Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од

7. dC = 0, гдеC = const

(3.81)

Дифференциал постоянной

величины равен нулю.

8. d (u + v) = du + dv

(3.82)

u = u ( x)

и v = v ( x)

– диф-

ференцируемые функции от x.

9. d (uv) = udv + vdu

(3.83)

u

v du −u dv

При условии v ≠ 0 .

10. d

=

(3.84)

v2

v

11. Пусть y = f (u)

и u =φ( x) ,

y = f (u )

и

u = φ( x)

– не-

т.е. y = f (φ( x))

–

сложная

прерывные

функции

своих

функция,

аргументов,

имеющие

произ-

водные

по этим аргументам:

u

x

(3.85)

f ′(u )

и

φ

′( x) .

dy = y′

u′dx ;

u′dx = du.

(3.86)

x

Значит,

dy = f ′(u ) du

(3.87)

Следует запомнить:

дифференциал сложной функ-

ции

y = f (u ) ,

для которой

u = φ( x) , имеет такой же вид,

как и в том случае, когда ар-

гумент u является независи-

мой переменной.

ции ∆ y=

f

(

x+ ∆

)

f

(

x

)

,

ко-

x−

f ( x + ∆ x)≈

торое

может весьма сложным

образом зависеть от ∆ x, чрезвы-

≈

f ( x)+ f ′( x)∆ x.

(3.89) чайно

простым

выражением

f ′( x) ∆ x .

13.

d 2 y = d (dy ) .

(3.90)

Дифференциал

от

диффе-

ренциала

данной

функции

y = f ( x)

называется её вторым

дифференциалом (или диффе-

Если y = f ( x) , то

ренциалом второго порядка).

d 2 y = f ′′( x) dx2 ,

(3.91)

Читается: «дэ два игрек»

Замечание

Под символом dx2 нельзя

понимать

дифференциал

от

функции x2 . Если же речь идёт

о

вычислении дифференциала

от функции x2 ,

то надо писать

d n y = f ( n) ( x) dxn

d ( x2 ) .

(3.92)

Дифференциал n-го порядка

равен

произведению

производ-

ной n-го порядка по независи-

мой переменной на n-ю степень

дифференциала

независимой

переменной.

Задачи

Задача 1.

Найти

дифференциал

функции y = x2 − x + 3

в точке x = 2 .

Решение

1-й способ

(

)

(

)

Найдем ∆ y= f

x+ ∆

f

x

,

x−

∆ y= ( x+ ∆ x)−2

(+x ∆ −x) +x2 =x +x2 ∆2x+ x∆ ( −x)2− ∆ x− x+ x2 x

или ∆ y=

(

2x−

)

∆

(

x

)2

.

1∆ +x

Главная часть приращения функции

dy = (2x −1)∆ x .

Величина (∆ x )2

бесконечно малая, более высокого порядка,

чем бесконечно малая ∆

x.

y = f ( x) = 4 x . Примем

за

начальное

значение

аргумента

x0 =16 . За новое (приращенное)

значение аргумента примем

x0 + ∆ x= 17 . Тогда приращение аргумента

∆ x= 17− 16= 1 .

Формула (3.89) в данном случае примет следующий вид:

4 x

+ ∆ x≈

4 x+

( 4 x )′

∆

x , или

0

0

x= x0

4 x + ∆

x≈ 4

x+

1 ∆

x .

0

0

4

4 x3

0

Подставляя сюда числовые значения x0 и ∆ x , получим

4 17 ≈ 4 16+

1

1=

2+

1

=

2+

1

=

65

≈

2, 031 .

4

8

32

32

4 4 163

б)

Пусть sin 31° есть частное значение функции

y = sin x .

Примем за начальное значение аргумента x0 = 30°

или в радиа-

нах x

=

π

. За новое (приращенное) значение аргумента примем

0

6

x0 + ∆ x= 31° .

Тогда приращение аргумента

∆ x=

31° −

30° =

1° или в радианах

∆ x=

π ≈

0,01745.

180

sin ( x

+ ∆ x)≈

sin x+

(sin x)'

∆

x , или

0

0

x= x0

sin ( x

+ ∆ x)≈

sin x+

cos∆x

x .

