Математика введение в анализ дифференциальное исчисление функции од
..pdfЗадача 2. Доказать, что последовательность с общим чле-
ном xn |
= |
n |
|
имеет предел, равный |
1 |
. |
|
|
2n +1 |
2 |
|
Решение:
Повторим подробно все рассуждения, приведенные в предыдущей задаче. Пусть ε – произвольное положительное число. Требуется доказать: существует такое число N = N (ε) , что при
всех значениях |
n |
> |
N |
( |
ε |
) |
|
|
|
выполняется неравенство |
x − 1 |
< ε. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Найдем абсолютную величину разности |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
− |
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n + |
|
|
|
|
2 |
( |
|
|
|
) |
|
|
( |
2n + |
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
|
2n + |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Таким образом, |
|
неравенство |
|
xn |
|
− |
1 |
|
< ε выполняется, |
если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
< ε, откуда n > |
1 |
− |
1 |
. Поэтому в качестве N (ε) |
мож- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
( |
|
) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2n +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ε |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
но взять целую часть числа |
|
1 |
|
− |
1 |
|
; т.е. |
N = E |
1 |
− |
1 |
|
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ε |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4ε |
|
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
Итак, для любого ε |
|
|
найдено такое N (ε) , что из неравенства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n > N следует справедливость неравенства |
|
x |
|
− |
1 |
|
< ε, |
а это оз- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
начает, что lim |
|
|
n |
|
|
|
|
= |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2n + |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n→∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
Теперь, чтобы лучше уяснить приведенные рассуждения, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
рассмотрим числовой пример: пусть выбрано ε |
|
= 0,003, тогда из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
250 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
N = E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= E |
|
|
|
|
|
− |
|
|
= E (82,833...) = 82 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
0, 003 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Значит, для всех номеров n, больших, чем 82 при ε |
= 0,003, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
неравенство |
|
x |
|
− |
1 |
|
|
< ε |
|
|
|
|
будет |
|
выполняться. |
|
Начиная |
|
с |
83-го |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51
члена все члены последовательности будут лежать в интервале
|
1 |
− 0, 003; |
1 |
+ 0, 003 , |
т.е. в интервале (0, 497;0,503) . Убедимся |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
сначала, что при n < 82 неравенство |
|
x |
− |
1 |
|
< ε |
не выполняется. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пусть, |
например, |
|
n = |
80 . |
Тогда, поскольку |
xn |
= |
|
|
n |
|
|
|
, полу- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2n +1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
чим, что x |
|
|
|
= |
|
|
80 |
|
= |
80 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 80 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
80 |
|
|
|
|
161 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
80 |
|
− |
1 |
|
= |
1 |
|
, а |
|
1 |
|
|
> 0, 003 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
161 |
|
|
|
2 |
|
|
|
322 |
|
322 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n = 81 , то x = |
|
81 |
|
|
|
|
= |
81 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 81 +1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
163 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
81 |
− |
1 |
|
|
= |
1 |
|
> 0, 003 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
163 |
|
|
326 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Из этих расчетов видно, |
что когда номер n члена последо- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вательности меньше 82 (n = 81, n = 80) , неравенство |
|
x |
|
− |
1 |
|
< ε |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
2 |
|
|
|||||
не выполняется: |
вместо |
того, чтобы |
разность |
|
xn |
− |
1 |
|
|
была |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
меньше 0,003, мы получили |
|
xn |
− |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
> 0,003 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Если |
|
же |
|
|
|
|
|
взять, |
|
|
например, |
n = 83 , |
то |
|
x |
|
= |
83 |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83 |
167 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
83 |
− |
1 |
|
= |
|
|
|
1 |
|
|
|
, а |
|
1 |
|
< 0, 003 , |
и неравенство |
|
x |
|
− |
1 |
|
|
< ε |
|
выпол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
167 |
|
2 |
|
|
|
334 |
|
|
|
|
334 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нено. Так будет и для всех членов с номерами n > 82 .
