Основы метода конечных элементов
..pdfцируемыми функциями числовых переменных ak при всех конечных
значениях |
этих |
переменных. |
|
|
|||
Пусть, |
далее, |
элементы последовательности {фл (*)}Г удовлетво |
|||||
ряют |
условиям: |
|
|
|
|
||
1) |
Фл € D (F); |
|
фм М — линейно независимы |
при |
любом |
||
2) |
Фх (х), |
Ф2 М, |
|||||
значении |
N; |
|
|
|
|
|
|
3) |
последовательность |
{фл}Г полна в S3, т. е. множество |
всевоз |
||||
можных конечных линейных комбинаций ее элементов |
плотно в 33. |
||||||
Обозначим, |
как и прежде, через Рм конечномерное подпространст |
||||||
во с базисом {ф*}Г и будем называть приближенным по |
Ритцу |
реше |
|||||
нием задачи о минимуме функционала (V.43) функцию uN(х) вида
uN (x) = V с А ( х ) ,
k = \
если она доставляет минимум этому функционалу на Рн.
Числовые коэффициенты ск при этом удовлетворяют системе урав нений
^ ( 2 |
аЛк) |
|
Ъ |
-L = 0> / = 1, 2, . . . » N. |
(V.44) |
Теорема V.7. Пусть выполнены сформулированные выше условия
относительно функционала F (и) и последовательности функций {фл}Г°- Если функционал F {и) в метрике пространства 33 — возрастающий и полунепрерывный сверху, то приближенные по Ритцу решения мож но построить при любом значении N и для функционала F {и) эта по следовательность — минимизирующая.
Доказано, что система Ритца (V.44) для рассматриваемого функци онала
F(u) = ^ f[x, и, ~^)dx, и(0) = ы(1) = О
о'
исистема Галеркина (см. (V.7) — (V. 10))
dx = (AuN, |
= 0 |
k = 1, 2, |
N, |
для определения приближения к обобщенному решению уравнения Эй лера (V.32) при граничных условиях (V.31) равносильны, если % £ £ D (Л), где А = grad F (и).
Как и в параграфе V.1, для численного решения нелинейных вари ационных задач в качестве подпространства PN можно использовать соответствующие конечномерные пространства МКЭ. Для более де тального рассмотрения этой возможности конкретизируем постановку вариационной задачи, в частности область определения функционала и вид базисных функций конечномерных подпространств данного ба нахова пространства.
Пусть решается задача о минимизации функционала
F{4) = \f (*> и> dx’ (V.45)
и (0) = «(1 ) = 0,
областью определения которого служит сепарабельное и рефлексивное о j
банахово пространство W r (0, 1), 1 < г < оо.
Заметим, что большинство результатов будет справедливо (или аналогично) и для более сложных функционалов: содержащих произ водные высших порядков или функции многих переменных.
