напряжённых состояний, произведён численный расчёт, построены «предельные» поверхности, разграничивающие области устойчивого и неутойчивого деформирования.

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В СЛОЕ ТКАНОГО КОМПОЗИТА С ЛОКАЛЬНЫМИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИМИ ДЕФЕКТАМИ

ПРИ ДВУХОСНОМ РАВНОКОМПОНЕНТНОМ РАСТЯЖЕНИИ И ЧИСТОМ ФОРМОИЗМЕНЕНИИ

Д.В. Дедков, А.В. Зайцев, А.А. Ташкинов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, г. Пермь)

При производстве тканых композитов с искривленными волокнами неизбежны технологические дефекты, снижающие эксплуатационные свойства изделий. К числу типичных дефектов относятся возникающие при прошивке слоев разрывы нитей основы или утка, а также внутренние поры, которые возникают в областях, расположенных вблизи участков волокон с наибольшей кривизной, и обнаруживаются только на этапе выходного ультразвукового контроля изделия. Эти области труднодоступны для проникновения полимерного связующего даже

47

при условии вакуумирования или пропитки под давлением). Кроме того, гарантированное обеспечение наличия в этих участках поликристаллической матрицы (углеродной, осаждаемой из газовой фазы или получаемой при карбонизации полимеров), матрицы на основе терморасширенного графита или керамики также затруднено.

Разработана двухуровневая модель тканого композита с искривленными волокнами и поликристаллической матрицей, которая на основе численного решения краевых задач о произвольном нагружении слоя материала в своей плоскости позволила определить коэффициенты концентрации напряжений, вызванные наличием локальных технологических несовершенств: внутренняя закрытая пора, отсутствие нити утка, разрыв нити утка, одновременный разрыв нитей основы и утка (без и с дополнительной пропиткой и карбонизацией связующего в области дефекта). Построение геометрической модели слоя тканого композита осуществлялось при помощи платформы SALOME, которая представляет собой набор пре- и постпроцессинга, объединяет различные модули, применяемые в приложениях: от численного моделирования в САПР до параллельных вычислений, используется как база для проекта

NURESIM (European Platform for NUclear REactor SIMulations),

предназначенного для полномасштабного моделирования реакторов. Исследовано совместное влияние условий контакта искривленных волокон ткани (отсутствие прямого контакта из-за наличия гарантированной прослойки матрицы или контакт с кулоновским трением) и наличия локальных технологических дефектов на характер распределения напряжений. Полученные численные решения краевых задач методом конечных элементов позволили установить, что наибольший вклад в коэффициенты концентрации вносят касательные составляющие тензора напряжений. Значения этих напряжений более чем в 4 или 50 раз превышают соответствующие величины в слое тканого композита идеальной периодической структуры в случае наличия

48

гарантированной прослойки поликристаллической матрицы или контакта с трением соприкасающихся волокон основы и утка. Поэтому для повышения способности материалов сопротивляться внешнему силовому воздействию рекомендовано предусмотреть в технологическом процессе операции, обеспечивающие проникновение связующего в полости технологических локальных дефектов, а также дополнительную пропитку связующим, доуплотнение и карбонизацию, доосаждение поликристаллической матрицы из газовой фазы в случае, если в результате ультразвукового контроля готового изделия обнаруживается внутренняя пористость. Как показали результаты вычислительных экспериментов на двухосное равнокомпонентное растяжение и чистое формоизменение, указанные операции позволяют снизить в три-пять раз коэффициенты концентрации напряжений, даже если не удается исключить локальный контакт искривленных нитей ткани. В противном случае возможно развитие дефектов и последующее лавинообразное локализованное разрушение материала матрицы по механизмам сдвигов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ– Урал № 11–01–96033).

ОБ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯХ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ

В.М. Деев, А.В. Петрокас

(Пермский государственный педагогический университет, г. Пермь)

В материалах конференции 2010 и 2011 гг. была представлена новая концепция получения определителей. Эту концепцию кратко можно представить с помощью формулы

Если в этой формуле выбрать знак «+», то получим новый определитель, который не был известен все 280 лет существования нынешней теории определителей. Если выбрать знак «–», то получим введенный Крамером определитель современной математики. Из представленного выше вытекает, что квадратная матрица второго порядка имеет 2 определителя: D−2 = ad −bc и D+2 = ad + bc. Ясно, что если

один из них равен нулю, то другой при ненулевых компонентах соответствующей матрицы равным нулю быть не может. Это свойство сохраняется и для квадратных матриц n-го порядка. Определитель D−2 будем называть минусовым,

а определитель D+2 – плюсовым. Для вычисления этих определителей матриц n-го порядка используется формула

определителем. Для нахождения определителей Dn−1 надо из углов квадрата, описанного вокруг Dn−2 провести линии перпендикулярно к соответствующим сторонам квадрата, описанных вокруг Dn . При этом получаются определители

Dnл.−в1. , Dпn.−в1. , Dnл.−н1. , Dпn.−н1. , где индекс «л.» означает «левый», «п.» – «правый», «в.» – «верхний», «н.» – «нижний». Посту-

пая таким образом, вместо Dn получим 5 определителей:

D − , Dл.−в. , Dп.−в. , Dл.−н. , Dп.−н.. Каждый из полученных опре-

n 2 n 1 n 1 n 1 n 1

делителей также разбивается на 5 определителей. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не получены определители первого и второго порядков. Вычислив их, можно обратным ходом найти Dn . Такая процедура называется мето-

50