Механика композитных материалов 6 1980

Табл. 5

Пример связи между компонентами тензора податливости и коэффициентами упругого потенциала

= 2йъЬфь, d24=2dQbib7\ d2s= 2d0b5b7; d^7= dob72. Для ортотропного мате­ риала при нагружении в одной плоскости варианты А и Б одинаковы.

Общий случай (8) для ортотропного материала при плоском напря­ женном состоянии и п= 1 ,3 был проанализирован в [4], где в качестве констант материала использованы компоненты' тензора податливости. В отличие от работы [4] мы установили, что для определения необходи­ мых констант материала можно обойтись без испытаний на кручение (см. табл. 4).

Использование коэффициентов упругого потенциала bj, Cj, dj (или ej)

вкачестве параметров материала и применение зависимости (2) вместо

(1)имеют следующие преимущества: а) автоматически исчезают рав­ ные нулю слагаемые в уравнениях для е —а; б) легко обнаруживается

взаимосвязь между влияниями отдельных сочетаний напряжений; в) легко устанавливается число независимых параметров материала.

Установить связь в конкретном выражении для е — о между коэффи­ циентами потенциала и компонентами тензора податливости можно, если выписать это выражение из уравнения (1) и сопоставить соответствую­ щие слагаемые по напряжениям. Таким же методом устанавливается связь между отдельными компонентами тензора податливости. В ка­ честве примера приведем уравнение деформации сдвига при плоском на­ пряженном состоянии. Из (1) при ац=7^0, 022=7^0 и 012=7^0 имеем

Результаты сопоставления уравнения (24) с соответствующими выра­ жениями ei2 для разных материалов (13), (18) и (23) представлены в табл. 5. Не указанные в таблице компоненты тензора податливости равны нулю, так как в уравнениях (13), (18) и (23) нет соответствую­ щих им слагаемых. Кроме того, видно, что для изотропного материала

£2121 112 = #122212 И ^ 1 2 1 11112 = ^12222212- И з ПОДОбНОГО аНЭЛИЗЗ ПрОЧИХ В Ы р З Ж е-

ний деформаций можно установить остальные связи между компонен­ тами тензора податливости, которые можно найти в [4].

В заключение нам хотелось бы выразить надежду, что настоящая ра­ бота в какой-то мере поможет осознать те трудности, которые ожи­ дают нас при определении деформативных характеристик физически

нелинейных анизотропных материалов, и выбрать расчетную модель материала, соответствующую специфике решаемой задачи, для которой в конкретных условиях можно определить численные значения парамет­ ров материала.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Гольденблат И. И. Некоторые вопросы механики деформируемых сред. М., 1955. 272 с.

2.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г А. Сопротивление жестких полимерных

материалов. Изд. 2-е. Рига, 1972. 498 с.

3.Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М., 1965. 455 с.

4.Лагздыньш А. Ж-, Тамуж В. П. Тензоры упругости высших порядков. — Меха­ ника полимеров, 1965, № 6, с. 40—48.

5.Колтунов М. А., Канович М. 3., Плешков Л. В., Рогинский С. Л., Натрусов В. И.

Квопросу выбора материала высокопрочных при всестороннем сжатии оболочек из ар­ мированных пластиков с радиальной ориентацией наполнителя. — Механика композит­ ных материалов, 1980, № 3, с. 456—462.

чески-сферической модели, равны, если величина тензора эффективных модулей композита совпадает со средним значением.

Применяя самосогласованную модель, находим связь между тензо­ рами оп и а0, заменив в формулах (4); и (8) а на а*,

ап=Л*а°- Л* = <x*{vmI +a^vs)~l.

Вообще говоря, при таком подходе тензоры а0 и а* совпадать не будут. В дальнейшем, приняв их равными и считая тем самым справедливой зависимость (9), заменим в формуле (10) тензор L* некоторым услов­ ным тензором упругих эффективных модулей L^]\ положив

где Т — корректирующий тензор, подлежащий определению, введением которого учтен тот факт, что массив, окружающий включение при зна­ чительном наполнении, не обладает ни свойствами матрицы, ни свой­ ствами композита в целом. Определим его исходя из следующих сооб­ ражений: как следует из формулы (12), составляющие тензора Т явля­ ются величинами безразмерными, и на основании условия совпадения Л и а* можно предположить их зависящими от отношения упругих ха­ рактеристик матрицы к усредненным эффективным модулям компо­ зита; объемная и девиаторная составляющие тензора L,, полученные при введении тензора Т, должны находиться внутри вилки Фойгта— Рейсса независимо от соотношений между упругими модулями матрицы и наполнителя. Этим требованиям удовлетворим, если примем, что

Подставив это выражение в формулу (10), находим условный коэф­ фициент концентрации напряжений на включении:

ссо = LS(Li* + L*Lm<L>_1) [L*Lm<L>-1 (Ls + £ u )]-1.