В качестве базисных (координатных) функций МКЭ будем исполь зовать функции, подробно исследованные в [67]. Дадим их краткое
описание. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
Пусть q — некоторое заданное натуральное число, a cos (/), s = |
||||||||||||
1, ..., |
q — 1,— совокупность функций одной |
переменной, удовлетво |
||||||||||
ряющих |
следующим условиям: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
1) |
cos (t) £ WQr (/?i), |
1 ^ г ^ |
оо; |
Rx— одномерное евклидово про |
||||||||
странство; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2) |
supp cos (t) a |
[ t : 0 ^ |
/ ^ 2 } |
[следовательно, (o(sa)(0) = |
со^ (2) = |
|||||||
= 0, 0 < a , s ^ q - l , |
= |
|
at |
' |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
cof>(l) = 6a |
O ^ a , |
|
|
— |
1; |
|
|
|
|
||
|
4~' |
<Ds(t) |
J— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
« |
2 |
(q — s)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
<71 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
s=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cov ( ' + ‘ ) + 2 |
T F = V |
= |
T |
r ' |
|
|
o < « |
l . |
|
|||
Функции cos (t) называют исходными, а всю совокупность исходных |
||||||||||||
функций |
cos (t), s = |
0 -f- (q— |
1),— исходной |
системой. Способ пост |
||||||||
роения функций (os (/), удовлетворяющих условиям |
1) — 4) |
и являю |
||||||||||
щихся полиномами степени не выше 2 s — 1, |
подробно описан в |
[67] |
||||||||||
для произвольного значения q. Более того, для q = |
1 ч- 6 указан |
яв |
||||||||||
ный вид cos (/), s = |
0, |
1, ..., |
q — |
1, причем каждая функция — поли |
||||||||
ном степени 2q — 1. Например, |
при q = 1 (s = 0) |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
о)0(0 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
при q = 2 (s = 0, |
1) |
|
|
|
м |
и - Р |
- » |
“ « ' о - |
|
|
1(2 — |
(2^ — I), |
1 < < < 2 ; |
|
|
1 ^ - 1 ) , |
0 < / < 1 , |
||
|
1(2— !)” (<— 1). |
1 < / « 2 . |
||
Вне интервала (0, 2) функции cos (/) согласно условию 2) полагают рав ными нулю.
Координатная система, т. е. базисные функции МКЭ для решения вариационной задачи (V.45),строятся из исходной системы по формуле
|
ф£/(х) = |
tos^ ----- / j , |
s = 0, |
1, . . . , < 7 — 1 , |
(V.46) |
где |
h = \!2k — шаг |
равномерной |
сетки, |
покрывающей |
отрезок [О, |
1], |
а / — целое число в пределах — 1 ^ |
2k — 1. |
|
||
Такая координатная система обеспечивает решение задачи эрмито
вой |
интерполяции: построить функцию |
и (х), которая вместе со сво |
|||
ими производными до порядка q — |
1 включительно совпадает с функ |
||||
цией |
и (х) и ее соответствующими |
производными в заданных точках |
|||
(/ + |
1) л. |
|
|
|
1 (s = 0) |
Легко видеть, что координатные функции (V.46) при q = |
|||||
|
|
* h,h- , |
jh< |
x < ( / + 1)h, |
|
|
Фо/ (*) = Ф/ (*) = |
(2 + f l / t - x ^ |
(j+ i ) h ^ x ^ ( j + |
2)h, |
|
0, x£№,jh] U [(/ + 2)А, 1],
где — 1 ^ ^ 2k — 1, совпадают с выписанными ранее кусочно-ли нейными базисными функциями МКЭ (см. (V.23)), если в (V.23) отре зок [0, 1] разбит на четное число N — 2k равных элементов, длина ко
торых xt — Xi- 1 = |
h = |
-jjp Аналогичное |
заключение справедливо |
||||
для функций (V.46) |
при q — 2 (s = |
0, 1) |
|
|
|||
|
|
фо/ (*) = |
ф/ (х), |
|
|
||
Ф1/ (•») = Ч’/ (■*)» |
/ = |
— |
1 ,2 , |
2Лг — |
1, |
||
и кусочно-кубических базисных функций (V.29) |
|
||||||
ф^ (х), |
ф?(х), |
t = l , 2 , |
N, |
|
|||
при N = 2k, hi = |
хс— xt_i = |
h = |
\/N. |
|
полна в W4r (0, |
||
Координатная система (V.46), |
как доказано в [67], |
||||||
1), т. е. любую функцию и (х) £ Wr (0, 1) можно с любой точностью ап проксимировать в метрике пространства Wqr (0, 1) функцией вида
q- 12А-1 |
|
, , |
\ |
ч- 12А-1 |
. |
«/(* ) = £ £ |
' |
|
' |
S |
|
5—О/=—1 |
|
s=0 ;=—1 |
|
где числовые коэффициенты as/ = hsuis) ((/ + 1) h). Порядок аппрок симации в зависимости от степени гладкости аппроксимируемой функ ции устанавливает следующая теорема.
