Механика композитных материалов 6 1980
..pdfпроцессов: процесса вязкого течения и постепенного разрушения — про цесса накопления поврежденности. В основу анализа процесса деформи рования (нагружение и разгрузка) нелинейно-наследственных материа лов положено следующее уравнение:
t
ф (е)= сг+ 1[ |
[£(^—т)+9Л(^ —т)]а(т)^т; |
|
о |
|
|
« |
«. |
(!) |
ф(е) = а + 1 2 {I —т)а(т)£/т + Ф(е*) J 9Л(/* —т)ст(т)^т; |
t> t„ |
|
о |
о |
|
где 2 (t —т) и 9Я(£—т) |
— ядра операторов, описывающие процессы вяз |
|
кого течения и разрушения соответственно. При нагружении они действуют одновременно, при разгрузке деформация разрушения фикси руется, t* — момент начала разгрузки, е* — максимальная деформа ция, достигнутая к началу разгрузки, 0<;Ф (е*)г^1 — функция восста новления, характеризующая в соответствии с [7] возможность залечивания дефектов при разгрузке, ф(е) — кривая мгновенного деформирования.
За критерий разрушения был принят [6]:
а *0= ( Т + 9П*сг, |
(2) |
где 9Я*сг — оператор, описывающий процесс накопления поврежденности (тот же, что и в (1); а*о — константа, вычисленная, например, по значе нию кратковременной прочности из эксперимента на растяжение.
Уравнение (2) позволяет рассчитать зависимость разрушающего на пряжения а от времени нагружения t. Если в качестве ядер операторов
2 {t—т) |
и |
9Л(/—т) взять ядра Абеля |
2 {t —т) = J* |
9Л(^—т) = |
||
= | |
Ш(5 (т) dx |
|
о |
' |
||
. |
. |
|
то для процесса длительной прочности, когда а = const, (2) |
|||
о |
(г—т )а |
|
|
|
||
принимает вид |
|
|
||||
|
|
|
|
—Hi |
|
/ о\ |
|
|
|
|
По |
|
|
°1 + mtl~a
Процесс нагружения с постоянной скоростью 6 = const описывается урав нением
сг=; |
(Уо |
(4) |
|
т |
|||
Н |
/1-а |
||
2—а |
|
Возможность разделения процесса деформирования в соответствии с (1) позволила описать изменение предельного удлинения во времени.
До настоящего времени существовали некоторые противоречия в оценке предельных удлинений и их скоростных зависимостей [1]. Боль шой объем опытных данных, полученных на стекло- и боропластиках, и их статистический анализ позволили установить [1] независимость пре дельного удлинения от скорости нагружения. Однако этот анализ отно сится к таким материалам, для которых ползучесть является следствием только накопления поврежденности, в уравнении (1) для них следует оставить лишь оператор 9Л*сг. В этом случае выполнение критерия (2) сразу же приводит в соответствии с (1) к определению постоянного пре дельного удлинения 8т, такого, что ф(ет ) =а*о- Если же вклад оператора 2*а является существенным, то за счет вязкости величина ф(е) при раз рушении уже не будет фиксирована, а определяется из выражения
*•
ф(ет) = о \ + J £(/* —т)о(т)^т.
о
Рис. 4. Зависимость стп~<т: — |
Рис. 5. |
Зависимость |
ет — o'; |
эксперимент; —А — расчет. |
— |
эксперимент; |
—А — |
|
|
расчет. |
|
Небольшая разница в значениях полностью укладывается в полосу раз броса опытных данных.
Результаты экспериментов по нагружению с постоянной скоростью анализировали как по значениям разрушающих напряжений, так и по значениям предельных удлинений. По условию длительного разрушения
(4) были рассчитаны теоретические значения прочности и построена зависимость прочности сгв от скорости нагружения о (рис. 4).
Зависимость предельного удлинения ет от скорости нагружения 6 строилась по уравнению (5) (рис. 5). Видно, что падение ет в исследо ванном диапазоне скоростей существенно, а расчетные значения попа дают в полосу разброса опытных данных.
Таким образом, описанная выше модель длительного разрушения дала Возможность, исходя из характеристик кратковременных испыта ний, описать разрушение как процесс при различных режимах нагруже ния и исследовать зависимости прочности и предельной деформации от времени до разрушения.
Следует подчеркнуть, что предлагаемый критерий (2) может исполь зоваться только тогда, когда разрушение является следствием накопле ния поврежденности в материале, но не распространения макротрещины. Изменение характера разрушения происходит при достаточном увеличе нии скорости нагружения — это видно из рис. 4, где начиная с 6 ~
~104 кгс/мм2 •с наблюдается падение прочности.
