Аэродинамические источники шума

вой степени, не исчезают. Поскольку эти члены содержат также градиенты средних скоростей, которые могут быть с помощью уравнения неразрывности связаны с акустическим и тепловым ти­ пами движения, то для таких потоков проблема разделения чле­ нов, характеризующих генерацию и распространение звука, оста­ ется нерешенной.

Таким образом, при использованных упрощениях структуры турбулентного потока уравнения (2.17) и (2.18) сводятся практи­ чески к уравнению следующего вида:

£>3д'

где L{x, t) — нелинейная функция пульсационных скоростей. Если считать поле пульсационных скоростей известным, то

уравнение (2.19) представляет собой неоднородное конвективное уравнение относительно пульсаций давления, вызываемых полем турбулентности. Это уравнение есть наиболее часто используемый вариант уравнения Лилли, который в практических приложениях обычно еще более упрощается.

Уравнение (2.19) фактически представляет собой результат пре­ образования уравнения Филлипса (2.12) или (2.15). Вместе с тем тот факт, что уравнение (2.19) существенно усовершенствует пос­ тановку задачи шума турбулентного потока по сравнению с урав­ нениями (2.12, 2.15) требует еще дополнительной дискуссии. Это связано с тем, что нет еще ясности относительно четкого разделе­ ния членов, описывающих генерацию и распространение звука. Роль члена «сдвиговой рефракции» выражается согласно введен­ ному предположению в совокупном проявлении эффектов распро­ странения и усиления звука. Однако в настоящее время роль этого члена еще окончательно не проанализирована, ни в математичес­ ком плане, ни с точки зрения выяснения физической сущности. По­ этому, возможно, в ряде случаев при анализе шума турбулентного потока целесообразнее использовать уравнение (2.15).

Подчеркнем еще раз, что уравнения (2.19) и (2.15) применимы к задаче определения акустических возмущений от турбулентного потока в предположении, что функция L(x, t), характеризующая поле пульсационных скоростей, известна, а эффекты нелинейного взаимодействия не рассматриваются. Поэтому проблемы, возни­ кающие при анализе уравнений (2.19) и (2.15) и связанные, в ча­ стности, с определением структуры турбулентности в зоне смеше­ ния струи, такие же, как и при анализе уравнения Лайтхилла.

В общем виде аналитическое представление нелинейной функ­

теории Лайтхилла, функцией L(x, t) вызывает еще дополнительные трудности в связи с тем, что физическая интерпретация отдель­ ных членов последней функции далеко не очевидна. Вместе с тем формулировка общей проблемы шума турбулентного потока в виде

неоднородного волнового конвективного уравнения имеет и опре­ деленное преимущество по сравнению с акустической аналогией Лайтхилла, состоящее в выделении эффектов взаимодействия зву­ ка и потока. Так, существенной особенностью постановки задачи в< форме уравнения (2.19) является то, что влияние среднего потока на генерацию и распространение звука полностью включено в ле­ вую часть.

Трудность практического использования уравнения Лилли за­ ключается в том, что попытки решить его даже для упрощенных моделей потока приводят к сложным выражениям, теряющим в от­ личие от решения уравнения Лайтхилла математическую простоту. Найти решение конвективного уравнения в аналитической форме для общего случая пока не удается, и поэтому на практике прихо­ дится использовать численные методы. В настоящее (время разви­ тие приближенных методов решения этого уравнения базируется в> основном на интуитивном выделении наиболее важных с акустиче­ ской точки зрения членов уравнения. Идеализация турбулентных: потоков осуществляется также с целью избежать преобладания сложных численных приближений и выделить физическую сущ­ ность решения в применении к турбулентной струе.

Часто используемые в последнее время приближения основаны, на представлении источников шума турбулентного потока в виде конвектируемых гармонически осциллирующих излучателей. Полу­ ченные результаты обычно выражаются в том, что интенсивность излучения в каком-либо направлении по-разному затухает при удалении от струи и определяется частотой и скоростью потока. Решения уравнения (2.19) получены лишь для упрощенных моде­ лей струйных течений и ряда частных случаев, например, специ­ ального профиля скоростей турбулентного потока, случая высоко­ частотных или низкочастотных составляющих шума.

Наиболее существенная попытка решения неоднородного кон­ вективного уравнения была предпринята в работе [86], где оценка* пространственного распределения шума струи проведена для ши­ рокого диапазона частот и дозвуковых скоростей истечения. Основ­ ные использованные допущения заключаются в том, что турбулент­ ный поток считается однородным, а источники шума принимаются компактными гармоническими излучателями, конвектируемыми с постоянной скоростью относительно окружающей среды. Вследст­ вие такого приближения в обеих частях уравнения исчезают членьц учитывающие изменение среднего потока в направлении, перпен­ дикулярном направлению истечения.

Приведенные результаты оценки шума турбулентной струи в широком диапазоне дозвуковых скоростей истечения обнаружива­ ют хорошее соответствие с данными экспериментальных исследо­ ваний, а также с предсказаниями, основанными на теории Лайт­ хилла. Расхождение результатов расчета и эксперимента наблюда­ ется в области околозвуковых скоростей истечения и области вы­ соких частот в направлениях, составляющих небольшой острый угол с направлением истечения струи, т. е. именно в той области*

где в наибольшей степени должен проявляться эффект рефракции звука полем средних скоростей потока. Отмеченные результаты сравнения свидетельствуют, по-видимому, о том, что при некоторых обстоятельствах введенные приближения соответствуют условиям генерирования и распространения звука в струе, а при других об­ стоятельствах они несколько искажают реальный физический про­ цесс.

Несмотря на то, что при анализе неоднородного конвективного волнового уравнения возникают сложности математического ха­ рактера и, кроме того, неопределенности относительно физического соответствия членов левой и правой частей, это уравнение, очевид­ но, должно иметь более общую применимость по сравнению с урав­ нением Лайтхилла. Однако, поскольку решение конвективного уравнения в общем виде пока получить не удалось, его практичес­ кое использование весьма ограничено. Поэтому должны быть пред­ приняты еще значительные усилия по развитию методов решения конвективного уравнения в применении к реальным практическим задачам. В то же время акустическая аналогия Лайтхилла в мень­ шей мере испытывает трудности такого рода и в настоящее время является теоретической основой для предсказания шума турбулент­ ных струй, обнаруживая для широкого круга практических задач соответствие с данными экспериментальных исследований. Так, в последние годы успешно был решен ряд задач, касающихся шума дозвуковых изотермических струйных течений и оценки эффектив­ ных методов его снижения, исходя из акустической аналогии, усо­ вершенствованной с учетом влияния движущейся среды на харак­ тер излучения звука.

2.1.3.Учет влияния средней Скорости потока

вакустической аналогии Лайтхилла

Обратимся к основному уравнению теории Лайтхилла (2.3) и рассмотрим более подробно правую часть уравнения. Если мгно­ венную скорость щ разложить на среднюю скорость U\ и пульсационную составляющую и/, то тензор напряжений QUiUj будет иметь вид суммы произведений плотности, средних и пульсационных ско­ ростей

Видно, что только три первых слагаемых могут представлять составляющие шума турбулентного потока, поскольку содержат из­ меняющиеся во времени пульсационные скорости. Осуществим по­ членное дифференцирование составляющих тензора по пространст­ венным координатам.

Обратимся вначале ко второму члену выражения (2.20)

Принимая во внимание уравнение неразрывности

и представляя пульсационную скорость в виде щ' = щ—t/,, получа­ ем

Последние четыре члена являются комбинациями из произведе­ ний средних скоростей, плотности и их производных. Следователь­ но, они относятся к процессу распространения звука, а не его из-

ция A ( Q , и / , Ui) объединяет члены, характеризующие взаимодей­ ствие звука и турбулентного потока, включая эффекты рассеяния звука турбулентностью.

Схематично уравнение (2.26) может быть представлено следую­ щим образом:

Из анализа правой части уравнений (2.26) или (2.27) следует, что образование -шума в турбулентном потоке определяется слу­ чайными пульсациями количества движения; механизм генерации звука включает два типа взаимодействий: турбулентность_турбу­ лентность, градиент средней скорости — турбулентность; процесс распространения звука определяется характеристиками турбулент­ ного потока, содержащего источники звука.

Эти основные аспекты проблемы выражают и основные слож­ ности решения неоднородного волнового уравнения, часть которых нуждается еще в теоретической разработке. Например, в принциперасчет шума турбулентного потока с учетом рефракции может бытьосуществлен при помощи переноса в левую часть членов правой части, представляющих конвекцию звука полем средних скоростей. Однако это существенно усложняет решение задачи для реальных струйных течений и затрудняет, в частности, получение конечных расчетных соотношений для определения характеристик звуковогополя. Поэтому при оценке шума турбулентных струй приходится использовать различного рода упрощения. Так, в уравнении (2.26) обычно не учитываются члены, описывающие взаимодействие зву­ ка с потоком, т. е. эффекты рефракции и рассеяния звука не рас­ сматриваются. На самом же деле звуковые волны распространяют­ ся через зону смешения без какого-либо воздействия со стороны турбулентного потока при определенных акустических условиях. Эффект рефракции определяется соотношением между длиной зву­ ковой волны и толщиной области смешения со значительным гра­ диентом средней скорости. С увеличением частоты искажение зву­ ковых волн в результате действия эффекта рефракции возрастает. Пренебрежение эффектом рассеяния звука в случае дозвукового, потока в наибольшей степени оправдано для длин волн, сравнимых или превышающих размеры турбулентных вихрей в зоне смешения, т. е. для низкочастотных составляющих .шума. Следовательно, ис­ пользование допущения о пренебрежении эффектами взаимодейст­ вия звуковых волн и турбулентного потока подразумевает введе­ ние низкочастотного приближения, в^различной степени оправды­ вающегося для различных типов струйных течений.

С учетом принятых допущений правая часть уравнения описы­ вает только источники шума турбулентного потока, а левая часть характеризует распространение звука в невозмущенной среде, ок­ ружающей поток. При практических оценках шума турбулентных струй обычно используется следующая модель волнового уравне­ ния [19, 97]:

где члены А и Б представляют типы взаимодействий турбулент­ ность — турбулентность и сдвиг — турбулентность или источники «собственного» и «сдвигового» шума соответственно.

Отметим, что в общем виде для более точной оценки источников шума следует рассматривать также разложение плотности среды на среднюю Q C и пульсационную Q' составляющие, т. е. Q = Q C + QC Однако можно показать, что для оценки шума турбулентных дозву­ ковых потоков можно ограничиться только рассмотрением состав­ ляющих тензора 7\j, содержащих среднюю .плотность.

Получим связь между флуктуациями плотности и давления из

Пульсации давления в турбулентном потоке связаны с пульса­ циями скорости соотношением

р' = kQUur,

где k<\.

Из сравнения приведенных соотношений для рг получаем, что пульсации плотности для случая дозвукового потока связаны с пульсациями скорости следующим образом:

потока можно принять, что относительные пульсации плотности ма­ лы по сравнению с относительными пульсациями скорости, и, на­

небречь и учитывать только составляющие тензора, содержащие среднюю плотность.

Справедливость этого предположения является вполне обосно­ ванной для изотермических турбулентных потоков, в частности для дозвуковых струй; однако в случае неизотермических потоков, на­ пример, сильно нагретых струй, оно, вероятно, не может быть при­ нято.

2.1.4. Сравнение различных постановок проблемы шума турбулентной струи

Проведем сравнение постановок проблемы шума турбулентной струи, основанных на акустической аналогии Лайтхилла (2.28) и конвективном волновом уравнении. Поскольку уравнение (2.19) яв­ ляется результатом формального преобразования уравнения (2.15), то при сравнении в качестве конвективного волнового уравнения используем уравнение (2.15). Без учета членов бол’ее высокого по­ рядка малости это уравнение схематично и формально можно пред­ ставить в следующем виде [97]:

где члены А и Б отражают те же типы взаимодействий, что и в уравнении (2.28). Используемые в практических приложениях мо­

мещения из левой в правую часть члена Б, отражающего взаимо­ действие типа сдвиг — турбулентность, и преобразования опера­ тора D2/Dt2 в d2/dt2.

Основное отличие конвективного волнового уравнения от урав­ нения Лайтхилла заключается в способности учитывать рефрак­ цию звуковых волн полем средних скоростей турбулентного пото­ ка. Другое существенное отличие, состоящее в перемещении из

.правой части уравнения в левую часть члена Б, означает также и изменение его физического соответствия. Так, если в уравнении (2.28) или (2.27) член Б выражает «сдвиговый» шум турбулентных пульсаций скорости, то в модели конвективного волнового уравне­ ния (2.30) или (2.29), как показывают результаты расчетов, осно­ ванных на упрощенных моделях турбулентного потока, этот член характеризует процесс распространения — усиления звука и учи­ тывает влияние условий локального окружения источников на рас­ пространение и излучение звука.

Еще одно различие, связанное с постановкой общей проблемы, состоит в том, что если член Б находится в правой части уравне­ ния и характеризует источник звука, то он, так же как и член Л, считается известным и должен быть смоделирован в соответствии с условиями решения задачи для конкретного случая турбулентно­ го потока. С другой стороны, если этот член находится в левой части уравнения и характеризует рассчитываемый процесс распро­ странения звука, то он также должен уже относиться к процедуре вычисления звукового поля, образуемого известным смоделирован­ ным членом правой части А.