Теорема V.8. Пусть и (х) £ Wnr+[ (О, 1). Если в качестве аппрок симирующей функции выбрать
<7—1 2k—1 |
, v |
. |
« / ( * ) = £ s |
^ u w ( U + l ) h ) ( p i , ( x ) , |
|
s=0 /= —1 |
|
|
где q ^ n ^ 2q — 1, то справедлива оценка |
||
II и— и, II,- < с Iи\\r.n+ihn+l-\ |
с = const, |
|
Отметим, что аналогичные результаты имеют место и для коорди натных функций многих переменных (см. [67]).
Таким образом, описанные координатные функции (V.46) вполне обосновано можно использовать для получения приближенного по Рит-
цу решения задачи о |
минимуме функционала |
(V.45), где D (F) = |
о . |
оо, т. е. для построения |
приближенного реше |
= Wr (0, 1), 1 < г < |
||
ния МКЭ. |
|
|
3.Оценка погрешности приближенного решения МКЭ. Предполо
жим, что существует единственная функция ц* {х) £ WQT(0, 1), достав ляющая минимум функционалу F (и) (V.45). Тогда приближенное ре шение МКЭ данной вариационной задачи можно искать в виде разло жения
и - § ' Л£ |
w - N = 2k’ h ••= I T ’ |
(V -47) |
i=о /=—1 |
|
|
числовые коэффициенты cs/ которого определяются из условия мини мума функционала F (uN) на подпространстве Ph с= Wqr (0, 1), где ба зисом служат функции {х) (см. (V.46)); размерность Phравна (N +
+ |
О <7- |
|
что в силу свойств базисных функций (V.46) и условия |
|||
3) |
Заметим, |
|||||
для |
cos (t) |
приближенное |
решение uN(х) будет удовлетворять гра |
|||
ничным |
условиям |
uN(0) = |
uN(1) = |
0, если в разложении (V.47) |
||
^0,-1 = |
Co./v-i = 0. |
Поэтому |
в базис |
конечномерного подпростран |
||
ства, на котором минимизируется F (uN)t можно не включать коорди
натные |
функции Фо,—1 (х) |
и |
фо,д^_1 (х). |
Такое конечномерное |
под- |
|||
пространство |
с |
«укороченным» |
базисом будем обозначать через |
0 |
||||
Р cz |
||||||||
cz Wq(0, 1) П |
|
W\ (0, 1). |
Размерность |
Phравна ( N + |
1)q — 2. Итак, |
|||
неизвестные |
коэффициенты cs/- искомого приближенного решения |
|||||||
(V.47) |
должны |
удовлетворять |
системе |
нелинейных |
алгебраических |
|||
уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d F ( u F \ |
|
|
|
|
|
||
|
— |
|
— = 0, 0 < s < < / — 1, — 1 < / < v V — 1; |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(V.48) |
|
s = 0, 0 < / < i V — 2.
В рамках условий теоремы V.5 для возрастающего функционала F (и) система уравнений (V.48) разрешима при любом значении N и
дает по формуле (V.47) приближенное решение МКЭ, обеспечивающее oh
абсолютный минимум функционала F (и) на Р [10]. Будем обозначать это приближенное решение через и[ (х):
F(uNm) = min F(u).
U£Ph
Согласно результатам теорем V.5 и V.7 последовательность {и при
N —> оо является минимизирующей для функционала F (и) и сходит- о .
ся в Wr (0, 1) к некоторому пределу и,*. Поскольку мы предположили, что D (F) = Wxr (0, 1), 1 < г < оо, то и* 6 D (F) и
F(u*) = m i n F{u).