0

0

Подставляя сюда числовые значения x0

и ∆ x , получим

sin 31° ≈ sin 30° +

cos30° 0,01745=

1

+

3

0,01745≈ 0,5151 .

2

2

Основные формулы

Определения

и рисунки

и замечания

1.

Теорема Ролля* (теорема

о корнях производной)

Пусть

функция

y = f ( x)

удовлетворяет условиям:

1) f ( x)

непрерывнана [a;b] ;

2) f ( x)

дифференцируема

в (a;b) ;

3) f (a) = f (b) .

Тогда найдется по крайней

мере одна такая точка c (a;b) ,

что

f ′(c) = 0 .

Геометрическое

истолко-

вание теоремы Ролля

Рис. 4.1

На линии

y = f ( x), где

функция f ( x) удовлетворяет

условиям теоремы, найдется хотя

бы одна точка C с абсциссой c,

a < c < b , для которой касатель-

ная к графику параллельна оси

абсцисс (рис. 4.1)

Для случая,

изображенного

на рис. 4.2, существуют три та-

Рис. 4.2

кие точки.

* Смотри историческую справку

времени

x = b она возвращается

в точку

с координатой

f (a)

[ f (a) = f (b)]. Ясно,

что

для

возвращения в точку

f (a)

она

должна остановиться в некото-

рый момент времени (прежде

чем «повернуть назад»),

т.е.

в некоторый момент x = c ско-

рость f ′(c) = 0 .

Замечание

Если функция f ( x)

такова,

что производная существует не

во всех точках внутри отрезка

[a;b] , то утверждение теоремы

может оказаться неверным (т.е.

в этом случае на отрезке [a;b]

может не оказаться такой точ-

ки c, в

которой производная

f ′( x) обращается в нуль).

График, изображенный

на

рис. 4.3, дает пример функции,

производная которой не обра-

Рис. 4.3

щается в нуль на отрезке [0; 4].

Для этой функции не вы-

полнены условия теоремы Рол-

ля, так как в точке x = 2 функ-

ция не дифференцируема.

2.

Теорема Лагранжа* (тео-

рема о конечных приращениях)

Пусть функция

y = f ( x)

удовлетворяет условиям:

1) f ( x)

непрерывна на

[a;b] ;

2) f ( x)

дифференцируема

в (a;b) .

Тогда найдется по крайней

мере одна такая точка c (a;b) ,

что

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a).

f (b) − f (a) = f ′(c)(b − a)

(4.1)

Формулу

(4.1)

называют

формулой Лагранжа или фор-

мулой конечных приращений.

f (b) − f (a ) – конечноепри-

ращениефункции;

(b − a) – конечное прираще-

ниеаргумента.

Геометрическое

истолко-

вание теоремы Лагранжа

Рассмотрим график функции

Рис. 4.4

y = f ( x) , удовлетворяющей ус-

ловиямтеоремы(рис. 4.4).

f (b) − f (a)

=

f ′(c)

(4.2)

Формула (4.2) получена из

формулы Лагранжа (4.1).

(b − a)

f (b) − f (a)

= Q

(4.3)

Число Q представляет со-

бой угловой коэффициент хор-

(b − a)

ды AB, стягивающей концы ду-

f ′(c) = k

ги (рис. 4.4).

(4.4)

f ′(c)

–

угловой

коэффи-

циент касательной

к

графику

функции

в

точке

C (c; f (c)) ,

т.е.

Q = k , значит,

теорема Ла-

гранжа утверждает, что на про-

извольной дуге графика диффе-

ренцируемой

функции

всегда

найдется

хотя

бы

одна точка,

в которой касательная к графику

параллельна хорде, стягивающей

концы этой дуги.

Для случая, изображенного

на рис. 4.5, существуют две та-

кие точки C1 и С2

на графике

функции

y = f ( x) ,

заданной на

Рис. 4.5

отрезке [a;b] , что

f (b) − f (a)

= f ′(c

) = f ′(c ),

(b − a)

1

2

a < c1 < b ,

a < c2 < b .

Физическое истолкование

теоремы Лагранжа

f ( x) –

f (b) − f (a)

Пусть x – время, а

= υср ,

(4.5)

координата точки,

движущейся

(b − a)

по прямой, в момент времени x.

Величина в левой части ра-

венства (4.2) является, очевидно,

средней

скоростью

движения