Тензор, связывающий crn и а0, примет вид: Л= <xo(vmI + va<xo)~l. Подста­ новка значения Л0 в формулу (3) вместо тензора Л приводит к сле­ дующему выражению для тензора эффективных упругих модулей двух­ фазного композита:

(14)

Разложив входящие в равенство (14) тензоры на объемные и девиаторные составляющие и произведя операцию внутреннего умножения, на­ ходим выражения для модулей объемного сжатия и сдвига композита:!

TReK, = KJKm\ G* = GJGm\ l = KJKm\ h = GJGm\ t* = UK>Km~l; |u = = Ei<G>Gm- 1; ф = ЗЯ*/4С*; ф! = (3 + 2ф)/(2 + Зф). Значения коэффици­ ента Пуассона и модуля Юнга композита определяются по известным зависимостям

Система уравнений (15) — (17) полностью определяет эффективные модули К* и G* для двухфазных матричных смесей, т. е. когда имеется граница раздела между матрицей и наполнителем. Для нематричных

гранулированных композитов при Km~>Ks и Gm^>Gs формулы (15) и (16) определяют верхние границы эффективных модулей. Нижние гра­ ницы в этом случае вычисляются по формулам

верхнюю и нижнюю оценки вилки Хашина— Штрикмана эффективных модулей двухфазных композитов.

Приведем доказательство, что при задании корректирующего тен­

Здесь индексы R и V указывают на усреднение эффективных модулей по Рейссу и Фойгту соответственно.

Так как формулы (15), (16) и (18), (19) по своей структуре одина­ ковы, достаточно доказать выполнение условия (20) для оценки модуля объемного сжатия композита (15).

Принимая Я* за некоторую переменную, замечаем, что правая часть равенства (15) есть дробно-линейная функция F(R*), коэффициенты при Я* и постоянные слагаемые которой положительны. Тогда для

Для сравнения на рисунке приведены результаты численного опре­ деления границ эффективных модулей композита, компоненты которого

нулированных композитов, полученные в данной работе, лежат не­ сколько выше границ, даваемых оценками Хашина—Штрикмана, и дают менее широкую вилку, чем последние. Кроме того, полученные оценки не зависят от соотношений между модулями упругости компо­ нентов, что следует из формул (21). В то же время для применения вариационного метода Хашина—Штрикмана необходимо выполнение неравенства (Кт—Ка) (Gm — Gs) > 0 .

Для альтернативного случая, когда компонент, обладающий наи­ большей жесткостью относительно объемных деформаций, имеет низ­ кую, прочность относительно сдвиговых деформаций, границы эффектив­ ных модулей были определены в [9]. Для сравнения рассмотрим при­ мер альтернативного случая, приведенный в монографии [1]. Вычислим границы для композита, компоненты которого в произвольных едини­ цах равны: Кт= 1/2, /Cs =10; Gm= 5/2; Ga = 2 при vs = vm- Согласно фор­

Взаключение отметим, что для модуля объемного сжатия формула

(15)была ранее получена в работе автора [10] и распространена на случай многокомпонентных матричных сред типа сферопластиков для

вычисления прочностных характеристик.

СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы

1.Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М., 1977. 400 с.

2.Сендецки Дж. Упругие свойства композитов. — В кн.: Композиционные мате­

5.Hill R. A self-consistent mechanics of composite materials. — Mech. Phys. Solids, 1965, vol. 13, N 5, p. 213.

6.Савин Г. H., Хорошун Л. П. К вопросу об упругих постоянных стохастически армированных материалов. — В кн.: Механика сплошной среды и родственные проб­

лемы анализа. М., 1972, с. 437—444.

7. Левин В. 'М. О концентрации напряжений на включениях в композитных ма­ териалах. — Прикл. математика и механика, 1977, т. 41, вып. 4, с. 735—743.

9.Walpole L. J. On bounds for the overall elastic moduli of ingomogeneous systems. — Mech. Phys. Solids, 1966, vol. 14, N 1, p. 151— 158.

10.Кржечковский П. Г Об определении упругих и прочностных характеристик

композитов на основе полых сферических включений. — Проблемы прочности, 1979, № 3, с. 37—40.