Аэродинамические источники шума
..pdfDili |
| |
„ й |
|
1 _ |
_др' |
Qo\ D t |
|
-tljbi |
] - |
дх,- |
|
|
А?' |
|
duj |
|
|
|
“Qo dxj - 0; |
(4.11) |
|||
|
D t |
||||
|
|
D S |
|
0 , |
|
|
|
D t |
|
J |
|
|
|
|
|
||
где |
D |
|
-</<>■d x i |
||
D t |
d t |
В дальнейшем опустим штрих у р' и Q', и теперь р и е будут означать акустические давление и плотность.
Заметим, что
д |
D ili |
__ D |
/ duj \ i |
W 0 |
дц/ |
(4.12) |
|
д х i |
D t |
ЪГD t |
\ to,д х i J"*'- |
d x [ |
d x \ |
||
|
|||||||
Продифференцировав |
первое уравнение из |
(4.11) по Хи затем |
подействовав оператором D/Dt на второе и вычитая одно из друго
го, получим с учетом |
(4 .1 2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D%Q . |
д%р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D t 2 |
|
-е° д^х \ ( \ м' Тd x^i |
) + е° д-хТi |
^dТx i ^ = а |
(4ЛЗ) |
|||||
Произведя линеаризацию |
уравнения |
(4.6), |
получим |
соотноше- |
||||||
ние |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
,2 |
£ e |
_ |
D p |
|
|
|
|
(4.14) |
Заметим также, что |
0 |
D t |
|
D t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
- k (« |
d U Q \\ _ |
duj |
_^o_ |
|
|
|
||
|
|
dxi |
j1 |
dx i |
dx i |
|
|
звука в |
||
В результате |
получим уравнение |
распространения |
|
|||||||
сдвиговом потоке |
|
D%p _ д^р |
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
- 2 Q 0 |
дЛ ± . |
|
(4.15) |
|||||
|
& D t 2 |
|
|
|
||||||
|
d x j |
|
0 д х х d x i |
|
|
|
Это уравнение может быть представлено в следующем виде:
|
- i + M |
- i |
2 < Ц - |
dti2 |
|
или ( т |
|
■ ^ - ) V = w + |
d x j |
||
d t |
d x x |
|
|
||
|
|
|
|||
J _ |
-^£ -= (1 _ M 2) — |
dtp |
| |
<?2P |
|
c2 |
d fl |
d x i |
d x \ |
|
^ 3 |
|
|
|
|||
|
|
+Ч-Й- |
<JM |
I |
<Э“з |
|
|
d x 2 |
|
|
d M |
|
diiz |
d M ) (4-16) |
d x 2 |
|
d x i |
d x s |
'— Z |
M |
<Э2Р |
1 |
------ |
|||
|
c |
|
|
d M \ |
|
(4. 17) |
|
^ 3 |
/ ’ |
|
|
|
|
где |
M = <7n |
V2 =■ |
|
|
<?2 |
\_ |
Dip |
dui |
с2 |
Dt2 |
dxi |
где U — характерная величина скорости в сдвиговом слое; L — характерная толщина сдвигового слоя; / — характерная частота. Таким образом, член
2 duj_ JU Q_
д х х |
дх^ |
называемый членом сдвиговой рефракции, становится существен ным в сравнении с другими членами уравнения (4.15), если харак терная частота меньше или сравнима с частотой Струхаля, вычис ленной по средней скорости и характерной толщине слоя. С другой стороны,
L f |
_ L / __ L |
/ |
__ L |
я |
U |
~ U ~ М |
с |
_ М X |
’ |
|
— с |
|
|
|
|
с |
|
|
|
это соотношение показывает, что при заданном числе М член сдви говой рефракции является существенным для длин волн больших или равных, чем толщина пограничного слоя. Можно также ска зать, что сдвиговая рефракция становится существенной при боль ших числах М.
В случае равномерного однородного воздушного потока, т. е.