52
§ 3. Предел функции
|
|
|
Основные формулы |
|
|
|
Определения |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
и рисунки |
|
|
|
|
|
|
и замечания |
||||||||||
|
|
|
1. δ |
(дельта) – окрестность |
|
Для любого δ |
> 0 интервал |
||||||||||||||||
точки x0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.23) оси OX называется δ -ок- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
< δ или |
|
рестностью точки x0. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x0 − δ< x < x0 + δ. |
(2.23) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. Символическая |
запись |
|
Точка x0, к которой стре- |
|||||||||||||||||||
предела функции в точке: |
мится независимая перемен- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim f (x) = A |
(2.24) |
ная x, называется её предель- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x→ |
|
|
x0 |
|
|
|
ной точкой. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A – предел функции f (x) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x → x0 (x стремится к x0). |
||||||||
|
3. Символическая |
запись |
|
Определение |
|
||||||||||||||||||
определения предела функции |
|
(на «языке ε − δ » или по |
|||||||||||||||||||||
в точке: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши) |
|
||||||||||||
lim f (x) = A |
|
|
|
|
Число A называется преде- |
||||||||||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лом функции f (x) |
при x → x0, |
|||||||||||
|
( >ε |
0 |
( |
) |
0 , |
|
|||||||||||||||||
|
если для любого сколь угодно |
||||||||||||||||||||||
|
|
δ>ε |
|
|
|||||||||||||||||||
|
x : |
|
x− |
x0< |
|
|
δ, x ≠ |
x0 |
малого положительного числа |
||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε существует такое положи- |
|||||||||
|
f (x) − A |
|
< ε) |
|
|
(2.25) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
тельное число δ , зависящее |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
от ε , что для всех x ≠ x0, удов- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
летворяющих |
неравенству |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x − x0 |
|
< δ, выполняется нера- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
венство |
|
f (x) − A |
|
< ε . |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53
|
|
Замечание 1 |
x ≠ |
|
|||||||||||
|
|
Условие |
|
|
x − x0 |
|
< δ, |
x0 , |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
в определении предела функ- |
||||||||||||||
|
ции можно записать так: |
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 < |
|
x − x0 |
|
< δ. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Следует обратить внимание |
|||||||||||||
|
на то, что в этом определении |
||||||||||||||
|
не требуется, чтобы функция |
||||||||||||||
|
была задана и в предельной |
||||||||||||||
|
точке; нужно только, чтобы |
||||||||||||||
|
функция была определена в ка- |
||||||||||||||
|
кой-нибудь окрестности пре- |
||||||||||||||
|
дельной точки, но не обязатель- |
||||||||||||||
|
но в самой точке. |
|
|
||||||||||||
|
|
Замечание 2 |
|
|
|||||||||||
|
|
Отыскание предела |
функ- |
||||||||||||
|
ции, определенной в некоторой |
||||||||||||||
|
окрестности точки x0, но не в |
||||||||||||||
|
ней самой, и будет составлять |
||||||||||||||
|
одну из важнейших задач тео- |
||||||||||||||
|
рии пределов. |
|
|
||||||||||||
4. |
|
Геометрический |
смысл |
||||||||||||
|
предела функции при x → |
x0. |
|||||||||||||
|
|
Если выполняется равенст- |
|||||||||||||
|
во (2.24), то точки графика |
||||||||||||||
|
функции |
y = f (x) должны |
на- |
||||||||||||
|
ходиться в полосе шириной 2ε , |
||||||||||||||
|
ограниченной прямыми y = A−ε |
||||||||||||||
|
и |
y = A + ε, для всех значений x, |
|||||||||||||
|
удаленных от точки x0 не далее, |
||||||||||||||
|
чем на δ |
(рис. 2.3). |
|
|
|||||||||||
Рис. 2.3 |
|
При |
δ → |
0 , в случае непре- |
|||||||||||
рывных функций, величина ε |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||
|
будеттакже стремиться к нулю. |
54
Односторонние пределы
5. |
0 < x0 − x < δ |
|
|
|
|
Совокупность |
|
чисел |
x, |
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющих |
неравенству |
||||||
|
|
− δ< x < x |
(2.26) |
(2.26), |
называется |
левосторон- |
||||||||||||
|
|
x |
||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
ней δ -окрестностью |
точки |
x0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.4). |
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 2.4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
6. |
0 < x − x0 < δ |
|
|
|
|
Совокупность |
|
чисел |
x, |
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяющих |
неравенству |
||||||
|
|
< x < x |
|
|
|
+ δ |
(2.27) |
(2.27), |
называется |
правосто- |
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
ронней δ -окрестностью точки |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x0 (рис. 2.5). |
|
|
|
||||
|
|
|
Рис. 2.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Независимая переменная x |
|||||||
lim |
f (x) = f (x −0) = B |
– (2.28) |
приближается к |
|
x0 слева |
|||||||||||||
x→ x− |
0 |
|
0 |
|
|
|
1 |
|
|
|
(рис. 2.6), оставаясь меньше x0. |
|||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(x<x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
предел функции слева (или ле- |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
восторонний предел). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8. Символическая |
запись |
|
Определение |
|
|
|
||||||||||||
определения предела функции |
|
Число B1 называется преде- |
||||||||||||||||
слева: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лом функции f (x) слева, если |
||||||||
|
|
lim |
f (x) = B1 |
|
|
|
для любого сколь угодно мало- |
|||||||||||
|
x→ |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
го положительного числа ε |
су- |
||||||
|
x− 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x<x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
ществует такое положительное |
||||||||
|
( >ε 0 |
δ>(ε) 0, |
||||||||||||||||
|
число δ , зависящее от ε , что для |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.29) |
всех x, удовлетворяющих ус- |
|||||||||
x, 0< x0− x< δ |
|
f (x) − B1 |
|
<ε). |
ловию |
0 < x0 − x < δ |
( x < x0 ) , |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
выполняется |
неравенство |
|||||||||||||||
|
(x0 −δ< x < x0 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (x) − B1 |
|
< ε. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55
Рис. 2.6
9. |
|
|
|
|
Независимая переменная x |
||||||||
lim |
f (x) = f (x +0) = B |
(2.30) |
приближается к |
x0 |
справа |
||||||||
x→ x+ |
0 |
0 |
2 |
|
(рис. 2.6), оставаясь больше x0. |
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x>x0 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– предел функции справа (или |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
правосторонний предел) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
10. Символическая |
запись |
Определение |
|
|
||||||||
определения предела |
функции |
Число B2 называется пре- |
|||||||||||
справа: |
|
|
|
|
делом функции f (x) справа, |
||||||||
lim |
f (x) = B2 |
|
|
если для любого сколь угодно |
|||||||||
x→ x+ |
0 |
|
|
|
|
малого положительного числа ε |
|||||||
( x>x0 ) |
|
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( >ε 0 |
|
δ>(ε) 0, |
|
x, |
существует такое положитель- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ное число δ , зависящее от ε , |
||||||
0 < x − x0 < δ |
|
|
что для всех x, удовлетворяю- |
||||||||||
|
|
щих |
условию |
0 < x − x0 < δ |
|||||||||
( x < x < x |
+ δ) |
|
|
||||||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
(2.31) ( x > x0 ), |
|
выполняется |
нера- |
||||
|
f (x) − B2 |
< ε). |
|
|
венство |
|
f (x) − B2 |
|
< ε . |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Пределы функции слева и |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
справа |
называются односто- |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
ронними пределами. |
|
56
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
|
|||||||||
lim |
f (x) = |
lim |
f (x) = |
функция y = f (x) имеет предел |
|||||||||||||||||
в точке x0 тогда и только тогда, |
|||||||||||||||||||||
x→ |
x0 |
|
|
|
→x |
−x0 0 |
|
|
|||||||||||||
= |
lim |
|
|
f (x) |
|
(2.32) |
когда в этой точке существуют |
||||||||||||||
|
x→ |
x+ |
0 |
|
|
|
|
|
пределы слева и справа и они |
||||||||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
равны. В этом случае их общее |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение и является пределом |
||||||||||
lim |
f (x) = B1 , |
|
|
функции f (x) в точке x0. |
|
||||||||||||||||
x→ |
x− |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
односторонние пре- |
||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
f (x) = B , |
|
|
делы в точке существуют, |
но |
||||||||||||||||
x→ |
x+ |
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
не равны, то предел функции |
||||||||||
B1 ≠ |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.33) |
||||||||||||
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
