Механика композитных материалов 6 1980

испытания ПБО на ползучесть, охватывающие области линейной и не­ линейной вязкоупругости. Обратим внимание на то, что и в случае пол­ зучести для ПБО линейность вязкоупругого поведения соблюдается в интервале температур от 22 до 175° С, о чем свидетельствует укладыва­ ние кривых податливости в узкий пучок, с разбросом, не превышающим 5%L Для описания процессов ползучести также применялось интеграль­ ное уравнение Больцмана— Вольтерры с использованием ядра Колтунова [ 10]:

где Г (а) — гамма-функция Эйлера; А, а, р — параметры материала. Параметры ядра ползучести были определены методом логарифмиче­ ских совмещений. При сопоставлении ядра релаксации напряжения и резольвенты (ядра ползучести) установлено полное соответствие пара­ метров материала А, а и р (см. табл. 2). Таким образом, для ПБО пока­ зана возможность реализации уравнения (4), т. е. взаимного перехода от одного вида испытания (ползучести) к другому (релаксации напря­

жения), и наоборот, в области линейной вязкоупругости.

В случае нелинейной вязкоупругости ПБО (в интервале повышен­ ных температур 175—230° С) для аппроксимации процесса релаксации напряжения использована главная кубичная теория Ильюшина [11]:

Для определения функций влияния Т\{т) и ГгОг), входящих в уравне­ ние (6), также был использован метод логарифмических совмещений Колтунова [10]. Однако отметим, что решение уравнения (6) методом совмещений намного сложнее, чем решение уравнения линейной вязко­ упругости. Сложность в решении задачи заключается в расчете вели-

УДК 539.36.001:678.067

Ю. Г. Мелбардис, А. Ф. Крегерс

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕКОТОРЫХ ВИДОВ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Известно, что любую нелинейную форму связи между компонентами тензоров напряжений и деформаций для упругой среды можно разло­ жить в виде бесконечного полиномиального ряда [1, 2]:

( £ , / , . . . = 1 , 2 , 3 ) .

Для практических целей часто ограничиваются первым линейным чле­ ном этого разложения (закон Гука). В действительности линейную за­ висимость между компонентами тензоров Gij и ец для полимеров и композитов на их основе можно принять для достаточно малых значе­

ний деформации.

Для многих армированных материалов физическая нелинейность наблюдается уже при малых, по сравнению с разрушающими, напряже­ ниях, особенно при нагружении материала не вдоль направлений арми­ рования. Исследование материалов в области нелинейности вызвано также необходимостью в более полной мере использовать жесткостные и прочностные ресурсы конструкционных материалов. С подобными проб­ лемами мы встречаемся при решении различных задач оптимизации.

Первым шагом в изучении деформативных свойств материала в об­ ласти нелинейности является выбор расчетной модели материала и вы­ явление необходимых механических испытаний для определения чис­ ленных значений параметров выбранной модели. Поэтому остановимся на расчетной модели нелинейно-упругого материала (1) в предположе­ нии существования упругого потенциала W и рассмотрим некоторые во­

просы определения параметров изотропного, трансверсально-изотроп­ ного (монотропного) и ортотропного материалов. Для этой цели в раз­ ложении (1) сохраним толькотри первых члена. Согласно понятию

упругого потенциала [3] тензор малых деформаций определяется зависи­ мостью

71 = 1

где п степень нелинейности (здесь п= 1,2,3); Wn — отдельные члены упругого потенциала W, отвечающие за линейные, квадратичные и ку­ бические по напряжениям члены ряда (1).

Для каждого класса материалов упругий потенциал является функ­ цией своих аргументов [3]. В частности, для изотропного материала

ются как полиномы (л+1)-й степени по напряжениям. Коэффициенты полинома обозначим для случая п= 1 через bj, для п= 2 — через Cj и для п= 3 — через dj.

Для уменьшения числа независимых параметров материала рассмот­ рим некоторые упрощенные варианты:

Б — то же самое, но исключается влияние третьего инварианта тен­ зора напряжений (тензорная линейность), т. е. из списка аргументов (4) исключается / 3, а из (6) — L3, тогда

= [Wi(ej)]2, т. е. потенциал W3в представлен как квадрат потенциала ли­ нейного материала, содержащего вместо коэффициентов bj параметры ej. Отметим, что число постоянных bj и ej одинаково, но их численные значения различны, итак

сится дополнительно только один параметр материала do, следовательно, получаем

Выражения потенциалов Wn будут даны ниже для каждого класса ма­ териалов в отдельности.

Изотропный материал. В общем случае (8) упругий потенциал W\ содержит две, W2 — три и W3 — четыре компоненты, что в итоге приво­ дит к девяти независимым параметрам изотропного материала [4]. От­ дельные слагаемые упругих потенциалов (8) — ( 1 1 ) в этом случае сим­ метрии принимают вид

Установлено, что все независимые параметры изотропного материала можно определить из экспериментов, рассматривая плоское напряжен­ ное состояние. Следует отметить, что во всех случаях в качестве опыт­ ного образца рассматривалась тонкостенная цилиндрическая оболочка, оси которой направлены по образующей (ось 1), касательной (ось 2) и

независимых параметров материала М. Знаком « + » обозначены напря­ жения растяжения, « —» — сжатия. Отсутствие знака обозначает, что для реализации данного опыта имеется возможность выбора напряжения (растяжения или сжатия). Фигурные скобки указывают на необходи­ мость совместной обработки данных этих испытаний, т. е. что отмеченные параметры (или их суммы) определяются решением системы линейных уравнений. В графах деформаций использованы следующие обозначе­ ния: ф — для выбранной расчетной модели материала значение дефор­ мации отлично от нуля и его необходимо замерить; А — то же, но нет необходимости замерять значение; О — для выбранной расчетной мо­ дели материала значение деформации равно нулю; 0 — Л — деформа­ ции, равные по величине.