СП И С О К Л И Т Е Р А Т У Р Ы
1.Скудра А. М., Булаве Ф. Я-, Роценс К. А. Ползучесть и статическая усталость армированных пластиков. Рига, 1971. 238 с.
2.Лифшиц Дж. М. Замедленное разрушение волокнистых композитов. — В кн.: Композиционные материалы. Т. 5. Разрушение и усталость. М., 1978, с. 267—332.
3.Милейко С. Т. Ползучесть и длительная прочность волокнистого композита. —
Проблемы прочности, 1971, № 7, с. 3— 10.
4.Тамуж В. П. Объемное разрушение однонаправленных композитов. — Механика композитных материалов, 1979, № 2, с. 260—267.
5.Серенсен С. В., Зайцев Г П. Разрушение стеклопластиков при кратковременном
нагружении. — Механика полимеров, 1965, № 2, с. 93— 103.
6.Суворова 10. В. О критерии прочности, основанном на накоплении поврежден
ности и его приложении к композитам. — Изв. АН СССР. Механика твердого тела, 1979, № 4, с. 107— 111.
7.Суворова Ю. В., Викторова И. В., Машинская Г П. Длительное разрушение не
упругих композитов. |
— |
Механика композитных материалов, 1979, № 5, |
с. |
794—798. |
8. Суворова 10. |
В., |
Викторова И. В., Васильев А. Е., Финогенов Г |
Н., |
Машин |
ская Г П. Исследование поведения органопластиков при различных режимах нагруже ния и температур. — Машиноведение, 1980, № 2, с. 67—71.
Институт машиноведения |
Поступило в редакцию 07.03.80 |
им. акад. А. А. Благонравова АН СССР, |
|
Москва |
|
УДК 539.4:678.5.06
В. А. Кочетков, Р. Д. Максимов
ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАПРЯЖЕНИИ ПРИ РАЗРЫВЕ ХРУПКИХ ВОЛОКОН В ПОЛИВОЛОКНИСТОМ КОМПОЗИТЕ
Известно, что в композитных материалах, армированных хрупкими волокнами, уже на начальной стадии деформирования может происхо дить множественное разрушение волокон. Этот эффект с разных пози ций исследовался во многих работах [например, 1—6]. Рассмотренные варианты относились к двухкомпонентному композиту — материалу, со стоящему из связующего и армирующих волокон одного типа. Между тем в последние годы повышенный интерес вызывают гибридные компо зитные материалы, состоящие из большего числа компонентов. Исполь зование в таких материалах волокон разного типа расширяет возмож ности целенаправленного регулирования их свойств. Различие свойств волокон создает предпосылки для увеличения эффекта дробления хруп ких волокон в поливолокнистом композите. Об этом свидетельствуют, на пример, результаты испытаний органоборопластика, возможности ис пользования которого обсуждались в [7].
На рис. 1 показана усредненная кривая деформирования материала при растяжении в направлении армирования. Материал был армирован органическими и борными волокнами, ориентированными в одном нап равлении; в качестве связующего использована смола ЭДТ-10. Объемное содержание органических волокон (хо = 0,56; борных — р/ = 0,24; суммар ный коэффициент армирования ц = цо+ Ц/= 0,8. Нелинейность диаграммы деформирования обусловлена прежде всего дроблением борных волокон, о чем свидетельствуют показанные на рис. 2 гистограммы длин отрезков раздробленных волокон после нагружения органоборопластика до 0,75 от предела прочности и до полного разрушения. Для определения гисто грамм образцы органоборопластика после предварительного нагружения разгружали, проводили их термическую обработку, после чего под мик роскопом изучали борные волокна, тщательно измеряли длину отрез ков, на которые раздробилось волокно.
Рис. 1. Усредненная диаграмма |
деформирования органоборопластика при растяжени'! |
в направлении армирования (/) |
и кривая изменения модуля упругости вследствие на |
копления повреждений (2).
Рис. 2. Гистограммы значений длины отрезков разрушенных борных волокон после на гружения композита до 0,75 от прочности и последующей разгрузки (1) и после нагру жения до разрушения образца (2) (см. точки А и Б на рис. 1).
Дробление волокон бора вызывает необратимое изменение жесткости композита, что показано на рис. 1 кривой изменения модуля упругости. Для определения этой кривой образцы органоборопластика предвари тельно нагружали до разных уровней напряжения, затем полностью раз гружали и снова нагружали ступенчатой нагрузкой. После повторного нагружения по величине приложенного напряжения и измеренной дефор мации определяли значение модуля упругости.
