Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

2.

(a x )′ = ax ln a

(3.22)

y = a x

–

показательная

функция,

a > 0, a ≠ 1.

3.

(ex )′ = ex

(3.23)

y = ex

–

частный

случай

показательно функции.

4.

(loga x)′

=

1

(3.24)

y = loga x

– логарифмиче-

x ln a

ская функция, a > 0, a ≠ 1 x> 0.

5.

(ln x)′ =

1

(3.25)

y = ln x

–

частный

случай

x

логарифмической

функции,

a = e, x > 0.

6.

(sin x)′ = cos x

(3.26)

y = sin x,

y = cos x,

y = tg x,

y = ctg x

– тригоно-

метрические функции.

7.

(cos x)′ = −sin x

(3.27)

8.

(tg x)′ =

1

(3.28)

x ≠

π

+

πn,

n

Z

cos2 x

2

9.

(ctg x)′ = −

1

(3.29)

x ≠

πn,

n

Z

sin2 x

10.

y = arcsin x,

y = arccos x,

y = arctg x,

y = arcctg x

– об-

ратные

тригонометрические

(arcsin x)′ =

1

(3.30)

функции.

(−1 < x

< 1)

1 − x2

11. (arccos x)′ =

(−1 < x < 1)

= −

1

(3.31)

1 − x2

12. (arctg x)′

=

1

(3.32)

+ x2

1

13. (arcctg x)′ = −

1

(3.33)

1+ x2

14.

В

математике,

механике,

электротехнике

и

некоторых

других

дисциплинах

встреча-

ются

гиперболические функ-

ции, определяемые следующи-

ми формулами:

sh x =

ex − e− x

–

гипербо-

2

лический синус;

ch x =

ex + e− x

–

гипербо-

2

лический косинус;

th

x =

sh x

=

ex

− e− x

– ги-

ch x

ex

+ e− x

перболический тангенс;

cth x =

ch x

=

ex

+ e− x

– ги-

sh x

ex

− e− x

(sh x)′ = ch x

перболический котангенс.

(3.34)

15. (ch x)′ = sh x

(3.35)

16. (th x)′ =

1

(3.36)

ch2

x

17. (cth x)′ = −

1

(3.37)

sh2

x

Правила дифференцирования

18. Если y = C, где C = const,

Производная

постоянной

то

равна нулю.

y′ = 0

(3.38)

19. Если y = u(x) ± v(x) , то

Производная алгебраической

y′ = (u ± v)′ = u′ ± v′ ,

(3.39)

суммы двух дифференцируемых

функций

y = u ± v равна соот-

ветствующей

сумме производ-

ныхэтих функций.

(u + v + ... + t)′ =

Замечание

Формула (3.39) легко обоб-

= u′ + v + ... + t′.

(3.40)

щается на случай любого ко-

нечного числа слагаемых.

20. Если y = uv , то

Производная от произведе-

y′ = (uv)′ = u′v + uv′,

(3.41)

ния двух

дифференцируемых

функций

y = uv

равна

произ-

ведению

производной

первой

функции на вторую функцию

плюс

произведение

первой

функции

на

производную от

второй функции.

Замечание

Формулу (3.41) можно обоб-

щить на случай любого конеч-

ного числа n множителей.

(uvw)′ =

Рассмотрен

случай,

когда

= u′vw + uv′w + uvw′.

n = 3.

(3.42)

Если y = C u(x), где

u = u(x)

– дифференцируе-

C = const, то

мая функция.

множитель

y′ = C u′(x).

(3.43)

Постоянный

можно выносить за знак произ-

водной.

Замечание

Положив в формуле (3.41)

v = C = const

и

учтя, что со-

гласно

формуле

(3.38)

C′ = 0 ,

мы и приходим к искомому ре-

зультату (формула (3.43)).

21. Если y =

u

, то

Производная частного (дро-

би) двух

дифференцируемых

v

u

u ′

функций

y =

, где v(x) ≠ 0 ,

u′v − uv′

v

y′ =

=

(3.44)

равна дроби, у которой знамена-

v

2

v

тель есть

v2 , а числитель равен

разности между произведением

производной числителя на зна-

менатель и произведением чис-

лителя на производную знаме-

нателя.

