- •ОГЛАВЛЕНИЕ
- •ПРЕДИСЛОВИЕ
- •Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
- •1.1. Введение
- •1.3. Основные законы динамики точки
- •1.3.1. Закон инерции
- •1.3.2. Основной закон динамики
- •1.3.3. Закон равенства действия и противодействия
- •1.3.4. Закон независимости действия сил
- •1.4. Контрольные вопросы
- •2.1. Дифференциальные уравнения движения материальной точки
- •2.2. Две задачи динамики
- •2.2.1. Первая задача динамики
- •2.3.1. Пример. Динамика мяча для игры в пастольш,,й теннис
- •2.4. Контрольные вопросы
- •3.2. Относительный покой
- •3.2.1. Пример. Центробежный регулятор
- •3.3. Принцип относительности Галилея
- •3.3.1. Пример. Приземление прыгуна с трамплина
- •3.4. Контрольные вопросы
- •4.1. Классификация сил
- •4.1.1. Свойства внутренних сил
- •4.2. Масса. Центр масс системы
- •4.4. Теорема Штейнера о моментах инерции относительно параллельных осей
- •4.5. Связь моментов инерции относительно центра, оси и плоскости
- •4.5.1. Пример. Момент инерции диска относительно диаметра
- •4.5.2. Пример. Момент инерции шара относительно диаметра
- •4.6. Контрольные вопросы
- •Глава 5. ОБЗОР ОБЩИХ ТЕОРЕМ ДИНАМИКИ
- •5.3. Общие теоремы динамики системы
- •5.4. Контрольные вопросы
- •6.1. Связь количества движения системы со скоростью движения центра масс
- •6.1.1. Пример. Количество движения идущего человека
- •6.3. Теоремы об изменении количества движения системы в конечной форме
- •6.3.1. Пример. Давление наконечника пожарного шланга
- •6.4. Контрольные вопросы
- •Глава 7ЛЕ0РЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС
- •7.1. Условия сохранения скорости движения центра масс
- •7.1.1. Пример. Человек на абсолютно гладкой поверхности
- •7.2. Частный случай сохранения скорости движепия центра масс
- •7.2.1. Пример. Человек на лодке
- •7.3.1. Пример. Сила трения при ходьбе человека
- •7.4. Контрольные вопросы
- •8.1.1. Связь между моментами относительно центра и оси
- •8.2. Кинетический момент системы относительно центра и оси
- •8.2.1. Кинетический момент твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
- •8.3. Кинетический момент системы при ее составном движении
- •8.3.1. Пример. Кинетический момент человека
- •8.4. Контрольные вопросы
- •9.1. Теоремы о моменте количества движения материальной точки относительно центра и оси
- •9.2.1. Пример. Тройной прыжок фигуриста
- •9.3. Дифференциальное уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси
- •9.3.1. Пример. Вращение фигуриста
- •9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
- •9.6. Контрольные вопросы
- •10.1. Кинетическая энергия твердого тела при его простейших движениях
- •10.1.1. Поступательное движение твердого тела
- •10.1.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
- •10.2. Кинетическая энергия при составном движепии механической системы
- •10.3. Общий случай движения свободного твердого тела
- •А = J Fxds.
- •10.6. Примеры вычисления работы
- •10.6.1. Работа силы тяжести
- •10.8. Контрольные вопросы
- •11.1. Теорема об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме
- •11.3.1. Пример. Качепие катка вверх по наклонной плоскости
- •11.4. Пример. Прыжок человека с большой высоты
- •11.5. Теоремы об изменении кинетической энергии системы в относительном движении
- •11.9. Контрольные вопросы
- •СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
л _ » 1 = - и . |0 - ' . » = - г0я
Ю
J, 6 - КГ1
To есть при падении хвост вращается в сторону, противополож ную вращению туловища со скоростью 20л 1/с.
9.5. Дифференциальные уравпения плоскопараллельного движения твердого тела
Плоскопараллельным называется такое движение тела, при ко тором все его точки движутся в плоскостях, параллельных заданной плоскости. Для задания этого движения достаточно рассмотреть движение плоского сечения тела в плоскости, параллельной задан ной. На рис. 9.6 изображено сечение тела, содержащее его центр масс С и движущееся в плоскости Оху.
Кинематика движения сечения может быть определена тремя уравнениями:
= / |( 0 .
