Аэродинамические источники шума

Предполагая, что выполняется также условие

|R ePK |A a — Imp|, для величины затухания из (4.67) будем иметь

что совпадает с выражением' (4.49).

Возвратимся к цилиндрическому каналу и рассмотрим случай, когда частота звука намного превышает критическую, т. е. выпол­

нено условие £2 (^>*LI (1 — М2)в уравнении (4.26), что соответствует

~0 (1 + М)2£

Условие |pG| C l в данном случае означает

Затухание отдельной моды, выраженное в дБ на калибр длиной 2а, определяется через мнимую часть kz согласно формуле

Если подставить выражение (4.70) и в соответствии с условием (4.69) разложить корень в формуле (4.72), сохраняя члены, про­ порциональные р, то будем иметь

где Со" —корень функции J'm{С0).

Из этого выражения следует, что затухание против потока больше затухания по потоку в отношении

Если частота близка к критической, т. е.

Затухание вблизи критической частоты может быть записано сле­ дующим образом:

Оно по порядку величины значительно превышает затухание, соответствующее частотам выше критической, и не зависит от на­ правления распространения звуковой волны по отношению к воз­ душному потоку

iPQ|»i*

Если попытаться в этом случае применить процедуру, подоб­ ную формулам (4.51) (4.54), то в результате получим алгебраи­ ческое уравнение относительно Z? более высокой ступени, которое не решается в радикалах, и поэтому поступим иначе.

Если импеданс равен нулю, т. е. р->оо, то корни уравнения

(4.39) совпадают с корнями функции Бесселя У(^ш)= 0. Когда параметр pG велик, естественно искать корни в виде

рСг

С учетом только старшего члена разложения для затухания от­ дельной моды из формулы (4.86) получаем

Вблизи критической частоты, как и ранее, затухание не зависит от направления распространения звуковых волн и воздушного потока.

Полученные аналитические формулы для корней характеристи­ ческого уравнения и затухания могут быть использованы для оцен­ ки величин затухания, а также для получения исходного прибли­ жения при численном решении соответствующих характеристичес­ ких, уравнений. В случае произвольного импеданса задача опреде­ ления корней уравнений должна решаться численными методами с использованием ЭВМ.

4.3.РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В КАНАЛЕ

СПОТОКОМ ПРИ НАЛИЧИИ ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ НА СТЕНКЕ

При движении воздуха в канале на его стенках образуется по­ граничный слой. Наличие пограничного слоя оказывает влияние на распространение и затухание звука, поскольку фронт звуковой вол­ ны может искажаться в пограничном слое. Для простоты рассмот­ рим направленный вдоль оси z плоский канал высотой а, у которо­ го одна стенка жесткая, а другая имеет импеданс Z и на ней су­ ществует пограничный слой с постоянной толщиной б (см. рис. 4.2). Поток является однородным по сечению канала и спадает по ли­ нейному закону до нуля на стенке при у = О, т. е.

Уравнение, описывающее распространение звука в плоском ка­

Приравнивая (4.104) и (4.105), получим

a a' tg a a '= — ika' р

где а' = а — Ъ.

Получено точное дисперсионное уравнение для определения ха­ рактеристических чисел или нормальных мод плоского канала с по­ током, справедливое при любой толщине пограничного слоя. В об­ щем случае решение уравнения (4.106) возможно только численны­ ми методами. Ввиду трудности решения этого уравнения в общем виде воспользуемся приближенным анализом. Считаем, что толщи­ на пограничного слоя много меньше длины волны. Вследствие ма­ лости толщины пограничного слоя, разложим в ряд вырожденную гипергеометрическую функцию, тогда с точностью до членов по­ рядка а получим

Л?2 (5)= 1 + a 2S2^ 1 . Подставляя эти выражения в (4.104), будем иметь

( ' - М о ^ г Ь - щ р - м ^ - А )

1 -? о Ш ^ 1 -М о -^ + М0 — )

Как и следовало ожидать^ адмитанс зависит от угла падения зву­ ковой волны. Действительно, если ф — угол падения звуковой вол­ ны между направлением распространения и нормалью к поверх­ ности, то выражение (4.107) примет вид

что соответствует формуле для проводимости слоя малой толщины с нагрузкой р0.

Рассмотрим частный случай — распространение нулевой моды низкой частоты, для которой можно получить аналитическое реше­ ние. Если |Aa|3|<Cl, то* в знаменателе в правой части формулы (4.107) вторым членом, малым по сравнению с единицей, можно пренебречь. В результате уравнение (4.106) примет вид.

менее затухающей, они перестают давать вклад в суммарное зату­ хание. В подобной ситуации увеличить суммарное затухание звука в канале возможно путем увеличения затухания наименее затухаю­ щей моды, подбирая подходящий для этого импеданс стенок кана­ ла, т. е. оптимизируя импеданс по этой моде.

Иное положение в случае короткого канала, где большое число мод дает вклад в суммарное затухание. Оно определяется модой, которая наиболее сильно возбуждена, причем она не обязательно совпадает с наименее затухающей модой. Увеличение затухания наиболее возбуждаемой моды есть способ увеличения суммарного затухания звуковой мощности в коротком канале. Под коротким каналом следует подразумевать канал такой длины, при котором амплитуды наименее затухающей и наиболее возбуждаемой мод соизмеримы. Таким образом, увеличение затухания в коротком ка­ нале возможно путем оптимизации импеданса по наиболее возбуж­ даемым модам. Эти качественные соображения, естественно, не учитывают концевые эффекты, а также характеристики направлен­ ности излучения из открытого конца канала.

Исследования показывают, что имеются такие значения импе­ данса, при которых образуется так называемые двойные моды. Они получаются из слияния двух простых мод, когда импеданс прини­ мает соответствующее оптимальное значение. При этом затухание двойной моды всегда больше, чем затухание менее ослабляемой из двух простых мод, которые могут образовать двойную моду.

В цилиндрическом и кольцевом каналах моды различаются ази­ мутальными и радиальными числами, причем при фиксированном азимутальном числе т могут быть слиты любые две соседние ра­ диальные моды (п, п+ 1). Это могут быть как наименее ослабляе­ мая, так и наиболее возбуждаемая моды. Таким образом, под оп­ тимизацией понимаем слияние мод, т. е. образование двойных или даже тройных мод, которое происходит при определенных дискрет­

ных значениях импеданса Z„pf, называемых оптимальными.

Есть все основания предполагать, что выбор оптимальных зна­ чений импеданса является предпочтительным с точки зрения полу­ чения максимального снижения шума. Однако определенный выбор

венно зависит от распределения акустической энергии по модам и определяется условиями возбуждения, т. е. источником. Этот во­ прос должен решаться на основе анализа суммарного затухания, характеристик направленности излучения, а также от выбора им­ педанса из множества оптимальных.

4.4.1. Двойные моды

Характеристическое уравнение для определения постоянной распространения звуковых волн в каналах имеет вид