В качестве примера рассмотрим последовательность определения параметров изотропного материала для общего случая (вариант А) при п= 1,2,3 по табл. 1. Сначала проведем испытание на кручение (<JI2=T^0) и определим деформации ей, езз и ei2- Согласно (13) имеем:

Аппроксимируя экспериментальные кривые e*j — 012 соответствующими полиномами, определим численные значения коэффициентов материала в той последовательности, как указано в табл. 1 — с2у с3, Ь2 и d3.

Далее, следуя табл. 1, проведем испытания на растяжение и сжатие, определим деформации еп и 822 в первом случае и 8ц — во втором. Со­ гласно (13) имеем в первом случае

Ei1 (<Jn+) = 2{b\-\-b2) GW + 3(C\-\-с2 + с3) G\\2+ d*\Gn3\

Е22(CTIl-*-) = 2bicri1+ (3^1 + C2) CTI12+

и во втором случае

Bll (cTi1- ) = — 2{b\-\-b2)G\\-\-?>{C\ + C2-\-Cz) Gn2 — d*\Gn3.

Просуммировав еп(стц+) + ец (а ц - ) = 6 (cj + с2 + с3), получим уравне­ ние, которое позволяет определить коэффициент С\ (остальные две кон­ станты известны из предыдущего эксперимента (14). Теперь, поступив, как в (14), из первого уравнения (15) получим параметр Ь\ и численное значение сумм параметров d*\ = 4 (dt + d2 + d3 + d4) , а из второго уравне­ ния d*2= 4c?i Ч- 2d24-d4.

В заключение проведем испытание на растяжение с совместным кру­ чением. Тогда, согласно (13), имеем

633= 2^1(711 + C*2G\\2 -\-^C2G\^ d*2G\\3 d*qG\\G\2.

С учетом уже известных параметров и их сумм, аппроксимируя эту кри­ вую, устанавливаем численное значение коэффициента d*7 = 4d2 + Sd4.

Учитывая, что из предыдущего эксперимента нам известны d*\ и d*2, можем составить систему линейных уравнений:

Так как детерминант системы (16) A=^=0 и d3 известен из первого экспе­ римента, легко можно определить постоянные d\, d2 и d4. Аналогичным образом следует поступать во всех остальных случаях при определении параметров материала.

Трансверсально-изотропный материал. В этом случае симметрии упругий потенциал (8) содержит 5+ 9+16 = 30 независимых параметров материала [4] и его отдельные слагаемые имеют следующий вид:

И^2— C\L^ C2L^L^-\- c^L\L^ c^L\L^-\- £ ^ ^ 2 ^

+ Сб^2^4 + C7L43+ CgL^Lg+ C9L3;

W$= d\L]*+ C?2^ I3-^4+ d$L\2L^+ d\L\L^+ dgL\2L$+,

+d$L\2L2+ d7L ^+ rfe^2-^42+ dgLzLs+ d^L^4+

+dnL42L5+ d\2L$2+ rf13LiL4L5+ duL\L2L±+ d\$L$L\+ d\gL\Lg\

Для плоского напряженного состояния сп, 022 и <Ti2 деформации e t-j согласно (2) с учетом (17) для варианта А (8) определяются зависимос­ тями

8ц = 2^4(111 + Ь‘2(У22+ ЗС7О112+ С20222+ 2С3СГ11022+ C&G122+ 4й1юО113+ ^2<7223+

+ 2^з01I0222+ 3^4022(71i2+ 2cfiiOnOi22+ (^13+ ^15) C722<7l22J

822 = ^2<7ц + 2 ^ 10 2 2 + сз0’112 + ЗС1О222 + 2С2Оц О22+ (С4+ Сд) (7122 + ^ 4<7ц 3 +

+ 4с?1О223+ 3^20’цО222+ 2^зО22(7112+ (^13+ ^15) < 7ll(7l22 + 2 (^5+ С?1б) CF22<7l22i

Из (18) видно, что для данного плоского напряженного состояния вы­ ражения деформаций содержат все коэффициенты материала общего случая (8), за исключением параметра d7. Кроме того, постоянные d$, dg и dis появляются в (18) только в виде двух разных сумм — d5+ di6 и 2^5 —^9+ ^16. Если эти суммы обозначить отдельными символами, то в итоге это плоское напряженное состояние будет содержать 28 независи­ мых характеристик материала. Для определения этих параметров мате­ риала достаточно провести 10 первых экспериментов (табл. 2, вариант А, /г= 1 ,2,3). Все оказанное в одинаковой мере можно отнести и к пло­ скому напряженному состоянию ац, азз и <713.

Чтобы установить численные значения постоянных d$, d$ и d\g в от­ дельности, необходимо провести испытания, в которых материал нагру­ жается одновременно по двум или по нескольким плоскостям. Это могут быть эксперименты, например, при азз^О, ai2+=0 с измерением г\2\ <722=7^ 0, спз^О с измерением 813; или, как дано в табл. 2, — кручение при гидростатическом давлении р с измерением 812- В последнем случае де­ формация 8i2 определяется зависимостью

где р = сгц = (722= озз- Параметр d7 можно определить или из испытания на гидростатическое давление с измерением 822 (как показано в табл. 2 )

или из испытания на кручение радиально армированной оболочки [5] ((72з+=0), как показано в табл. 3. Для определения d7 можно также ис-