°i
Вопрос о точности описанного приближенного решения МКЭ для рас сматриваемого класса вариационных задач решается с помощью сле дующей теоремы.
|
Теорема V.9. |
Пусть функционал F (и), D |
(F) = |
о . |
1), 1 < |
||||
|
Wr (0, |
||||||||
< |
г < оо, задачи |
(VA5) — возрастающий, удовлетворяет условиям |
|||||||
теоремы V.5 и, кроме того, неравенству |
|
|
|
||||||
|
\F(u) — Z7 (у) К / С |
(с) |ц — v ftU а > 0 , |
К = |
const, |
(V.49) |
||||
при любых и, v £ D |
{F) таких, что |и \rt\^ с, |v |r,i ^ |
с. |
|
||||||
|
Если при этом доставляющая минимум функционалу F (и) функция |
||||||||
и* (х) 6 Wr+l (0, |
1) |
f] |
Wlr(0, |
1), то для приближенного решения и { х ) £ |
|||||
£ Р |
о |
П |
о j |
|
1), полученного при q = q0, 2q0— 1 ^ |
п9спра |
|||
a Wr |
Wг (0, |
||||||||
ведлива оценка |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(2<Уо— l)tt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
где М — постоянная, не зависящая от h. |
|
|
|
||||||
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Положим |
|
|
|
||||
|
Р (и , |
V) = |
F(a) + f7( » ) - 2 F ( - i 4 ^ ] V*, |
V ц, |
v£D(F). |
||||
Как показано при доказательстве теоремы V.5, выполняется нера венство
Ki||u — o| r.i< p(u , »). Кх = - у = - > о
Пусть и = и*, v — v Тогда
,N
К, II и, - и. Ik, < р (и „ и ") = [ F (и.) + F (и ") - 2 F (U*+U‘
Поскольку
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
и* + U |
|
|
|
|
||
|
|
|
F |
2 |
> F (u *), |
F ( i ^ ) ^ F ( u r), |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и, (х) = |
|
S ' ЛЧ4 ((/ + 1) h) ф*, (х) + |
Е |
и* ((/ + |
1) Л) Фп/ (*) |
|||
|
s=l |
/= —I |
|
|
и* (.х) |
/=0 |
|
|
|
есть эрмитов |
|
интерполянт |
функции |
на |
соответствующем под- |
||||
пространстве |
c. |
справедливо неравенство |
|
|
|||||
Р , то |
|
|
|||||||
|
|
|
«Ы,- |
и" ||г,. < - £ - [/• (И/)- |
^ («*)]V‘. |
(V.50) |
|||
|
|
|
|
|
0. |
|
|
|
|
|
Если для построения базиса Р натуральное число q0 выбрано так, |
||||||||
что 2 <7о — 1 ^ |
|
путо согласно теореме V.8 для любого такого q0 |
|||||||
|
|
|
!! и, - |
и, Ik! < К, II и* II |
|
|
(V.51) |
||
|
Таким образом, из неравенства (V.50) с учетом выполнения усло |
||||||||
вия (V.49) и оценки (V.51) непосредственно следует |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(2<у0—1)а |
|
|
|
|
|
|
|
К - Л , < М А |
2 |
|
|
||
где М — константа, |
не зависящая от h. Теорема доказана. |
||||||||
|
Вопрос о точности приближенного решения |
(х) можно решать и |
|||||||
на |
основе следующей теоремы. |
|
|
|
|
||||
|
Теорема |
V.10. Пусть функционал F (и), D (F) = |
wr (0, 1), 1 < |
||||||
< |
г < оо, задачи (V.45) — возрастающий, удовлетворяет условиям |
||||||||
теоремы V.5 и, кроме того, его градиент А = grad F, D (А) = D (F)t удовлетворяет для ограниченных аргументов условию Липшица, т. е.
ИАи — Av И* ^ /С (с) II« — vIk.. |
(V.52) |
|
при любых и, v£D( A) таких, что |и |ki ^ |
с и |v Цг,| ^ |
с. |
Если щ {х) £ Wnr+' (0, 1) П И7' (0. 1). а |
М получено при q = qQt |
|
2q0— 1 п, то |
|
|
\ K - u U r3 < M h ^ - \
где постоянная М не зависит от h.