в этой точке не существует. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Для функции y = f ( x ) , определенной на всей числовой оси |
|||||||||||||||||||||
(−∞ +∞; |
) |
или на интервалах (−∞ ; x0 ) |
и ( x0 ;+∞ |
) , вводятся по- |
|||||||||||||||||
нятия пределов функции: при x → |
∞ |
, x → |
–∞ , x → |
+∞ . |
|
||||||||||||||||
12. Символическая |
запись |
|
Определение |
|
|||||||||||||||||
определения предела |
функции |
|
(на «языке ε− N ») |
|
|||||||||||||||||
x → +∞ |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число A называется преде- |
|||||||||
lim |
f (x) = A |
|
|
лом |
|
|
|
функции |
y = f (x) |
при |
|||||||||||
x→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x → |
+∞ |
, если для любого сколь |
||||||||
( >ε |
|
|
0 |
N (ε) |
|
||||||||||||||||
|
|
x, |
угодно малого положительного |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа |
ε |
существует такое |
по- |
|||||||
x > N |
|
f ( x) − A |
|
< ε) |
(2.34) |
ложительное число N, завися- |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щее от ε , что для всех x, боль- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ших N, выполняется неравен- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ство |
|
f (x) − A |
|
< ε. |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Наличие у функции y = f (x) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при x → |
+∞ предела, равного A, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
геометрически иллюстрируется |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следующим образом (рис. 2.7): |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
восстановим к оси OY в точке A |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перпендикуляр |
и произвольно |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зададим положительное число ε ; |
||||||||||
|
|
|
|
|
Рис. 2.7 |
|
|
тогда |
найдется |
такое положи- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
тельное число N, зависящее от ε , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
57
|
|
|
|
|
|
|
|
что |
часть |
графика |
функции |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f (x), соответствующая зна- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
чениям x, большим этого числа, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
будет находиться в полосе, ог- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
раниченной прямыми |
y = A − ε, |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y = A + ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
14. Символическая |
запись |
Определение |
|
|
|
|
||||||||||||
определения предела функции |
Число A называется преде- |
|||||||||||||||||
при x → –∞ |
: |
|
|
|
лом функции f (x) при x → |
–∞ , |
||||||||||||
|
lim |
f (x) = A |
|
если для любого сколь угодно |
||||||||||||||
x→−∞ |
|
|
0 N (ε) |
|
малого положительного числа ε , |
|||||||||||||
|
( >ε |
|
|
x, |
существует такое положитель- |
|||||||||||||
x < −N |
|
f ( x) − A |
|
< ε) |
(2.35) |
ное число |
N , зависящее от ε , |
|||||||||||
|
|
что |
|
для |
всех |
x, |
меньших |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(−N ) , выполняется неравен- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ство |
|
f (x) − A |
|
< ε . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15. |
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрический |
|
смысл |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
предела |
функции |
при |
x → |
–∞ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
аналогичен |
|
|
геометрическому |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
смыслу предела при x → |
+∞ . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Если |
lim f (x) = A, |
то ка- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→−∞ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ково бы ни было положитель- |
||||||||||
|
|
|
|
Рис. 2.8 |
|
ное число ε > 0 , найдется такое |
||||||||||||
|
|
|
|
|
положительное число N, зави- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
сящее от ε , что при всех x < −N |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
график функции |
y = f ( x ) |
на- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ходится в полосе, ограниченной |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
прямыми |
|
y = A − ε, |
y = A + ε |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(рис. 2.8). |
|
|
|
|
|
|
|
|||
16. Символическая |
запись |
Определение |
|
|
|
|
||||||||||||
определения предела функции |
Число A называется преде- |