Ус = fiit) , |
(9-19) |
<Р = /з(0>
где первые два уравнения задают движение центра масс тела, а по следнее — вращение вокруг центра масс по отношению к системе
координат Cx'y'z', движущейся поступательно. Надо связать коор динаты хс, ус и угол <р с силами, которые приложены к этому телу. Применим для этого теоремы о движении центра масс (7.1) и о ки нетическом моменте системы относительно центра масс (9.15):
Mac = ^ F k\ к=1
Первое уравнение запишем в проекциях на оси, а во второе под ставим К = Jcz1, а>, где J Cz>— постоянный осевой момент инер
ции тела, (о— угловая скорость: |
|
И2 Y |
п |
dt2 |
^к=I |
м d 2 У с |
(9.20) |
dt2 |
к=1 |
d 2ф |
J2m cz,(Fkey |
'С г' |
|
Ht2 |
к=\ |
Это есть дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела. Первые два уравнения — дифференциаль ные уравнения движения центра масс, третье— дифференциальное уравнение вращательного движения вокруг подвижной оси, прохо дящей через центр масс.
Динамика более сложных движений тела (сферическое движе ние, общий случай движения твердого тела) в данном пособии не рассматривается. Однако полное изложение общих теорем динами ки позволяет применить их и к этим движениям и рассмотреть более сложные биомеханические модели.
9.5.1. Пример. Падение гимпаста на ковре
Гимнаст, стоя на ковре, начинает падать из вертикального поло жения с пренебрежимо малой начальной скоростью. Гимнаста мож но представить тонким прямолинейным однородным стержнем (пря мая А В на рис. 9.7). Обувь гимнаста по ковру не проскальзывает.
в
Определить направление силы трения при изменении угла отклоне ния оси стержня от вертикали ф от 0 до к/2.
Решение. Падая, стержень вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через точку А, Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения (9.10):
Лиф = ^ sin ф, J /iz= ^M £ 2, Р = Mg.
Преобразуем дифференциальное уравнение к виду
3 g .
ф = — — Б Ш ф
2 е
и, интегрируя его, найдем квадрат угловой скорости:
d(£> |
3 g . |
|
со— = - —вШф, |
||
dg> |
2 |
l |
J ooefa) = |
2 t |
j sinqxftp. |
|
|
|
CO2 = — |
( 1 |
- С О Э ф ) . |
По теореме о движении центра масс
Мхс — ,
(9.21)
(9.22)
(9.23)
(9.24)
где
(9.25)
Из (9.22)-(9.25) получим силу трения
2
Сила трения равна 0 при <pi =0и<р2 =arccos —= 48,2°. При ма
лых углах ф сила трения положительна (Зсоэф > 2) и направлена
в сторону падения гимнаста. При угле ф = 48,2° происходит смена направления силы трения.
9.6.Контрольные вопросы
1.Сформулируйте теорему о кинетическом моменте системы относительно центра.
2.Как изменяется угловая скорость деформируемого тела в случае увеличения его осевого момента инерции при усло вии сохранения кинетического момента тела относительно оси вращения?
3.Почему фигурист не сможет совершить прыжок в 10 оборотов?
4.Найти, как увеличивается ско рость вращения фигуристки при сведении рук к туловищу во вре
мя вращения? Момент инерции > фигуристки до сведения рук
*J0 = 5,5 кг • м2. Момент инерции фигуристки после сведения рук
J\ = 3,0 кг • м2. Начальное коли__ чество оборотов фигуристки
п = 1,8 об/с.
Глава 10. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.
РАБОТА И МОЩНОСТЬ СИЛЫ
Теоремы о кинетической энергии дают новый подход к реше нию задач динамики. Особенно удобны эти теоремы для составле ния дифференциальных уравнений движения достаточно сложных механических систем с одной степенью свободы. Для систем с большим числом степеней свободы, например при описании ходь бы человека, применяют обычно уравнения Лагранжа II рода [21], при составлении которых необходимо вычислять кинетическую энергию системы. В данной главе рассматриваются меры движения и характеристики действия сил, входящие в теоремы об изменении кинетической энергии, а сами теоремы рассмотрены в главе 11.
Кинетическая энергия материальной точки равна половине произведения массы точки на квадрат ее скорости. Это скалярная неотрицательная мера движения материальной точки:
^- > 0 . 2 ~
Кинетическая энергия системы материальных точек равна сум ме кинетических энергий всех точек системы:
( 10.1)
Она обращается в нуль только тогда, когда скорости всех точек системы равны нулю. В некоторых выводах квадрат скорости будет записываться в виде скалярного произведения двух векторов: