Математическая статистика в технологии машиностроения
..pdfВычислим дисперсию собственных случайных погрешностей чистовой операции о2ух и дисперсию исправленной входной по грешности Ь2о2х. По формуле (256) имеем
а2ух= 142 (1 —0,882) = 45 мкм2\
Ь2о1 = 0,4932.252 = 153 мкм2.
Полагая, что распределение размеров на входе и выходе яв ляется нормальным, необходимое значение оу на выходе опреде лится из уравнения
|
26у = |
буа^, |
откуда |
|
|
2 6 у |
7 5 |
, , 0 |
° у = - ^ |
= ттт1-=11’2 М К М ' |
где коэффициент у при доверительной вероятности а = 0,95 равен
7 = 1 + |
-у±=-= 1 + |
yffL. = 1,18. |
|
V 2п |
1^2-60 |
Дисперсия ах на входе определится по формуле
2 _ |
2 |
2 |
|
62 |
|
°х — |
|
Отсюда
1 1 , 2 2 — |
4 5 = 32$. |
0 , 4 9 |
3 2 |
ох = ]/326 ^ 18 жасж.
Допуск на размер на входе должен быть равен 26* = бусг* = 6-1,18-18 = 128 мкм.
2. АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ РАБОТЫ ПОТОЧНЫХ ЛИНИЙ
Статистические и корреляционные методы анализа точности обработки могут быть использованы не только на отдельных опе рациях технологического процесса, но также на поточных и осо бенно автоматических линиях в целом. Применение этих методов для оценки точности работы автоматической линии позволяет вы разить работу линии в виде строгих математических формул, от ражающих закономерности, происходящие как на каждой опе рации, так и на всей линии.
В предыдущем разделе была рассмотрена методика определения точностных характеристик и корреляционных связей между вы ходом и входом для отдельных операций технологического про цесса. На поточных линиях обработка одной и той же поверхности детали может состоять из нескольких взаимосвязанных опера ций. Например, обработка отверстия может состоять из четырех последовательно выполняемых операций: сверления, зенкерова-
ния, предварительного и окончательного развертывания. Взаим ная связь между отдельными операциями поточной линии воз можна и при обработке различных поверхностей детали. Напри мер, от точности операции обработки отверстия и базового торца шестерни зависит точность операции зубонарезания и т. п. По этому для анализа точности работы поточной и особенно автомати ческой линии необходимо установить такие суммарные характе ристики, которые бы учитывали взаимосвязь отдельных операций ее и позволяли определять показатели точности на выходе по из вестным показателям точности на входе линии.
При этом возможны два случая. Первый — когда характе ристика качества каждой последующей операции зависит только
Ха Од |
п |
х2 бр |
|
|
Рис. 45. Схема линии из двух операций
от характеристик одной предыдущей операции и не зависит от характеристик всех выполненных ранее операций; второй — когда для расчета характеристик последней операции необходимо учи тывать характеристики всех или нескольких предыдущих опе раций.
Рассмотрим первый случай. Для простоты расчетов будем пред полагать, что линия состоит только из двух операций и зависи мости между выходом и входом каждой операции линейны. Обо
значим характеристики входа на первой операции х 0 и ог0, а вы
хода х 1 и а х. Эти характеристики для второй операции будут яв ляться входными, а выходные характеристики со второй опера
ции обозначим х 2 и <т2. Схематическое изображение станочной ли нии из двух операций приведено на рис. 45. Если между характе ристиками процесса на входе и выходе существует линейная кор реляционная связь, то для каждой операции эта связь может быть выражена уравнениями:
*i = |
аг + |
Ь,.х0; |
(258) |
|
х2 = |
аг |
|
Ьгхй |
(259) |
„1 |
2 |
, |
.2 2. |
(260) |
СИ= |
010 |
1 010о, |
||
2 |
2 |
, |
/22 |
(261) |
02 = |
02-1 -Г 0201- |
Подставляя в уравнения (259) и (261) значения х\ и о\ из уравнений (258) и (260), получим следующие расчетные уравнения для линии в целом, состоящей из двух операций:
Хо = а2 + M l + b2-b1-Xn, |
(262) |
o \= o lx + blo\.o + b\bhl |
(263) |
В общем виде для линии, состоящей из т операций, обрабаты вающих одну и ту же поверхность, расчетные уравнения будут иметь следующий вид:
_ |
т |
_ |
т |
|
щ |
|
Х-т= П |
Ь[Хо |
-{“ |
П |
biCLi -f-П6/Я2 "f" ***“f" bmCLm_i -(- am\ (264) |
||
|
*=1 |
|
i= 2 |
|
/=3 |
|
|
|
|
|
m |
m |
|
|
|
m |
|
i= 1 |
i= 2 |
|
|
|
Ь[(52Л ~Ь • **“h b mO ,n-\ “f~ Gm»m—!• |
|
|||
|
|
"h П |
(265) |
|||
Знак |
П bl обозначает произведение значений bt для операций 1, |
|||||
|
/=i |
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
Ь*-Ь3-Ь±. |
||
2, 3, |
m. Например, |
П |
ft. = b1-b2-b3-b^1 П bt = |
|||
|
|
|
|
i = 1 |
i= 2 |
|
|
Рис. 46. Схема линии из трех операций |
|
|
|
Значения at и 6,- определяются по формулам |
|
|
|
я* = |
— bi -хиъ |
(266) |
где |
— среднее арифметическое предшествующей i-й |
операции |
|
|
= |
Г/./-1 а/ |
(267) |
Коэффициенты bi в дальнейшем будем называть п е р е д а т о ч н ы м и характеристиками линии, так как они характеризуют степень переноса погрешности с предыдущей операции на последующ^10Для второго случая, когда каждая из операций линии зависит не только от предыдущей операции, но и от ряда предшествующих ей, расчетные формулы имеют более сложный вид. В основе этих формул лежит теория множественной корреляции. Например, Для линии, состоящей из трех взаимосвязанных операций (рис. 46),
расчетные формулы будут иметь следующий вид.
хз = |
С -f- b2-x2 + |
biXi, |
|||
А — СТ3 |
СО4 |
ь э 1 |
О? |
£ |
|
|
1— г2 |
|
|||
2 |
0Г2 |
|
|
||
|
|
|
1 |
'2-1 |
|
А — q3 |
, гЗ-1 |
Г3-2Г21 |
|||
|
|
|
1 |
г2 |
|
|
|
|
1 |
Г21 |
с = Xз — 6о-Х2 — Ьхх1 .
(268)
(269)
(270)
(271)
183
Дисперсия на выходе будет равна
° з = a8.i -f- 62O2 “h h o i -j- 2bib2r2-i02(Ji.
Дисперсия собственной погрешности линии
oil — of (1 —/?3-2i)- |
(273) |
Коэффициент множественной корреляции
Ягл |
Y |
- |
2 + Г3-1 — 2гЗ-2гЗ*1Г2-1 |
(274) |
|
- м = |
1 |
^2*1 |
|
||
|
|
|
|
Частные коэффициенты корреляции между операциями третьей и первой, третьей и второй будут равны
/*3-1 (2) = |
Г31 |
'2*г 3-2 |
(275) |
|
|
|
|||
|
|
0 |
0 |
^З^) |
^3-2 (1) |
= |
гЗ-2~ г2 1г31 |
(276) |
|
|
|
|||
|
|
] / 0 ~ |
r2 l) 0 ~ |
r3 l) |
Частные коэффициенты корреляции характеризуют влияние второй и первой операций в отдельности на третью.
Пример 44. На линии, состоящей из двух операций, производится обработка роликов с окончательным размером D = 20_о,о45 мм. Первая операция — авто матная, вторая — бесцентровошлифовальная. Статистическими исследованиями
установлено, что для заготовок Х 0 = 22 мм, ст0 = ЮО мкм. После первой (то карно-автоматной) операции Х г = 20,5 мм; аг = 20 мкм; после второй (шлифо
вальной) операции Х 2 = 19,98 мм; сг2 = 6 мкм. Кроме того, вычислены коэффи циенты корреляции между выходом с первой операции и входом на первую опера цию г1#0 = 0,5; между шлифовальной и токарной операциями г2#1 = 0,3.
Определим передаточные характеристики линии и дисперсии собственных погрешностей отдельных операций
По формуле (267):
Ь2 |
0,3 |
_6_ = 0,09. |
20 |
По формуле (266):
а 1 == 20,5-0.1-22 = 18,3;
а2 = 19,98—0,09- 20,5 = 18,135.
По формуле (256):
<jj 0 = 202 (1 — 0,52) = 300 мкм2;
а2 1==62 ( , _ 0,32) = 32,76 мкм2.
Для проверки правильности произведенных расчетов воспользуемся форму лами (262) и (263):
Х 2 = 18,135+ 0,09. 18,3 + 0,09.0,1-22 = 19,98 мм;
а\ = 32,76 + 0,092.300 + 0,092-0,12-Ю02 = 36 мкм2.
Полученные значения характеристик на выходе совпадают с действительными
их значениями, следовательно, расчеты сделаны правильно. |
деталей |
||||||||||||||
Проанализируем |
полученные |
|
данные. Средние |
размеры партии |
|||||||||||
в процессе обработки уменьшились: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
после токарной |
обработки |
на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Х 0 — Х г = |
22 — 20,5 = |
|
1,5 мм; |
|
|
|
||||||||
после шлифования на |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Х г — Х 2 = |
20,5 — 19,98 = |
0,52 мм. |
|
|
|
|||||||||
Общее уменьшение среднего размера партии деталей на линии составляет |
|||||||||||||||
(Х 0 — Х г) + |
(Х г — Х 2) = |
1 ,5 + |
0,52 = 2,02 мм. |
|
|
||||||||||
Рассеивание размеров |
партии |
деталей уменьшилось |
после токарной |
об- |
|||||||||||
обработки в |
|
|
о0 |
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
-5Г = ~ 2 0 -= 5раз; |
|
|
|
|
|
|||||||
после шлифования в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
°1 |
~~ |
20 |
|
о о оаза |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
о2 |
6 |
~ 3,3 ра3 ‘ |
|
|
|
|
||||||
Общее уменьшение рассеивания размеров на линии в |
|
|
|||||||||||||
|
|
а0 |
__ |
|
100 |
= |
16,7 |
раза. |
|
|
|
|
|||
|
|
о2 ~" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 45. Линия состоит из трех взаимосвязанных операций. В результате |
|||||||||||||||
статистических исследований установлено: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
= 40 мкм; |
а 2 = |
10 мкм; |
|
о3 = |
4 мкм; |
|
|
|||||||
|
г2 л = |
|
^>5; |
гз*2 = |
0*4; |
гз-1 |
= |
0»3. |
|
|
|
||||
Определить передаточные характеристики линии Ьх и b2i дисперсию собствен |
|||||||||||||||
ных погрешностей линии о ^ |
|
и |
частные |
коэффициенты |
корреляции |
г3.2 |
и |
||||||||
гЗ-1 (2). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По формулам (269) и (270): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
4 |
|
0,3-0,4-0,5 |
|
|
ЛЛ100 |
|
|
|
||||
|
h = ~ W ------1 -0 ,5 » |
|
= |
0’0133; |
|
|
|
||||||||
|
Ьп - • |
ю |
|
|
0,4— 0,3-0,5 |
|
= |
0,133. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 — 0,5а |
|
|
|
|
|
|
|
|||
По формуле (274): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я3-2 , , / M |
|
i |
+ |
0,32 — 2.0,4.0,3-0,5 |
?0,42. |
|
|
||||||||
|
|
|
1 — 0,52 |
|
|
|
|
|
|
а\.j = 42 (1 — 0,173) = 13,232 мкм2
По формулам (275) и (276):
0,3 — 0,5-0,4
гз-1 (2) — j ^ ( i _ o )52)(1 _ o ,4 2)
0,4 — 0,5-0,3
'3-2 (1)
К(1 — 0,52) (1 — 0,32)
f0,13;
{0,32.
Следовательно, влияние второй операции на конечный результат более зна чительно, чем влияние первой.
Глава IV
СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ НАСТРОЙКИ СТАНКОВ
В крупносерийном и массовом производствах обработка дета лей производится на предварительно настроенных станках. При таком методе работы, размеры обрабатываемых деталей получаются автоматически и зависят от положения режущего инструмента и упоров станка относительно настроечных баз обрабатываемой детали. Задача настройки станка и его поднастройки в связи с размерным износом режущего инструмента заключается в том, чтобы придать такое положение режущему инструменту и упорам станка, которое обеспечивало бы получение всех размеров данной настроечной партии деталей в пределах допуска.
Существует три метода настройки станков: а) по пробным дета лям; б) по эталону и в) по методу взаимозаменяемых настроек. Метод настройки по пробным деталям заключается в том, что по ложение режущего инструмента и упоров, а также корректировка этого положения производится по результатам измерения проб ных деталей, обработанных на настраиваемом станке.
Метод настройки по эталону заключается в том, что режущий инструмент и упоры устанавливаются в нерабочем состоянии станка по заранее изготовленному эталону, представляющему собой прототип детали, обработанной на данной операции.