при д^°- = 0 , выражение (4.15) примет вид, который является ча- dxt
стным случаем уравнения Блохинцева
|
|
|
|
Р'*р |
V 2 P = |
о |
|
|
|
|
|
|
С2 |
Pit |
|
|
|||
или |
JL |
д2Р |
д2Р |
I |
д2Р |
I |
д2Р |
_ 2 — |
д2р |
|
° 2 |
д*2 |
д х 2 |
д х \ |
|
д х 2 |
с |
d x \ d t |
(4.18)
(4. 19)
В отсутствие движения среды, т. е. £/о=0, уравнение (4.15) пе реходит в обычное волновое уравнение,‘описывающее распростра нение звука в покоящейся среде
д2Р ___L дР —о
д х 2 |
& d tt |
Если в уравеннии (4.15) пренебречь градиентом скоростей и перейти к системе координат, движущейся вместе со средой, т. е. принять 1 = —JV, то оно примет ^ид обычного волнового урав нения
J _ |
&Р |
/ |
&Р |
| |
&Р |
I д2Р \ Q |
С2 |
dt2 |
[ |
д Р |
^ |
д х \ |
д х \ ) |
Решение его будет р — р0е1^ г~ш1\ где &= со/с; г — расстояние от источника звука до наблюдателя,
равное r = ai£ + (*2*2 + азЯз; он — направляющие косинуса нормали к поверхности волны (ai2 ~ba22 + a32= 1). Подставив выражение 1 = = Х\—U& получим
р = р0
где г0 = а 1*1 + а 2*2 + а3.*з;
(4. 20)
Таким образом, частота звука в неподвижной системе коорди нат будет о/, которая отличается от со, характерной для распрост ранения звука в движущейся системе координат. Это изменение частоты звука — эффект Доплера — вызвано движением среды, и оно определяет отличие в распространении звука в движущейся среде по сравнению с неподвижной.
Воспользовавшись уравнением, описывающим распространение звука в движущейся среде, перейдем к решению задач о распро странении звуковых волн в канале при наличии газового потока. Для определения параметров распространения звука нам необхо димо знание акустического импеданса стенок канала, который определяет взаимодействие звуковых волн со стенками. Таким об разом, требуется математическая формулировка граничных усло вий на стенках канала в соответствующей задаче для волнового уравнения. В связи с этим возникает задачаоптимизации затуха ния звука в канале, т. е. выбор такого импеданса стенок, при ко тором наблюдается максимальное снижение шума. Практическое решение задачи о распространении звука в каналах направлено прежде всего на выбор звукопоглощающей облицовки стенок и тем самым на определение геометрических характеристик облицо вок по заданному импедансу. Важным также является обратная задача, т. е. определение импеданса стенок канала по заданным геометрическим характеристикам облицовки, параметрам воздуш ного и звукового потоков.
Вопросы распространения звука в акустически облицованных каналах как с потоком, так и без него достаточно широко рассмот рены в литературе; подробный перечень ссылок можно найти, на пример, в обзорах [22, 102]. Впервые аналитическое решение зада чи о распространении звука в каналах с поглощающими стенками было дано Г Д. Малюжинцем в работе [28]. Однако им был рас смотрен случай распространения звука без воздушного потока. Критерии выбора импеданса стенок при решении задачи о затуха нии звука в канале, но также без потока были сформулированы Кремером [63], а затем детально изучены Тестером [100]. Влияние воздушного потока на затухание звука в каналах рассмотрено в работах [23—26, 36, 41, 91, 95]. Далее изложены вопросы распро странения звука и оптимизации затухания звука в каналах при наличии однородного воздушного потока и потока с пограничным слоем на стенке канала. При этом задача решается для волнового
|
|
|
уравнения, т. е. в линейной постанов-1 |
|||||||
|
|
|
ке, однако граничные условия на стен |
|||||||
|
|
|
ках канала, т. е. импеданс, являются |
|||||||
|
|
|
зависимыми от величины |
падающего |
||||||
|
|
|
звукового давления. |
|
|
|
||||
|
|
|
4.2. |
РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В |
||||||
|
|
|
КАНАЛЕ ПРИ НАЛИЧИИ ОДНОРОДНОГО |
|||||||
|
|
|
|
|
ПОТОКА |
|
|
|
||
|
|
|
При |
рассмотрении |
распростране |
|||||
|
|
|
ния звука в каналах не будем учиты |
|||||||
Рис. 4.1. Схема цилиндрического |
вать влияния теплопроводности и вяз |
|||||||||
кости среды. |
Волновое |
уравнение |
в |
|||||||
канала |
|
|
||||||||
|
|
|
цилиндрических |
координатах г, <р, |
г |
|||||
|
|
|
(рис. 4.1) для акустического давления |
|||||||
р в отсутствии источника звука сравнительно просто |
получается |
|||||||||
из приведенного ранее уравнения Блохинцева |
(4.18) |
|
|
|
||||||
± . ( J - + u » ' t p = — ± - 1г . Щ + |
- L * л + * £ |
|
||||||||
с%\ dt |
dz ) |
|
г дг \ |
дг / |
/*2 |
dcp2 |
|
(4.21) |
||
|
dz2 |
|
||||||||
где с — скорость звука; |
U0 — постоянная скорость воздушного по |
|||||||||
тока вдоль оси z, |
U0<c. |
Как обычно, решение уравнения (4.21), со |
ответствующее волнам, распространяющимся вдоль оси г, запишем в виде
P=P{r, cp)exp{i(A*z —orf)}, |
(4.22) |
где kz — постоянная распространения вдоль оси канала; р — амп литуда.