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Как и при доказательстве теоремы |
V.9, легко получаем (V.50) |
|
II и* — и" Iki < |
[F(U/) — F (и*)]7*, |
о
где и/ — интерполянт и* из Р
Согласно существующему соотношению (V.41) между функциона лом F (и) и его градиентом А в нашем случае справедливо тожде
ство [64]
F(v) — F (и) = |
J (А (и + t (v — u))t |
v — u)dt |
(V.53) |
|||
|
|
0 |
|
|
|
|
при любых u,v £ D (A) = D (F). Положим теперь и = ы*, о = |
uj. По |
|||||
скольку F (и*) = min |
F (и), имеем Лы* = 0 |
и соотношение |
(V.53) |
|||
u£D(F\ |
|
|
|
|
|
|
можно переписать в виде |
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
F {и,) — F (и*) = | (А (ы* + 1 (и, — и*)) — Ли*, и, — и*) Л. |
|
|||||
О |
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|(Л (и* + |
t (и, — и*)) — Ли*, |
и/ — и*) К |
|
|||
II Л (^* Л" ^ |
~“ ^Лс)) —” |
I!* |Ш— И*||г,1> |
|
|||
то с учетом (V.52) имеем |
|
|
|
|
|
|
|F (и,) - |
F (и*) |< |
К (с)/21 и/ - |
и* ||?.ь |
(V.54) |
||
Учитывая (V.50), (V.54) |
и оценку |
(V.51), |
окончательно получаем |
|||
\ K -u i\ rA^ M h ^ -\
где М — постоянная, не зависящая от ft, что и требовалось доказать. Как следует из формулировки и доказательства теорем V.9 и V.10, их результаты будут справедливы и в случае функционалов, более общих, чем (V.45), но подчиняющихся аналогичным условиям.
4. Численные примеры. Пример 1. Рассмотрим подробно числен ное решение нелинейной вариационной задачи методом конечных эле ментов в случае отыскания минимума функционала
1
F (и) = |
j |
|
+ и2 + и4 — f (х) .] dx, |
(V.55) |
||
/ (х) = |
О |
|
|
х) + |
2*3 (1 - хП |
|
2 [2 + |
х (1 - |
|
||||
на множестве функций, |
удовлетворяющих условию |
|
||||
|
|
ы(0) = ы(1) = |
0; |
(V.56) |
||
точное решение задачи |
ит= |
х {х — |
1). |
|
|
|
Для этого вначале исследуем свойства данного функционала, что бы убедиться в существовании искомой функции ы* (х), доставляющей минимум функционалу F (и), и в теоретически обоснованном приме нении МКЭ (см. теоремы V.5, V.7, V.10).
0 1
Пусть D (F) = Wi (0, 1), в котором норму определим равенством
(При описании примера 1 эту норму будем обозначать так: | J.J
Напомним, |
что функции |
и (х) £ |
о |
(О, 1) абсолютно непрерывны |
|||
на отрезке [0, |
1] и для них |
справедливо неравенство |
|
\ u 4 x< - ir \ [ -W )d ^
Оо
о J
1.Докажем, что функционал F (и) непрерывен в пространстве №2 (О,1).