Метод взаимозаменяемых настроек состоит в том, что как и в предыдущем случае, режущий инструмент и упоры устанавли ваются в нерабочем состоянии станка, но для закрепления режу щего инструмента создаются специальной конструкции державки и многорезцовые блоки, которые позволяют регулировать поло жение режущего инструмента относительно постоянной базы и настраивать его на необходимый размер вне станка.
1. НАСТРОЙКА СТАНКОВ ПО ПРОБНЫМ ДЕТАЛЯМ
При настройке станков по пробным деталям прежде всего не обходимо определить настроечный размер.
Настроечным называется размер, который необходимо полу чить при обработке пробных деталей на настраиваемом станке. Так как при обработке пробных деталей будет иметь место рас сеивание их размеров, то в качестве полученного настроечного размера необходимо принимать среднее арифметическое значение размеров п пробных деталей. Число п зависит от требуемой точ
ности настройки станка, но не |
|
|
Таблица 48 |
||||||
должно быть большим с целью |
Погрешности установки |
инструмента |
|||||||
исключения |
влияния |
функци |
|||||||
|
по лимбу |
|
|||||||
ональных погрешностей |
обра |
|
|
|
|||||
ботки |
на средний арифметичес |
Цена |
Погрешность |
Погрешность |
|||||
кий |
размер. |
Обычно |
,гчисло |
деления |
установки |
||||
лимба |
инструмента |
в диаметре |
|||||||
пробных деталей п принимается |
в мкм |
в мкм |
в мкм |
||||||
в пределах от 4 до 9. |
|
|
|
|
|
||||
Среднее арифметическое зна |
0,01 |
5—10 |
10—20 |
||||||
чение |
размеров из |
п |
пробных |
||||||
0,05 |
15—30 |
30—50 |
|||||||
деталей по существу |
характери |
||||||||
0,1—0,5 |
30—70 |
|
|||||||
зует фактический центр |
«мгно |
|
|
|
венного» рассеивания в началь ный период работы станка. Для
рациональной настройки необходимо, чтобы фактический центр «мгновенного рассеивания» лежал в пределах допустимых значений настроечного размера. Поэтому необходимо на настроечный раз мер установить допуск, который в дальнейшем будем называть допуском на настройку и обозначать через 2бя.
Допуск на настройку зависит от предельных значений погреш ности настройки. Погрешность же настройки зависит от погреш ности измерения пробных деталей кизм, от погрешности регули рования положения режущего инструмента относительно обраба тываемой детали Арег и от погрешности самого метода расчета величины настроечного размера по пробным деталям Драсч.
Погрешность измерения зависит от точности измерительного инструмента. Данные о погрешностях измерения приведены в книге Г А. Апарина и И. Е. Городецкого «Допуски и технические изме рения». 1
Погрешности регулирования режущего инструмента зависят от способа перемещения его при настройке (винтом с отсчетом величины перемещения лимбом или индикатором, или миниме тром). В табл. 48 приведены погрешности регулирования положе ния режущего инструмента по лимбу в зависимости от цены де ления лимба.
1 См. |
А п а р и н Г. А. и Г о р о д е ц к и й И. Е. Допуски и технические |
измерения. |
М., Машгиз, 1950. |
Если корректировка положения режущего инструмента произ водится при помощи индикатора или миниметра, устанавливаемых на станке при помощи специальных приспособлении, то погреш ность регулировки инструмента в этих случаях зависит от чув ствительности применяемых измерительных инструментов. При использовании индикаторов Арег — ± (10н-30) мкм при исполь зовании миниметров Арег = ± (5—10) мкм.
Погрешность метода расчета величины настроечного размера Арасч зависит от точности станка а и числа пробных деталей п:
А; —
Т а е н
где а — среднее квадратическое отклонение случайных погрешностей обработки для данного станка.
Так как все составляющие погрешности настройки являются случайными величинами, то суммарная величина ее будет равна
где К — коэффициент относительного рассеивания, характеризу ющий отличие законов распределения Аиэм, Арег и Арасч от нормального.
Половина допуска на настройку будет равна
(277)
При расчетах можно принимать К = 1,2.
Так как допуск на настройку зависит прежде всего от точности измерительного инструмента, используемого для измерения дета лей и положения режущего инструмента при его регулировке, то необходимо выбирать измерительный инструмент такой точности, чтобы общая погрешность настройки 26„ составляла незначитель ную часть допуска 28 на размер обрабатываемой детали, напри мер, не более 10% от 26, т. е. необходимо, чтобы 2 8 „ ^ 0,1-28.