Из приведенного примера вытекает необходимость рассмотрения за дачи о дроблении хрупких волокон для случая, когда волокно погружено не в изотропную матрицу, что имеет место в двухкомпонентном компо зите, а в квазиоднородную анизотропную, состоящую из полимерного связующего, армированного менее хрупким волокном. Типичным пред ставителем такого материала является органоборопластик. Борное во локно разрушается хрупко; его предельная деформация почти на поря док меньше предельной деформации органического волокна; допущение о квазиоднородности анизотропной матрицы представляется оправдан ным, если учесть, что диаметр органических волокон на порядок меньше диаметра волокон бора.
Особенностью данной задачи является не только учет анизотропии матрицы. В расчетных моделях двухкомпонентного композита обычно принимается, что растягивающая нагрузка воспринимается только во локном, а матрица работает лишь на сдвиг. Справедливость такого допу щения, например, в случае боропластика вытекает из следующего: отно шение модуля упругости борного волокна к модулю упругости эпоксид ной смолы составляет 100— 120; таким образом, при растяжении этого композита напряжение в матрице на два порядка меньше напряжения в борном волокне. Это соотношение резко изменяется в поливолокнистом композите. Так, у органоборопластика, данные о котором приведены на рис. 1, отношение модуля упругости борного волокна к усредненному модулю упругости матрицы (связующее и органическое волокно) состав ляет всего 7,3, что означает, что пренебрегать работой матрицы на рас тяжение в данном случае нельзя. В расчетной модели, таким образом, необходимо учитывать работу матрицы и на сдвиг, и на растяжение.
Ниже излагается вариант расчета перераспределения напряжений при разрыве хрупких волокон в гибридном композите, показана зависи мость неэффективной -длины хрупких волокон от дополнительного арми рования матрицы менее хрупким волокном и на основании полученных зависимостей сделана оценка изменения модуля упругости гибридного композита в направлении армирования вследствие повреждений хрупких волокон.
Перераспределение напряжений при разрыве хрупких волокон. При нимаемая расчетная схема показана на рис. 3. Материал нагружен рас тягивающей силой в направлении армирования. Рассматриваемый эле мент материала состоит из разорванного хрупкого волокна, матрицы и «усредненного» материала. Хрупкое волокно в дальнейшем будем назы вать волокном, матрицей — связующее, армированное податливым во локном, разрушение которого происходит непосредственно перед макро разрушением образца; и, наконец, «усредненным» материалом — рас сматриваемый композит с усредненными (эффективными) свойствами. Предполагается, что хрупкое волокно воспринимает только растягиваю щую нагрузку, а матрица — растягивающую нагрузку и сдвиговые уси лия в окрестности концов разрушенных хрупких волокон. Принимается также, что сцепление на границах волокон и матрицы не нарушается.
Согласно принципу суперпозиции решение задачи в напряжениях имеет вид
О/ = (7/° + О}1+ О /11 + О /111-, О т = От? + О т 1+ О т11+ О т 111;
(1)
Т т = Tm ° ~t" T?n^ Н" T?n^ Т
Если положить wm(z,r)=R (r)Z (z), то в (2') и (3') переменные разде ляются:
d2Z {z)
dz2
|
|
|
|
|
|
(6) |
т]о2 |
определяется из (2') |
следующим образом: |
|
|||
|
|
Ло2 = |
2 |
Gm |
dR(r) |
|
|
|
EfrfR(rf) |
dr |
|
||
|
|
|
|
|||
Решение системы (6) имеет вид |
|
|
|
|||
|
|
Z (г) = С ^ + |
C2e~w, |
R (г) = С3/ 0 (лоаг) + CAN0(Лоа г), |
(7) |
|
где |
a = iE mJGm. Граничное условие |
аа = 0 дает dwm(z,rm) _ Q или £ |
||||
_ |
£ |
/о (ЛоаГт) |
|
|
dz |
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
МоСпоаГт) |
|
|
|
|
|
Как видно из рис. 3 и как это следует из принципа суперпозиции, в |
|||||
граничных задачах I, II, III есть область однородного при г = г/ условия: |
||||||
|
|
|
|
|
OW |
(8) |
|
|
T m (z, Г / ) = О |
ИЛИ |
= 0. |
||
|
|
|
|
|
~dF |
|
Использование этих граничных условий приводит к задаче на собствен
ные значения. Решение системы |
(3') и (8) дает |
|
|
||||
|
оо |
|
|
|
|
|
|
w 771= |
V |
^ ^ |
^ |
,Ч Г |
Мллаг) |
N0(r\kar) ] |
( 9 ) |
|
(blfte1lAZ+C,2ft |
^А2) I |
-------------- |
— |ГТ—-------------- I , |
|||
|
■JTi |
|
L |
Jo{y\harm) |
No(щаГт) J |
|
|
где rjft — корни уравнения |
|
|
|
|
|
||
|
|
■Mriftary) |
N\ (щаг^ |
|
( 10) |
||
|
|
Jo{4\ha,rm) |
|
|
= 0; k = \ ,2 , ... |
||
|
|
No(j\harm) |
|
|
|||
Далее рассмотрим три различных граничных задачи и получим со ответствующие решения в напряжениях, с тем угобы' окончательное ре
шение можно было получить по принципу суперпозиции из (1).