После подстановки выражения (4.22) в уравнение (4.21), получим
|
1 |
д |
1 |
др \ + |
1 |
д2р |
~ |
(4.23) |
|
г |
дг |
\ |
дг ) 1 |
г2 |
д<р ' |
н |
|
|
|
|||||||
где |
n.2— (k —M. kzf — k2z\ |
k = w/c; |
M .=U0/c. |
(4.24) |
||||
Иопользуя метод разделения переменных, представим решение |
||||||||
уравнения |
(4.23) в следующем виде:, |
|
|
|
||||
|
р(г, |
<?) = Атп {Ут(*тпг) + ВтпУт(*тпф ‘т\ |
(4. 25) |
где / т(%) и Ут(к) — соответственно функции Бесселя и Неймана целого порядка т, который определяет число осцилляции звуково го поля по азимуту, искомая постоянная xmn, вычисленная из вы ражения (4.24), определяет число осцилляций по радиусу; Атп — произвольная постоянная, характеризующая звуковое поле в на чальном сечении канала, а постоянная Втп определяется из гра ничных условий и равна нулю в случае цилиндрического канала.
Решение (4.25) с фиксированным числом т называется азиму тальной модой m-го порядка. Различным значениям п будут соот ветствовать различные радиальные моды.
Из уравнения (4.24) запишем выражение для постоянной рас пространения
4 . . , _ - » м + |
(4.26) |
Знак действительной части корня в этой формуле определяет направление распространения волны (потока энергии), а через мнимую часть выражается затухание
д /,= 8 ,6 8 \m kz.. |
(4.27) |
Знак корня в формуле (4.26) можно выбрать так, чтобы зату хание всегда было положительным, т. е. волна затухала в направ лении положительной оси z. Одинаковые знаки числа М и действи тельной части корня соответствуют распространению волны по по току, противоположные — против потока.
Решение (4.25) описывает как стоячие, так и бегущие волны. В каждой конкретной ситуации вид волны определяется условия ми возбуждения, т. е. источником звука. В общем случае, если источник вращается с некоторой угловой скоростью, то в цилинд рическом канале существует вращающаяся мода, которая бежит по спирали
|
ехр {/ (kz z -j- /мер — со/)}. |
(4.28) |
||
Поверхность равной фазы этой волны определяется |
выраже |
|||
нием |
|
|
|
|
|
kz-f- ту —u>t=const. |
(4. 29) |
||
Из выражения |
(4.26) следует, что для тех мод, |
у которых |
||
%тп<С A/j/^l — М2, значения k[mn) будут |
действительными, |
и эти мо |
||
ды называются распространяющимися |
или нормальными. |
Для |
||
остальных мод |
становится мнимым, и эти моды называются |
|||
нераспространяющимися или неоднородными. Таким образом, |
на |
каждой конкретной частоте существует определенное ограниченное число распространяющихся мод.
Для решения уравнения (4.21) воспользуемся граничными ус ловиями. Их можно задавать в виде линейной связи между давле нием р и нормальным компонентом акустической скорости, как это обычно делается в классической акустике, путем задания импедан
са стенки |
|
Z = p lv H. |
(4.30) |
Часто пользуются величиной, обратной Z, называемой адмитансом или проводимостью, которая в безразмерном виде определяет ся следующим образом:
$ = QC/Z. |
(4.31) |
Будем предполагать, что физические свойства стенки таковы, что давление и нормальная скорость связаны локально. Усложне ние при формулировке граничных условий по сравнению с обыч
ным случаем [14] связано с наличием потока около стенки. В этом случае необходимо использовать условие непрерывности давления и нормальной компоненты суммарной скорости среды на границе раздела (а не только одной акустической скорости).