Для определения настроечного размера необходимо знать сред нее квадратическое отклонение случайных погрешностей обработки для настраиваемой операции и точностной тип процесса. Поэтому для правильной настройки станков целесообразно предварительно провести статистический анализ точности обработки деталей на этих станках. В зависимости от типа точности процесса настроеч ный размер DH для диаметральных размеров определяется по следующим формулам:
для процессов I, II и IV типа соответственно для наружных и внутренних цилиндрических поверхностей
Для процессов III типа соответственно для наружных и внутренних цилиндрических поверхностей
DH= |
DHM-|- Зам -4" |
Д/i -Ь он, | |
|
DH= |
DH6 - Зом - |
Дh - ан. I |
( У' |
Для линейных размеров формулы будут аналогичными и за висеть от того, являются ли размеры охватываемыми или охваты вающими.
Полученные по формулам (278) и (279) настроечные размеры необходимо рассматривать как номинальные размеры. Допуск 26„ следует располагать симметрично в плюс и минус, т. е. настроеч ный размер с его предельным отклонением будет равен DH± 8Я.
После предварительной настройки режущего инструмента на размер, близкий к настроечному, необходимо обработать п проб
ных деталей и вычислить средний арифметический размер D из п пробных деталей. Если средний размер пробных деталей будет лежать внутри пределов DH± 6К, т. е.
DH— 6К^ D ^ DH+ Ьн, |
(280) |
то настройка считается правильной.
Для поднастройки инструмента в связи с его размерным изно сом независимо от типа точности процесса следует вычислять Dn по формуле (278).
Для процессов IV типа точности допуск на настройку можно
определять по формуле |
|
26к = 26 — 6ом. |
(281) |
Настройка по пробным деталям может обеспечить высокую точ ность, которая ограничивается, в основном, погрешностями метро логического характера. Кроме того, точность настройки зависит от числа пробных деталей. С увеличением числа пробных деталей точность настройки увеличивается.
Для оценки точности настройки станка по пробным деталям можно воспользоваться методикой, изложенной в первой части, гл. III, п. 4. _
Вероятность а приближенного равенства D <=* DHпри точности е = ±бк равна
Р (DH— 8„ < D < DH+ 6„) = а.
Так как п пробных деталей представляют малую выборку из
нормальной «мгновенной» совокупности с параметрами DH^ D и а s, то для определения вероятности а можно воспользоваться распределением t Стюдента и таблицами приложения 2 и 5.
получим
-- t<x Vns
откуда
ЬнУп s
По полученному значению ta и числу степеней свободы k = = п — 1 можно по таблице приложения 2 определить вероятность а непосредственно или по таблице приложения 5 по тем же данным можно определить а по формуле
ос= l - P ( \ t \ ^ h ) .
С увеличением числа пробных деталей п значение ta растет, а следовательно, растет и вероятность ос. Однако уже при п = 5 вероятность а при соответствующих значениях s и 2 Ьн бывает настолько большой, что нет особой необходимости увеличивать п. Например, при 26„ = 10 мкм, 26 = 100 мкм, s = 8 мкм и п = 5 ос = 0,95, так как
|
|
/« = |
10^5 = |
2,8. |
По |
таблице |
приложения |
5 для |
ta = 2,8 и k = 5 — 1 = 4 |
а = 1 - |
0,049 = |
0,95. |
|
|
Настройка по пробным деталям довольно трудоемка, особенно при обработке на автоматах и полуавтоматах. Этот метод мало пригоден для станков с программным управлением и для стан ков, встроенных в автоматические линии. К недостаткам этого метода необходимо отнести также и то, что часть пробных деталей идет в брак. Поэтому этот метод настройки может найти приме нение для станков, обрабатывающих мелкие, несложной конфи гурации детали, например, для настройки фасонно-отрезных ав томатов, одношпиндельных токарно-револьверных автоматов и револьверных станков, обрабатывающих простые по конфигура ции детали из пруткового материала.
Наиболее простой и менее трудоемкой является настройка станков по эталону, особенно для деталей сложной конфигурации.
2. НАСТРОЙКА СТАНКОВ ПО ЭТАЛОНАМ
Настройка станков по эталонам дает более надежные резуль таты по точности и не связана с бесполезной тратой пробных дета лей. Кроме того, настройка по эталонам не требует высокой ква лификации наладчиков. Особенно целесообразен этот метод при многоинст.рументной обработке.