I
/ задача. Граничные условия: {у^\2=^ = — <T/I |z= + o o = 0; a m I | z = ± o o =
= 0; TmI |z=±oo = 0. Из условий при z= — оо согласно (9) получаем
|
w*m= |
^ CheVh*Wh{r)\ |
l |
|
( 11) |
|
|
zt |
’ |
||||
|
|
ь=i |
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
Jo(r\har) |
No(r\har) |
|
|
|
|
Wk(r) |
|
|
|||
|
Jo(r\karm) |
NQ(r\h<xrm) |
|
|||
|
|
|
||||
При |
следует использовать (7). Тогда |
|
|
|
||
|
a |
_JTl0( z—“ ) |
Wo(r) |
|
|
1 |
|
wr ~ щ Е к в |
Wa(r,) |
’ Z |
|
2 |
|
Постоянные Ch определим из состыковки решений при z = —:
WT ( ± , r ) = w m ( ± , r )
V „ |
" |
^о(г) |
(П ') |
или / у С ке |
2 Wh(г) = — - — |
^ о (о ) |
|
А= 1 |
Ло^л |
|
Умножим обе части полученного уравнения па rWi(r) и проинтегрируем на [rf,rm]:
ОО |
I |
г т |
_ |
Г _ |
|
|
У |
Сгв 1 2 |
J* rWiWh{r)dr=' |
TiofftW'oCn) |
J гГ 0 (г) |
(г) dr. |
(12) |
i—1 |
|
|
|
|
|
Легко показать, что Wh{r) и №*(/-) ортогональны на [/*/, гш] с весом г, т. е.
|
|
J rWhWidr = 0; |
Ьф/г. |
|
|
|
||
|
|
rf |
|
|
|
|
|
|
Действительно, если и и v являются решениями уравнений |
|
|||||||
г2- ^ — ^Х~~Г + (№х2- т 2)и = 0 \ |
d2v |
dv |
f- (\i2x2— n2)v = 0, |
|||||
dx2 |
dx |
|||||||
dx2 |
dx |
|
|
|
|
|||
TO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
„ „ |
n2—tn2 |
1 |
l |
dv |
du \ |
\b |
|
|
И(X*-|i*)*+— — |
} u v d x = x [u — - |
1, — ) |
|( |
||||
Это так называемый интеграл Ломмеля [8]. В данном случае п= т= 0, х нужно заменить на г, Х2= г\ь2а2, р2 = т ] г 2 а 2 . Подставляя в интеграл Лом меля пределы a= rf, Ь = гти u=W h, v = Wit получаем
J |
г |
rWiWhdr |
|
Tf |
(Л*2—t]h2)a2 |
|
так как
Таким образом, в бесконечной содержащий Ск. Норма функции нием [8]
' то
(Wh |
dWj |
- W i |
dWh |
= 0, |
|
dr |
dr |
||||
dWj |
|
dWh |
= 0. |
(14) |
|
dr |
rf |
dr |
|||
rf |
|
сумме (12) остается только один член, Wh{r) с учетом (14) задается выраже
$ rW k* ( r ) d r = ^ [ W ^ ( r m) y - - £ - W K ‘ (r,), Tt
где запись W'h{rm) означает dWh(Xr) |
Коэффициент Ch теперь вы- |
|
глядит так: |
d(Xr) |
|
|
|
|
2- «Г1* 7 |
J |
rWc(r)Wk(r)dr |
Л А > 0(М |
rm2[W'k(rm) ] 2- r t2Wk2 (rf) ’ |
|
где интеграл
•m |
|
|
|
f r r . H r . M i r — |
|
r , w » . ( „ ) |
|
получаем из (13) с учетом граничных условий |
|
||
= 0; |
d№* |
d№n |
|
dr |
= 0; dr |
~ v g r * . ( r , ) . |
|
Если в (15) использовать вронскиан
W{JV(z), ATv(2;)} — / v+i (z) Nv(z) —/ v{z) A/^v+i (z) = -----
|
Jtz |
при v = 0 и определения Wk{r) и W'h(r) |
|
Joinuar) |
^o(riftar) |
Wh(r)=* |
A^o(T)ftarm) |
/о(Л йаГте) |
|
Л ( л ^ ) |
| |
/о(т1лагт ) |
iV0(Tifearm) |
то окончательно коэффициенты Ch в (11) выглядят следующим образом:
|
_ |
rfEf я |
Т]ьт1о |
|
i |
|
|
|
|
п |
G |
6 |
Jo2{r\karm)N0('r]karm)Ji(r\karf) |
||||||
bft— |
Eh |
---------- |
|
|
1 |
|
|
■ |
|
|
~}/EmGm 2 r]fe2—T]02 |
|
J02{щагт) -J i2{r\harf) |
||||||
С учетом этого выражения решение I задащчи в перемещениях определя |
|||||||||
ется так: |
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
__ |
оо |
. |
чk\z |
} |
l |
|
|
|
|
a |
|
|||||
|
|
|
— |
2 ^ Ahfhir) e . И2 |
|
; |
|||
|
|
WmI= |
|
fe= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
-^ (* -7 ) |
fo(r) . |
|
|
||
|
|
|
Ek |
|
|
W o fa) |
’ |
|
|
|
|
|
|
|
<7 |
1 |
|
|
|
|
|
wjT= w mI(z, rf) = |
£ * |
T]O ^ |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 ’ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
rfEf |
я |
rifeTio |
/0 (rifearm)/i (r]fear/) |
||||
|
|
||||||||
|
|
Ль = |
2 |
г]л2 rj02 |
/o2(rihar^) — Л2(льаГ/) |
||||
|
|
l/£mGm |
|||||||
fft (r) = Jo(rifear) AT0 (T]fearm) - / 0 (т1/4агт ) /V0 (щссг).
В этих обозначениях решение I задачи в напряжениях можно предста вить следующим образом:
|
- 4 -E m |
Mr) |
-"•(*-7 ) |
||
|
fo (M |
|
|
||
От}— |
|
Ek |
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
~^Етп^ лkAhfk(r)eЧ*И) |
|||
|
|
A - l |
•И) |
|
|
|
or |
Gm |
d |
||
|
-^Q\z- - f |
||||
|
|
Ло/о (r/) |
|
2 |
* г [ м о ] |
|
_ |
|
|
|
|
TmI = |
OO |
|
l A * ч*(*-т) |
||
|
i ; a - L - £ r U M |
||||
|
|
k=1 |
|
|
|
z<:-
2 '
2 ’
z < -
2 ’
II задача. |
Граничные |
условия: |
|
|
|
||||
or/11 |
|
= - |
- E |
|
Tm111z=o= 0; |
a™111 z=±<*> = 0. |
|||
|
o-= 4 ; |
||||||||
z = ± |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из условий при z = 0 и 2 = ± — |
получаем C i= — С2 и из (7) |
||||||||
|
|
T |
- f |
■^ |
|
l |
fo{rf) |
|*| < |
4 |
|
|
Ло |
Eh |
. |
|
|
2 |
||
|
|
|
|
cM o y |
|
|
|
||
Из условий при 2 = ± 00 и из (9) |
|
|
|
|
|
||||
II — _ |
о |
Г 1 |
-^*(1*1- 7 ) |
Ahfh{r) Шло У ; |
м > у . |
||||
wт А1 = |
Eh А= 1 |
|
|
2' |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
что дает для напряжении следующие значения: |
|
|
|||||||
|
|
|
a |
„ |
Шло* |
|
|
||
|
|
~ l h E' ~ |
|
г |
1 * 1 < Т : |
||||
|
(Т/и — |
|
|
Шло у |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
И > т |
; |
|
а |
|
сЬло^ |
М О |
; |
|
|
||
|
Ek |
m' |
|
l |
h{rf) |
|
|
||
СТтП = |
|
Шлоу |
|
|
|
|
|
||
|
V |
|
|
|
|
/ -4fc(l*I--) |
|
||
О |
|
|
|
|
I2 I> 2 : |
||||
— |
Em2 ^ |
ЛhAhfh(r) Шло 7; e |
2 |
||||||
£h |
“ |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
1 |
a |
Gm |
sh ло-г |
d |
|
|
|||
Ло |
Eh |
f0(rt) |
|
l |
dr ■[Mr)]; |
И |
|||
ch Ло-^-
TmI I .
- л ,(м - 4 )
M >
h=l