Глава 1. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

1.1. Введение

Теоретическая механика дала начало многим наукам, связан­ ным с механическим движением. Сравнительно недавно началось становление биомеханики— науки о движении животных и челове­ ка, возникшей на стыке биологии и механики. Интерес к описанию движения живых организмов проявлялся еще в древности. Первые глубокие наблюдения за движением человеческого тела принадле­ жат итальянскому ученому эпохи Возрождения Леонардо да Винчи. Трактат И. Ньютона «Математические начала натуральной филосо­ фии» [1], вышедший в 1687 году, породил идеи создания механиче­ ского человека, движение которого можно точно описать на основе законов механики. Но лишь в последние десятилетия биомеханика формируется как наука. Основы биомеханики в России были зало­ жены Н. А. Бернштейном, который еще в 1926 году написал книгу «Общая биомеханика» [2]. Он на много лет предвосхитил идеи, ле­ жащие в основе кибернетики [3].

Сегодня интерес к наукам о человеке, в частности к биомехани­ ке, возрастает. Рассматриваются общие вопросы биомеханики [4-7], ходьба человека [8-13], биомеханика спортивных движений [14-20] и другие вопросы.

В настоящей работе традиционное для технических вузов изло­ жение курса теоретической механики [21-23] сопровождается при­ мерами из биомеханики, часть которых представлялась авторами на Всесоюзных и Всероссийских олимпиадах по теоретической меха­ нике. Большинство примеров относятся к биомеханике спорта и ходьбе человека. Достаточно простые биомеханические модели демонстрируют подходы к решению более сложных задач, таких как оптимизация спортивных движений, обеспечение их безопасно­ сти, реабилитация травмированных, в частности оптимальное про­ тезирование.

Для чтения предлагаемого пособия надо предварительно изу­ чить статику и кинематику, хотя некоторые сведения из этих разде­ лов при необходимости приводятся.

Изложению общих'теорем динамики предшествуют 3 главы по динамике материальной точки и введение в динамику механической системы. Общие теоремы динамики обсуждаются в 5-11-й главах. Их изучение служит необходимым условием для постановки и реше­ ния задач динамики механической системы. Для решения задач био­ механики требуется также знание механических характеристик чело­ веческого тела, и некоторые из них приведены в тексте.

1.2. Предмет теоретической механики

Теоретическая механика изучает общие законы равновесия и дви­ жения материальных тел под действием сил, приложенных к этим те­ лам. Курс теоретической механики для технических вузов традицион­ но включает в себя три раздела — статику, кинематику и динамику. Знание статики— учения о силах и кинематики— учения о геометрии движения совершенно необходимо для изучения основного раздела курса динамики, которой и посвящена предлагаемая работа.

Динамика — раздел курса теоретической механики, в котором рассматривается движение материальных тел под действием сил, приложенных к этим телам.

Материальные тела — тела, обладающие инерционными и гра­ витационными свойствами, т. е. способностью сохранять движение и тяготеть друг к другу. Все физические тела — материальные.

Материальная точка — материальное тело, размерами и фор­ мой которого при рассмотрении его движения можно пренебречь. Однако при построении системы сил, действующих на такое тело, его форма и размеры могут учитываться. Так, например, в прыжках на лыжах сила лобового сопротивления и подъемная сила сущест­ венно зависят от ориентации тела и лыж, одежды лыжника и других факторов, но полет лыжника рассматривается как движение одной материальной точки.

Движение — изменение с течением времени взаимного поло­ жения материальных тел. Для рассмотрения движения задаются система отсчета— система координат, связанная с некоторым мате-

ю

риальным телом, и способ отсчета времени. Во всех приведенных ниже примерах движение рассматривается по отношению к прямо­ угольной декартовой системе координат.

Сила — количественная мера взаимодействия материальных тел. Система сил — совокупность всех сил, приложенных к данно­ му материальному телу или к системе материальных тел.

В основе курса классической механики лежат законы динамики точки И. Ньютона (1687), которые ниже даются в современном из­ ложении. Считается методически целесообразным выделить в каче­ стве самостоятельного закона, называемого законом независимости действия сил, правило параллелограмма сил, обсуждаемое в «Нача­ лах» И. Ньютона.

1.3.Основные законы динамики точки

1.3.1.Закон инерции

Материальная точка сохраняет состояние покоя или прямоли­ нейного равномерного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние.

где F — сила, действующая на материальную точку, о — скорость точки.

Движение при отсутствии воздействия других тел называют движением по инерции. Свойство материальных тел двигаться по инерции было открыто в XVII веке итальянским ученым Г. Галиле­ ем, что положило начало современной динамике.

Система отсчета, в которой выполняется закон инерции, называ­ ется инерциальной системой отсчета. Для большинства технических приложений инерциальной можно считать систему отсчета, связан­ ную с Землей и называемую лабораторной системой отсчета. Движе­ ние в неинерциальных системах отсчета рассматривается в главе 3.

1.3.2. Основной закон динамики

Произведение массы материальной точки на ее ускорение рав­ но силе, действующей на материальную точку,

И

где а — ускорение точки в инерциальной системе отсчета. Такую форму основному закону придал Л. Эйлер (1736).

Если левую и правую части уравнения (1.2) спроектировать на направление силы, то получается уравнение для абсолютных значе­ ний H F:

что позволяет сделать вывод о том, что масса является мерой инерт­ ности материальной точки. Точка с большей массой получает мень­ шее ускорение при действии одной и той же силы.

Второй закон называют основным, так как он выражает связь между движением материальной точки и силой, к ней приложен­ ной, и позволяет решать основные задачи динамики точки.

В соответствии с (1.3) единицей измерения силы в системе еди­ ниц СИ является 1 кг м/с2, т. е. сила, которая сообщает точке массой 1 кг ускорение 1 м/с2. Эта единица силы называется ньютоном и обозначается 1 Н.

На практике еще используется единица силы 1 кГ, равная весу тела массой 1 кг, лежащего на горизонтальной поверхности. По­ скольку у поверхности Земли ускорение свободного падения g = 9,8 м/с2, а по (1.3) вес тела Р = mg, то 1 кГ = 9,8 Н.

1.3.3. Закон равенства действия и противодействия

Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противо­ положные стороны, F] = —F2 (рис. 1.1).

Следует заметить, что дейст-

-вие равно противодействию неза­ висимо от того, движутся тела или

находятся в состоянии покоя. На­ ряду со вторым законом третий за­ кон составляет основу для вывода

общих теорем динамики системы. Справедливость его неоднократ­ но оспаривалась сторонниками так называемого безопорного дви­ жения, но их претензии оказывались несостоятельными.