муле(3.40);

y′ = 3

(x4 )′ − 5 (x3 )′ + 2 ( x)′ − (4)′

по формуле (3.43);

y′ = 3

4x3 − 5 3x2 + 2 1 − 0

по формулам (3.21) и (3.38);

y′ = 12x3 −15x2 + 2.

Задача 2.

y = x +

5

−

1

+

1

.

3 x

3x3

x2

1

−

1

− x−2 +

1

x−3 .

y = x

2

+ 5x

3

3

y′ =

1

− 1

1

−

4

(−2) x−3 +

1

(−3) x−4

x

2

+

5

−

x

3

−

=

2

3

3

=

1

−

5

+

2

−

1

.

2

x

33 x4

x3

x4

Задача 3.

4

x

2

y = x

3 −

+ 4x

.

6

4

'

x

2

4

x

2

′

y′ = ( x

)

3

−

+ 4x

+ x

3

−

+ 4x

=

6

6

3

x

2

4

1

= 4x

3

−

+ 4x

+ x

−

+ 8x

=

6

6

3

6

6

1

e

x

y =

.

5

y′ =

( x3 )′ ( x3

+ 2) − x3 ( x3 + 2)′

=

3x2 ( x3 + 2) − x3 3x2

=

( x3 + 2)2

( x3 + 2)2

=

3x5 + 6x2 − 3x5

=

6x2

.

( x3 + 2)2

( x3 + 2)2

а) y =

cos x

, x =

π

;

− sin x

1

6

=

−sin x + sin2 x + cos2 x

=

1 − sin x

=

1

.

(

− sin x

)2

(

)2

1 − sin x

1

1 − sin x

π

π

1

Полагая

x =

, получим y′

=

= 2 .

6

1

6

1 −

2

б) Применяя формулу (3.41), получим

y′ = ( x2 )′ arctg x + x2 (arctg x)′

= 2x arctg x + x2

1

.

+ x2

1

Полагая x =1 , получим y′(1) = 2 arctg1 +

1

= 2

π

+

1

=

1

+

1

4 2

3

1

3

3

1

1

1

9

y′ =

x 2

(3ln x − 2) + x 2

=

9

x 2 ln x − 3x 2

+ 3x 2

=

x ln x.

2

2

x

2

Полагая x =1 , получим

y' (1) =

9

1 ln1 = 0 .

2

+5x tg x (arcsin x)′ = 5x ln 5 tg x arcsin x +

+5x

1

arcsin x + 5x tg x

1

.

cos2

x

1 − x2

§ 3. Производная сложной и обратной функции

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1. Пусть

y = f (u ),

где

Следует запомнить:

u = φ( x).

u –

промежуточный аргумент

Тогда

y = f [φ( x)]

(3.45)

сложной функции.

есть сложная функция от x.

2.

x

u

x

(3.46)

Если функция u = φ

(

x

)

име-

y′ =

y′ u′

или

ет производную u′x

в

точке x,

dy

=

dy

du

а функция y = f (u )

имеет про-

.

изводную y′

в соответствующей

dx

du

dx

u

точке

u, то

сложная

функция

y = f [φ( x)]

в данной

точке x

имеет производную

y′x , которая

находитсяпоформуле (3.46).

Следует запомнить:

для

нахождения производной

сложной функции надо произ-

водную данной функции по про-

межуточному аргументу умно-

жить на производную промежу-

y = f (u ) ,

u = φ(t ) ,

точного аргумента.

Если

Замечание

t = t ( x) , то

Правило остается в силе,

y′

= y′ u′ t

′

(3.47)

если промежуточных

аргумен-

x

u

t

x

тов несколько.

или

dy

=

dy

du

dt

.

dx

dx

du

dt

3. Пусть y = f ( x) и x = φ( y) –

Если для функции

паравзаимнообратныхфункций.

y = f ( x)

Тогда

существует обратная функция

f ′

( x) =

1

x = φ( y ),

φ′( y )

которая в рассматриваемой точ-

или

1

ке y имеет производную φ′( y ) ,

y′

.

(3.48)

отличную от нуля, то в соответ-

x

x′y

ствующей

точке