Математическая статистика в технологии машиностроения

в табл. 16 (графы 3—10).

На рис. 27 приведены теоретическая и эмпирическая кривые распределения.

Глава IV

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗ

1. ЗАДАЧИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ПРОВЕРКИ ГИПОТЕЗ

Статистическая проверка гипотез, т. е. предположений, от­ носящихся к эмпирическим распределениям изучаемых случай­ ных величин, играет важную роль в статистических исследованиях.

Если эмпирическая кривая распределения большой выборки по своему внешнему виду приближается к какому-либо теоретиче­ скому закону распределения, то возникает вопрос, можно ли дан­ ную выборку рассматривать как выборку из генеральной со­ вокупности, имеющей распределение именно по этому закону. Решение этого вопроса имеет важное значение для исследователя, так как знание закона распределения изучаемой величины по­ зволяет извлечь из экспериментов дополнительную информацию. Если производится две серии испытаний с фактором А и без него и в результате получаются разные значения средних и диспер­ сий изучаемой переменной величины, то возникает вопрос, яв­ ляется ли это различие в средних и дисперсиях влиянием фактора А или оно носит чисто случайный характер.

Решение перечисленных и им подобных задач в математиче­ ской статистике производится путем постановки и проверки так называемой «нулевой гипотезы». При этом под «нулевой ги­ потезой» подразумевается допущение об отсутствии интересую­ щего нас различия между выборками или их статистическими характеристиками. Например, нас интересует, можно ли по полу­ ченному распределению в большой выборке из генеральной сово­ купности считать, что последняя имеет нормальное распределе­ ние. Для того чтобы прийти к вполне определенному заключению, хотя бы и вероятностного характера, мы делаем гипотетическое допущение, что распределение выборки несущественно отличается от нормального и, следовательно, на основании закона больших чисел можно считать, что и генеральная совокупность имеет нор­ мальное распределение. Другими словами, мы выдвигаем «нуле­ вую гипотезу» об отсутствии различия между эмпирическим рас­ пределением и теоретическим нормальным или гипотезу о том, что данная выборка взята из нормальной совокупности. Теперь надо проверить эту гипотезу и в результате проверки либо от­ бросить ее, либо принять.

Для проверки гипотез в математической статистике пользуются рядом критериев, которые называют в этомслучае критериями со­ гласия.Для того чтобыпринять илизабраковать гипотезу при помощи этих критериев, установлены уровни значимости их. Уровень значи­ мости представляет собой достаточно малое значение вероятности, отвечающее событиям, которые в данной обстановке исследования можно считать практически невозможными. Обычно принимают пятидвухили однопроцентный уровень значимости. В технике чаще всего принимают пятипроцентный уровень значимости.

Уровень значимости называют также доверительным уровнем вероятности, который соответственно может быть принят равным Р = 0,05; 0,02 или 0,01; иногда принимают Р = 0,001. Эти уровни доверительной вероятности соответствуют классификации явле­ ний на редкие (Р = 0,05), очень редкие (Р = 0,01) и чрезвычайно редкие (Р = 0,001). Выбирая тот или иной уровень значимости критерия или уровень доверительной вероятности Р, мы тем са­ мым устанавливаем и область допустимых его значений, кото­ рая выражается вероятностью а = 1 — Р.

С уменьшением уровня значимости расширяется область до­ пустимых значений критерия и ’вместе с тем теряется его чув­ ствительность, так как повышается вероятность принять гипотезу даже в тех случаях, когда эта гипотеза неверна. Но вместе с тем выбор достаточно малого уровня значимости гарантирует от возможности неправильно забраковать верную гипотезу.

Статистические приемы проверки гипотез не обладают полной определенностью. Если используемый критерий попадает в область допустимых значений, то нельзя еще сделать вывода о правиль­ ности гипотезы, а можно лишь заключить, что наблюденное зна­ чение критерия не противоречит этой гипотезе, что можно признать допустимость гипотезы до тех пор, пока более обстоятельные ис­ следования, с помощью более точных критериев или при увеличен­ ном числе наблюдений не подтвердят это или не приведут к проти­ воположному заключению. Поэтому статистическими методами нельзя пользоваться формально, а необходимо их сочетать с ана­ лизом физической сущности изучаемого явления. Когда гипотеза, основанная на теоретическом анализе физической сущности яв­ ления, подтверждается также статистическими приемами, то до­ стоверность ее можно считать достаточно надежной.