|||||||||||||||||
x → ∞ |
: |
|
|
|
|
|
|
лом функции f (x) при x → |
∞ , |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
если для любого сколь угодно |
58
|
|
lim f (x) = A |
|
|
|
|
|
|
малого положительного числа ε , |
|||||||||||||||||||
|
|
x→∞ |
( |
) |
|
|
существует такое число N > 0 , |
|||||||||||||||||||||
|
( >ε 0 |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
N>ε |
|
|
|
|
x, |
что для всех x, |
|
|
x |
|
|
|
> N , выполня- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
> N |
|
f ( x) − A |
|
|
< ε) |
(2.36) |
етсянеравенство |
|
f (x) − A |
|
< ε . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
17. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Геометрическая |
иллюстра- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ция |
случая |
lim f (x) = A за- |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ключается в том, что график |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции |
y = f (x) будет нахо- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
диться в полосе, ограниченной |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
прямыми |
y = A − ε, |
y = A + ε, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ε |
– сколь угодно малое по- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ложительное число, если только |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 2.9 |
|
|
|
|
|
|
точки x будут достаточно уда- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
леныотточки x = 0 (рис. 2.9). |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
18. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следует запомнить: |
||||||||||||||||
lim f (x) = A |
|
f (x) |
|
< M (2.37) |
функция f (x), имеющая предел |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
в точке x0, ограничена в окре- |
||||||||||||||||||||||||||
x→ x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
стности точки x0. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замечание |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Понятие |
|
|
|
|
ограниченной |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции было дано в главе 1, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§2, п. 3в. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задача 1. Доказать, что lim (3x − 2) = 4.
x→ 2
Решение
Согласно определению (формула 2.25) нам надо доказать, что для любого числа ε > 0 существует число δ(ε) , зависящее от ε , что из неравенства 0 < x − 2 < δ следует:
f (x) − 4 < ε .
59
Другими словами, необходимо решить неравенство
3x − 2 − 4 = 3 x − 2 < ε или x − 2 < ε .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
Если в качестве δ взять любое число ≤ |
ε |
(т.е. δ≤ ε ), то |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
из неравенства |
|
|
x − 2 |
|
< δ следует справедливость неравенства |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) − 4 |
|
< ε . |
Значит, |
δ |
|
|
|
|
|
|
|
существует, |
|
следовательно, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim (3x − |
|
2) = 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x→ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Задача 2. Доказать, что lim |
3x + 4 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
→∞ |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Согласно определению (формула 2.36) надо доказать, что |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для любого числа ε > 0 можно найти число N (ε) > 0 такое, что |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для всех x, удовлетворяющих условию |
|
|
x |
|
|
> N, |
будет выпол- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
няться неравенство |
|
3x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
− 3 |
|
< ε. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуя это неравенство, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
< ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
> |
4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||
|
Таким образом, N существует, т.е. |
N ≥ |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
ε |
|
|
|
||||
|
Итак, для ε > 0 мы нашли N ≥ |
|
такое, что для всех значе- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ε |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
> N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
ний x, для |
которых |
x |
|
|
выполняется |
неравенство |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x) − 3 |
|
< ε. Это означает, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
3x + 4 |
= 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
60