Итак, под действием падающей волны граница стенки канала ис пытывает слабое возмущение, смещение границы может быть пред ставлено в виде
Л = ‘По exp {i(kzz —is>t)}. |
(4.32) |
Призводная dr\/dt будет определять скорость изменения коор динаты т] при заданном г, т. е. местную скорость перемещения по верхности
drj
—ШГ[. (4.33)
dt
Это выражение будет также определять нормальную компоненту акустической скорости. Следовательно, выражение для импеданса будет иметь вид
Z = — p /i сот|. |
(4.34) |
Нормальная компонента суммарной скорости среды на границе раздела будет
v = - ^ - = ^ - + U0 |
<Эт] |
{kzU0— ш). |
(4.35) |
|
— |
||||
dt |
dt 1 0 |
дг |
п г 0 ' |
|
Подставив это выражение в линеаризованное уравнение дви жения
dv |
, ц |
dv __ |
1 |
dQ |
dt |
0 |
dz |
Q0 |
dr |
получим |
|
|
|
|
(kt u 0- » r r \ = - L |
(4.36) |
|||
|
|
|
eo |
dr |
Воспользовавшись выражением для т] из уравнения (4.34) и подставив его в уравнение (4.36), получим с учетом (4.31) гранич ное условие на внешней стенке канала (г=а)
(4.37)
В случае кольцевого канала добавляется граничное условие на внутренней стенке (г=Ь)
(4.38)
Подставив (4.22) и (4.25) в граничное условие (4.37) и исполь зуя для цилиндрического канала условие В тп = 0, получим харак теристическое уравнение для определения собственных значений
Хтп•
U«(C) + ^ « ( C ) = 0 |
(4.39) |
или |
(ОТ+рО )У т (с)-(;Ут+1(с)=о, |
(4.39'^ |
где |
|
(4.40) |
|
|
(4.41) |
В общем случае для кольцевого канала необходимо подставить (4.22) и (4.25) в граничные условия (4.37) и (4.38) и из получен ных таким образом двух уравнений исключить постоянную Втп. В результате .получим характеристическое уравнение в виде
От (О + |
ра/щ К ) |
От (QO- ? G J m(QO |
(4.42) |
|
crm( 0 + |
?GYm{0 |
t r m(QO- №Ym(QO |
||
|
где Q= b/a — отношение внутреннего радиуса канала к внешнему, Q,< 1.
Используя формулы дифференцирования для цилиндрических функций, уравнение (4.42) для кольцевого канала можно перепи сать следующим образом:
+ |
( t ) - t J . - n ( t ) |
( о |
? 0 ) , « № > |
^ (4 , 4 2 -) |
(т-М О Г » (()-{ > '„ , (С) |
^ _ |
po)) '.(Q l:) - c l'.+1(« ) |
|
Уравнения (4.39) и (4.42) совместно с (4.26) и (4.40) являются трансцендентными уравнениями, решения которых полностью опре деляют нормальные моды цилиндрического и кольцевого каналов. В общем случае аналитических решений указанных уравнений не имеется, решения могут быть получены только численным методом с помощью ЭВМ. Полученные выражения существенно упрощают ся для плоского канала. Для такого канала высотой а, у которого одна стенка жесткая, а другая имеет адмитанс р (рис. 4.2), полу чим волновое уравнение
J L . ( J - + U 0 - ± - ) 2p = J ^ + ^ P - |
(4.43) |
|||
с2 \ d t ' |
д г ) |
д г2 |
ду2 |
|
и граничное условие |
|
|
|
|
|
|
|
о- |
|
При этом, как и ранее, |
решение |
У1 |
|
|
ищем в виде |
|
|
|
Р=р{У) ехр {г (kz z — (о/)}.
Подставив это выражение |
а |
"о |
в (4.43), |
|
|
получим |
^777777777777777777777777777777777777777Г^ |
|
|
||
- ^ + * 2^ = 0 . |
Рис. 4.2. Схема плоского кана |
|
|
|
ла |
Решение этого уравнения будет |
|
р = А п cos (х„ |
|
Из граничных условий будем иметь |
|
*nat«*na = |
(4.44) |
|
Получим аналитические решения для распространения звука в ка налах для двух предельных случаев: когда величина, |pG| мала и когда |pG| велика.