В последующих параграфах будут рассмотрены статистиче­ ские методы проверки некоторых гипотез, имеющих наиболее важное практическое значение.

2. ПРОВЕРКА ГИПОТЕЗЫ 0 ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Для установления закона распределения генеральной совокуп­ ности по большой выборке из нее пользуются рядом критериев, из которых наибольшее практическое применение имеют критерий К А. Н. Колмогорова и критерий %2 Пирсона.

Критерий А.дает достаточно точные результаты даже при объе­ ме выборок, состоящих из нескольких десятков членов и прост для вычислений. Не вдаваясь в теоретические обоснования этого критерия, приведем лишь порядок его использования.

Для вычисления величины X необходимо предварительно оп­ ределить эмпирические Fn (х) и теоретические F {х) функции предполагаемого закона распределения для каждого наблюден­ ного значения случайной величины х. Затем по максимальной разности этих функций определяется X при помощи следующей формулы:

то вместо формулы (107) можно пользоваться также следующей формулой:

X = У п. (108)

Накопленной частотой любого m-то значения Х[ называется сумма частот всех предшествующих значений xh включая и частоту самого xt, т. е.

Функция К (X) табулирована Н. В. Смирновым и при помощи таблицы значений К (X) составлена таблица значений Р (X), ко­ торая приведена в приложении 12.

По вычисленному значению X по формуле (107) или (108) и при­ ложению 12 определяют Р (X). Если вероятность Р (X) окажется очень малой, практически, когда Р (А,) 0,05, то расхождение между F (х) и Fn (х) считается существенным, а не случайным и гипотеза о предполагаемом законе распределения величины х бракуется. Если же вероятность Р (А.) будет достаточно большой (практически, когда Р (А,) > 0,05), то гипотеза принимается,

Необходимо заметить, что использование критерия к предпо­ лагает непрерывность F (х) и, кроме того, предполагается, что эм­ пирическая функция Fn (х) построена по не сгруппированным в интервалы значениям случайной величины х. Однако, когда интервалы группировки достаточно малы, критерий %дает, хотя и приближенную, но вполне приемлемую для практических це­ лей оценку близости эмпирического распределения к теоретиче­ скому.

Для удобства вычисления критерия X следует составить вспо­ могательную таблицу 17.

Fn (х) и F (х) вычисляются в зависимости от закона распреде­ ления х по методике, изложенной в части первой, гл. III, п. 8.

Критерий х2 применим для любых сгруппированных совокуп­ ностей, но при достаточно большом их объеме. Для вычисления х2- необходимо предварительно вычислить теоретические частоты для наблюденных значений эмпирического распределения, т. е. про­ извести сопоставление этого распределения с предполагаемым теоретическим. Приэтом необходимо, чтобы частоты интервалов значений х были бы не менее пяти. Если в каком-либо интервале значений х частота будет менее пяти, то такой интервал следует

По таблице приложения 12 этому значению X соответствует Р (X) = 0,9972Эта вероятность близка к единице. Поэтому можно нашу нулевую гипотезу счи­

По формуле (107) имеем

По таблице приложения 12 для этого значения X Р (X) = 0,9981. Вычисление критерия х2 производим с помощью табл. 21, составленной по данным табл. 19. Так как частоты 1 и 7-го интервалов менее 5, то они объединены с соседними ин­ тервалами.

область для т, отвечающая q % уровню значимости при п > 20, будет определяться неравенством

Значение tq определяется из соотношения

откуда

Зная Ф (tq), по таблице приложения 1 можно определить tq. Например, п = 24 при q — 5%, Ф (tq) = 0 ,5 ---- щ = 0,45. По таблице приложения 1 этому значению функции соответст­

1/25

вычисленное по данным 24 наблюдений т будет меньше 0,67, то это укажет на неверность нашей гипотезы о «случайности». Если же т окажется больше 0,67, то гипотеза «случайности» будет верна с вероятностью а = 1 — 0,05 = 0,95.

Для п < 2 0 можно использовать табл. 22 допустимых нижних пределов %q для уровней значимости 1 и 5%.

Пример 26. п = 20, s2 = 0,133 мм2, с2 = 0,127.

т0,1270,133 = 0,95.

По табл. 22 при п = 20 нижняя граница для критерия т при 5%-ном уровне значимости равна т? = 0,65:

т > rq.

Следовательно, гипотеза «случайности» верна.