Вместе с тем волновое уравнение (2.28) и конвективное волно­ вое уравнение (2.30) являются не просто теоретическими моделя­ ми описания звукового поля турбулентного потока. Эти уравнения, являющиеся результатом комбинаций уравнений движения жидко­ сти, наряду с акустическими свойствами описывают также общую динамику движения турбулентного потока. Поэтому, если структу­ ра турбулентного потока смоделирована правильно и динамика движения потока удовлетворяется, то и член Б будет взаимно сов­ местным с членом А вне зависимости от того, в какой части урав­ нения он находится. Практически дискуссия о том, какова роль члена Б в формировании звукового поля турбулентной струи, сво­ дится к определению его влияния лишь при малых углах к оси, т. е. в пределах так называемой зоны рефракции.

Вследствие отмеченных различий оценки шума упрощенных мо­ делей турбулентной струи, основанные на решении уравнения (2.30), предсказывают пониженную интенсивность излучения звука при малых углах к оси по сравнению с оценками, основанными на решении уравнения (2.28). Вне зоны рефракции предсказания акустических характеристик, следующие из решений этих уравне­ ний, идентичны. Если пртнять, что ррль члена Б в обоих уравне­ ниях одинакова, то различие результатов оценки шума в зоне ре­ фракции обусловливается различием временных производных в не­ подвижной и движущейся системах координат. Тот результат, что эффект рефракции не должен проявляться при больших углах к оси струи, соответствует и экспериментальным данным по изуче­ нию влияния турбулентного потока на распространение звуковых волн от искусственного источника звука, помещенного в струю.

Подчеркнем еще раз, что, поскольку оба уравнения основаны на одних и тех же общих уравнениях движения жидкости, то, следо­

тивное волновое уравнение (2.30) после перемещения из правой ча­ сти в левую часть уравнения членов, отражающих взаимодействие типа сдвиг — турбулентность^ и звук — турбулентный поток, и проведения ряда математических преобразований.

Кроме того, математические модели определения звукового по­ ля турбулентного потока в виде волнового уравнения (2.28) и кон­ вективного волнового уравнения подобны между собой: распреде­ ление пульсаций давления вдали от потока определяется исходя из

поля турбулентных пульсаций скорости, которое считается извест­ ным. Разница состоит в том, что в постановке задачи, основанной на конвективном волновом уравнении, предпринята попытка сфор­ мулировать проблему на основе акустики движущейся среды. Но, как уже отмечалось, постановка задачи в виде акустической анало­ гии Лайтхилла также может быть сведена к такой же форме при подробном анализе правой части волнового уравнения.

Таким образом, наряду с явными отличиями, уравнение (2.28) содержит много общего с конвективным волновым уравнением (2.30) в постановке проблемы аэродинамического шума, что выра­ жается в существовании совпадающих при определенных условиях результатов оценки шума турбулентного потока. Однако, помимо того, что существует неопределенность в выделении членов конвек­ тивного волнового уравнения, характеризующих излучение и рас­ пространение звука, решение этого уравнения чрезвычайно сложное даже в предположении наличия только простых акустических из­ лучателей. В то же время решение волнового уравнения (2.28) мо­ жет быть доведено до получения расчетных зависимостей для рас­ пределения интенсивности акустического излучения в реальных "струйных течениях. Учет эффекта рефракции звука полем средних скоростей потока может быть осуществлен посредством обобщения результатов экспериментальных исследований звукового поля тур­ булентных струй и получения различных обобщенных характерис­ тик шума.

Поэтому далее рассматривается развитый для турбулентных струй метод расчета звукового поля, основанный на решении вол­ нового уравнения Лайтхилла и использовании данных о турбулент­ ности в зоне смешения [19, 31, 34, 96]. Когда решение конвектив­ ного волнового уравнения будет развито для реальных струйных течений, то появится возможность провести более тщательный ана­ лиз взаимосвязи характеристик звукового поля и структуры тур­ булентного потока.

2.2.ШУМ ТУРБУЛЕНТНОЙ СТРУИ

2.2.1.Решение неоднородного волнового уравнения

Следуя принятому Лайтхиллрм упрощению, далее рассматрива­ ется излучение звука без учета его преломления при распростране­ нии в турбулентном потоке, т. е. считается, что перемещающиеся с различной скоростью источники излучают звук в неподвижную сре­ ду. Имея также в виду использованные допущения относительно эффектов рассеяния звука вследствие теплопроводности, вязкости, турбулентных возмущений неоднородное волновое уравнение (2.28) можно представить в виде