Величину G> в соответствии с формулами (4.40) и |
(4.26) запи |
|
шем в следующем виде:. |
|
|
С2 |
|
|
- М | / 1- ( k a ) 2 |
(1 —М2) |
(4.45) |
G = —ika |
|
|
1 —М2 |
|
|
Плоский канал |
|
|
Рассмотрим случай |pG |<cl, который, |
как будет |
видно из |
дальнейшего, соответстует распространению звука в канале с |
ква- |
|
зижесткими стенками или с другими стенками, но для случая |
рас |
|
пространения достаточно низких частот. Ограничившись |
первым |
|
членом разложения уравнения (4.44), получим для низшей |
моды |
|
1 _ М - ^ ) 2. |
(4.46) |
Подставив (4.46) в выражение (4.26) для 'постоянной распрост ранения, которое в данном случае охватывает только моды по вы соте канала, будем иметь
k<о)= |
(4.47) |
Ограничившись тремя членами разложения, получим выражение для определения затухания звука в дБ на длине канала, рав ной 2 а:
AZ,= |
Rep |
|
1 |
8 , 6 8 |
|
2 |
|
|
Imp |
|
|
|
Im p |
M 2 ( R e p ) 2 |
|
|
k a |
~~ka |
|
(4.48)
В этом выражении верхний знак соответствует распространению звука по направлению /потока, нижний — против. В отсутствие по-
Рис. 4.3. Зависимость зату хания звука в канале от скорости воздушного пото ка (2а=240 мм; М = —0,5 означает распространение
звука против потока)
100 |
Z00 |
500 |
1000 |
2000 |
5000 |
f, Гц. |
тока формула (4.48) переходит в выражение, полученное Малюжинцем для случая распространения волны низкой частоты [28]:
Д£ 0 = 8 ,6 8 - |
—Re? — = 8 ,6 8 Re p i / - |
. |
(4.49) |
I |
V |
k a -M V |
|
V |
ka |
|
|
Из уравнения (4.48) видно, что для низких частот в случае рас пространения звука по потоку затухание уменьшается, а в случае распространения против потока увеличивается по сравнению с за туханием без потока (рис. 4.3). Условия применимости формулы (4.48) следуют из разложения tg ка в выражении (4.44), откуда имеем
|Jto P |< £ 3 |(l± М V 1+/Р/&г)21-
В случае |pG |^>l, что соответствует распространению звука в канале с мягкими стенками или с любыми стенками, но для до статочно больших частот распространяющегося звука имеем
М ^ 8 ,6 8 (2 п + 1)2 Re (1 ± М)*. (4. 50)
В отсутствие потока эта формула переходит в известное выра жение [45], полученное для случая высоких частот при условии, что рассматриваемая частота находится далеко от критической для данной моды, когда выполняется условие
£ а » - |- ( 2 /г + 1 ),
где /г = 0 , 1, 2 ,
Анализ формулы (4.50) показывает, что для высоких частот при распространении звуковой волны по потоку затухания больше, а при распространении против потока меньше, чем в отсутствие по тока (см. рис. 4.3).
Цилиндрический канал
IP о.1 « 1 .
Если р= 0, то корни X уравнения (4.39) совпадают с корнями производной функции Бесселя Jm'{Xo)— 0 . Если параметр pG мал, но конечен, то, очевидно, что корни уравнения нужно искать в виде
C=Co+POCi. (4.51)
В этом случае первый член в левой части уравнения (4.39) можно представить в виде
|
а'ш (С)= СоJm (Со) - Со ^1- |
(Со) Р О Cl- |
(4. 52) |
Тогда из |
(4.39 )и (4.52) в первом приближении следует |
|
|
|
С = С о + Р О |
|
(4. 53) |
Возведем |
(4.53) в квадрат и, отбрасывая квадратичные по pG чле |
||
ны, получим |
|
|
|
|
С2 = С0Ч 2 р О ^ 1 -- ^ - |~ Л |
|
(4.54) |
Из уравнений (4.45) и (4.54) получим квадратное уравнение от носительно £2 вида
|
Л2С4 -2 £ С 2 + С = 0 , |
(4.55) |
где |
А = у Е — 2/р М2 —— • |
(4.56) |
|
ka |
|
В = у Е х \А — Щ Ы Е (1 + М2)+ 4Р2 М2; |
(4.57) |
|
С = |
(у Е С2-f 2/ р ka\2- 8 i р ka]2E(.2, |
(4.58) |
|
у = 1 — М2; |
(4.59) |
|
E = l - m 2/(2. |
(4.60) |
Интересующее нас решение уравнения (4.55) имеет вид
<!=4-{в+4^“£М/ 1- ^ + 2iP l 5 r [ 1+ M!('^n!'
(4.61)
Легко показать, что формула (4.61), определяющая корни ха рактеристического уравнения для канала с однородным потоком, справедлива для кольцевого, а также для плоского каналов. В слу чае кольцевого канала корни характеристического уравнения (4.42) определяются формулами (4.57) и (4.61) с той лишь разни-