Из (4.4) находится координата центра масс как известная функ­ ция времени:

из которого можно определить одну из неизвестных внешних сил, например реакцию связи. Решение этой задачи сводится к диффе­ ренцированию координат точек системы.

В некоторых задачах задаются сразу проекции ускорений точек системы а^, и тогда (7.18) удобно записать в виде

из уравнения (7.18) получается формула (7.6).

7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека

Оценить в долях веса человека максимальную за период ходь­ бы силу трения, которая возникает при ходьбе по поверхности с Хо­ рошим сцеплением, если длина шага L = 0,75 м, а период ходьбы т = 1 с (рис. 7.2). Обсудить случай ходьбы по поверхности с маЯЬщ трением.

Определение реакции опоры при ходьбе человека представДОет собой достаточно сложную биомеханическую задачу. Необходимо знать движение всех сегментов тела человека (координаты центров масс сегментов) и по уравнениям вида (7.18) найти неизвестною внешние реакции. В этом примере рассмотрим более простую, двух­ точечную модель человека, в которой выявляется основной фактор, приводящий к возникновению силы трения как движущей силы.

В примере 7.1.1 рассматривалась попытка ходьбы человек^ по абсолютно гладкой поверхности. В то время, когда человек выносит

X

Рис. 7.2 Рис. 7.3

одну ногу вперед, другие части тела смещаются в обратную сторону. При наличии сцепления с поверхностью обратному движению пре­ пятствует возникающая сила трения, которая направлена в сторону ускоренного движения маховой ноги. Таким образом, целесообразно рассмотреть систему, состоящую из двух частей: ноги массой тх и всего тела человека, исключая маховую ногу, массой т2. Эти части мы будем считать материальными точками. Так как масса т{значи­ тельно меньше т2, примем допущение, что ускорение 2-й материаль­ ной точки а2 = 0.

Расчетная схема представлена на рис. 7.3, где тело 1 — модель ноги, тело 2 — модель остальных частей тела человека.

(проекции сил тяжестиР,, Р2 и нормальной реакции опоры N на ось х равны 0).

Предположим, что материальная точка 1 совершает гармониче­ ское колебание относительно точки 2. Период этого колебания равен приблизительно половине периода ходьбы (ij = 0,5т), по­ скольку в относительном движении маховая нога проходит все фа­ зы полного колебания — сначала ускоренного, а затем замедленно­ го движения. При нулевом начальном значении координаты Xi урав­ нение абсолютного движения 1-й точки запишется в виде

где А — амплитуда колебаний,

Т] — полупериод ходьбы (время, за которое человек делает 1 шаг). В качестве амплитуды колебаний материальной точки 1 при­ мем амплитуду колебаний центра масс ноги. В соответствии с дан­ ными табл. 7.1 центр масс ноги отстоит от тазобедренного сустава на расстоянии, составляющем 43 % ее длины. При расчете было принято, что длина бедра и голени одинаковы. В фазе подъема бед­ ра центр масс ноги движется вперед, в сторону перемещения чело­ века, в фазе опускания бедра — относительное движение центра масс ноги имеет противоположное направление. Теоретически оце­ нить амплитуду этого колебания чрезвычайно трудно. Но, как вид­ но из эксперимента [25], сила трения (а значит, и ускорение) дости­ гает максимального значения приблизительно на 1/4 шага. Относи­ тельное перемещение центра масс ноги за это время примем за амплитуду колебаний Л, которая в соответствии с положением цен­

тра масс ноги составит 43 % от L/4 (А = 0,11L), где L — длина шага.

Подставим (7.21) в (7.20) и, учитывая, что и 2 = const, получим

Умножим и разделим правую часть этого равенства на вес чело­ века Р =Mg. Учитывая, что Л = 0,1 II, т, =0,5т, т}/М= 0,19 (см. табл. 7.1), получим

При I = 0,75 м, т = 1 с, g = 9,8 м/с2 получим, что

Это по амплитудному значению силы трения и частоте ее изме­ нения согласуется с результатами работы [25], где реакции опоры при ходьбе находились экспериментально с помощью силовой платформы и осреднялись по большому числу испытуемых (см. рис. 2.3, кривая 2). Зависимость силы трения от времени в [25] близ­ ка к синусоидальной. В эксперименте амплитудное значение силы трения

Оценим, при каком коэффициенте трения при данных условиях ходьбы (I = 0,75 м, т = 1 с) человек будет идти без проскальзыва­ ния. При этом сила трения должна быть ограничена предельной си­ лой трения JN, где N — максимальная нормальная реакция:

FTP<JN. (7.25)

По данным [25], при обычной ходьбе N = 1,ЗР. Тогда, взяв наи­ более опасное максимальное значение силы трения FTP = FmdX = 0,25Р, из (7.25) получим оценку

/> 0 ,1 9 .

При ходьбе по асфальту в обуви с резиновой подошвой (f по­ рядка 0,5) это условие выполняется. Для поверхностей с малым тре­ нием можно определить из (7.22) и (7.25) период ходьбы, при кото­ ром человек идет без проскальзывания:

V gf