Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

Замечание

Выражения,

содержащие

иррациональности,

приводятся

к рациональному виду во мно-

гих

случаях путем

введения

новой переменной.

∞

2.

Неопределенность ви-

да

∞

Под

раскрытием

такой

Правило

неопределенности понимают

При отыскании предела от-

нахождение предела

ношения двух целых многочле-

f ( x)

, если lim f ( x) = ∞

нов относительно x при x → ∞

lim

оба многочлена полезно пред-

φ( x)

x→∞

x→∞

варительно

разделить

на

xn ,

и

lim φ( x) = ∞ .

где n – наивысшая степень этих

x

→∞

многочленов.

lim R(x) =

Замечание

x→∞

Аналогичный прием во мно-

a xn + a xn−1 +... + a

x + a

гих

случаях

можно применять

= lim

0

1

n−1

n

=

и для дробей, содержащих ирра-

m

m−1

x→∞

+ b1x

+... + bm−1x + bm

b0x

циональности.

,

если

n>

m

∞

=

если

n < m

(2.69)

0,

a

0

если

n = m

b

0

3.

Неопределенность ви-

да 0 ∞

Правило

Под раскрытием такой не-

определенности понимают нахо-

Чтобы

раскрыть

неопре-

ждениепредела

деленность

вида

0 ∞

,

нуж-

lim [ f ( x) φ( x)] ,

если

но

преобразовать

выражение

x→

x0

f ( x) = 0 и

lim φ( x) = ∞ ,

f ( x) φ( x) к виду

f ( x)

или

lim

1 φ( x)

x→

x0

x→ x0

т.е. произведение бесконечно

φ( x)

т.е.

привести к неоп-

малой функции на бесконечно

,

1 f ( x)

большую.

0

∞

ределенности вида

или

.

0

∞

Замечание

Правило справедливо и в том

случае, когда x → ∞ .

4. Неопределенность вида

(∞ − ∞

)

Правило

Под раскрытием такой не-

(∞ − ∞ )

определенности понимают на-

Неопределенность

хождение предела

приводится к неопределенности

lim [ f ( x ) − φ( x )] , когда

вида

0

или

∞

либо алгебраи-

x→ x0

0

∞

f ( x)

и φ( x)

– бесконечно боль-

ческими преобразованиями (на-

шиефункцииодногознака, т.е.

пример,

приведением

дробей

lim f ( x) = ∞

и lim φ( x) = ∞ .

к общему знаменателю), либо

x→ x0

x→ x0

переводом иррациональности из

числителя в знаменатель.

Замечание

Правило справедливо и в том

случае, когда x → ∞ .

Задачи

Задача 1. Найти:

а) lim

2x2

−11x + 5

б)

x2 − 2x

;

lim

;

− 4x + 4

x→ 5

x2 − 25

x→ 2 x

2

в) lim

x3

− x2 + x −1

г)

x3

− 3x + 2

;

lim

.

x→ 1 x4

+ 2x2 − 3

x→ 1 x4

− 4x + 3

Решение

а) Пределы числителя и знаменателя при x →

5 равны нулю:

(

2

− 25

)

= 5

2

− 25 = 0 , т.е. lim

2x2

−11x + 5

0

lim

x

=

.

x

2

− 25

x→

5

x→ 5

0

(п. 1а, замечание 2), учитывая, что

=

−b ±

b2 − 4ac

x

.

1,2

2a

( x − 5) x −

.

Тогда 2x2 −11x + 5 = 2

1

2

2

−11x + 5

0

2( x − 5) x −

1

2x

2

lim

=

= lim

= (сокращаем

x

2

− 25

( x

− 5)( x + 5)

x→

5

0

→x 5

1

2 x −

2x −1

9

2

дробь на ( x − 5) )

= lim

= lim

=

.

( x + 5)

x→ 5

→x 5 x + 5 10

x2 − 2x

0

б)

lim

=

.

2

− 4x

+

4

x→

2 x

0

Для x ≠

2 имеем

x2 − 2x

=

x ( x − 2)

=

x

.

x2 − 4x + 4

( x − 2)2

x − 2

lim

x2

− 2x

= lim

x

.

− 4x + 4

x→

2 x2

→x 2 x − 2

Так как lim x = 2 , а lim ( x − 2) = 0 , то ( x − 2)

при x →

2 есть

x→

2

x→

2

величина бесконечно малая,

а обратная ей величина

2

–

бесконечно большая (2.55).

x − 2

Поэтому lim

x

= ∞ .

x→ 2 x − 2

0

в) lim

x3

− x2 + x −1

=

4

+ 2x

2

− 3

x→

1 x

0

1-й способ

Для x ≠ 1 имеем

x3 − x2 + x −1

=

( x3 − x2 ) + ( x − 1)

=

x4 + 2x2 − 3

x4 + 2x2 − 3

Для знаменателя используем преобразование

x4 + 2x2 − 3 = t 2

+ 2t − 3 = (где

t = x2 ) =

(

)(

)

(

)

= (t + 3)(t −1)

=

x

2

+ 3

x

2

−

x

2

+

3

1 =

( x − 1)( x + 1)

И далее формула принимает вид

x

2 (

x

)

(

x

)

(

)(

x

2

)

x

2

+1

=

−1 +

−1

=

x −1

+1

=

.

( x2 + 3)( x −1)( x +1)

( x2 + 3)( x −1)( x +1)

( x2 + 3)( x +1)

Таким образом,

lim

x3 − x2 + x −1

= lim

x2 +1

=

12 +1

=

2

=

1

.

( x2 + 3)(x +1)

(12

+ 3)(1+1)

x→ 1 x4 + 2x2 − 3

→x 1

4 2 4

−

x3 − x2 + x −1

x −1

−

x4

+ 2x2 − 3

x −1

x3 − x2

x2 +1

x4

− x3

x3 + x2 + 3x + 3

x −1

x3 + 2x2 − 3

− x −1

− x3 − x2

0

−

3x2

− 3

3x2

− 3x

− 3x − 3

3x − 3

0

Таким образом,

lim

x3

− x2 + x −1

= lim

x2 +1

=

2

=

1

.

x→

1 x4 + 2x2 − 3

→x 1 x3

+ x2 + 3x + 3 8 4

x3 − 3x + 2

0

г)

lim

=

.

4

− 4x + 3

x→

1 x

0

Разделим

числитель

и знаменатель

на

выражение

( x −1) ,

дающее

неопределенность.

Тогда

lim

x3 − 3x + 2

=

x→

1 x4 − 4x + 3

= lim

x2 + x − 2

=

0

.

3

+ x

2

+ x − 3

x→

1 x

0

Учитывая замечание 1 (п. 1а), произведем повторное деле-

ние на ( x −1) .

Тогда lim

x2

+ x − 2

= lim

x + 2

=

3

=

1

.

+ x2

+ x −

3

x→

1 x3

→x 1 x2 + 2x + 3 6 2

Задача 2. Найти:

а)

lim

2x + 3 −1

;