Для этого достаточно убедиться в непрерывности^ функционала
|
|
|
ф (и) = |
j* [(-^г)2 + |
И* + “4] dx. |
|
|
|
||||
|
|
|
и . |
1) и I ип— и I —*■0 при п -*• оо. Тогда |
|
|||||||
Пусть ип, и £ W2(0, |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
dun |
du |
\ / dun„ |
, |
-du |
\ |
|
|
|
| Ф (« „)-Ф (ы )| < |
Яdx |
dx |
dx |
T |
dx |
) dx + |
|||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
J («„ — u) (un + u)dx |
- f j (u„ — u) («„ - f |
u) (tin+ |
Ы2) dx |
(V.57) |
|||||||
|
Рассмотрим последний интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
U — |
| (ы„ — ы) (ы„ + и) {и\ + |
и2) dx |
|
|
|
||||
Поскольку Иип— и I |
0 |
при п -v оо, |
то для |
достаточно |
большого |
|||||||
значения |
п, |ип||< сг |и ||, с, = const, |
и согласно теореме вложения |
||||||||||
Соболева |
при |
х £ [0, |
1 ] |
справедливо |
неравенство |
и2п (х) + |
и2 (х) ^ |
|||||
^ |
с I и р, с = |
const. (В дальнейшем все постоянные будем обозначать |
||||||||||
буквой с, хотя они различны по значению.) Теперь легко получить оценку интеграла
и аналогично — остальных интегралов неравенства (V.57). В резуль тате находим
Iф («п) — Ф («) К с 1 ы„ — иу ип+ и||.
Так |
как норма |
||н„ + ы| |
ограничена при |
|ип— ы|->0, |
послед |
нее |
неравенство |
доказывает |
непрерывность |
Ф (и), а значит, |
и F (и) |
вЙ (0, 1).
2.Рассмотрим теперь вопрос о существовании и свойствах гради-
ента А исследуемого функционала F (и). Для V и, v £ D (F) = |
0 1(0, 1) |
||||||||||||
из |
непосредственных |
подсчетов |
получаем |
|
|
|
|||||||
|
Fu |
dF (и + tv) |
,=0 = |
2 |
( (■ч г ч г |
+ ии + 2“ 3у) dx~ [ fvdx- |
|||||||
|
|
It |
|
||||||||||
Для доказательства того, что dP |
|
^ I |
при любом фиксированном |
||||||||||
элементе |
|
О. |
|
1) есть |
линейный |
~ |
|
|
|
||||
и £ W2(0, |
ограниченный функционал от |
||||||||||||
|
о , |
|
достаточно доказать |
это |
для выражения |
|
|
||||||
v £ W a(0, 1), |
|
|
|||||||||||
|
|
|
ф(ы, v) = |
1 |
|
|
+UV + |
2u3vj dx. |
|
|
|||
|
|
|
J |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
С |
помощью рассуждений, |
аналогичных приведенным в п. 1, |
нетрудно |
||||||||||
получить |
оценку |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
| Ф (и ,»)1 < с| и | М , |
|
|
||||||
которая |
свидетельствует, |
что Ф (и, v) есть |
линейный |
ограниченный |
|||||||||
|
|
|
|
и |
I |
1) |
при любом фиксированном |
элементе и £ |
|||||
функционал от v £ W2(0, |
|||||||||||||
£ W\ (0, |
1). Из ограниченности |
линейного |
функционала |
F (и + |
|||||||||
+ |
tv) |,= ) |
следует |
существование |
оператора А с D (А) = |
D (F) = |
||||||||
= |
О |
1), |
который является |
градиентом |
функционала F (и), А = |
||||||||
W2 (0, |
|||||||||||||
= |
grad F (и), |
и определяется равенством |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
(Fu, v) = |
{Аи, v) = 2 1 |
|
-^ - + |
uv + |
2u3v ----- j- /о] dx. |
(V.58) |
||||||
|
|
|
|
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Убедимся, |
что |
оператор |
А = |
grad |
F (и) |
имеет производную Аи. |
||||||
Пусть w £D (Л) == W2(0, |
1). Тогда |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
(А (и + |
tw), v) |<=0 = (AuW, v) = |
|
|
|||||
|
|
|
|
= |
2 J ("S T “2F + wv + б“ 2аУУ) dx |
|
(V.59) |
||||||
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и 1 |
|
|
и j |
и для любого фиксированного элемента и £ W2(О» 1) и V w, v £ W2(0, 1) |
||||||||||||
легко |
получить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|(A'uW, v) К |
с Iw11 vЦ, |
|
|
|
||||
откуда следует, |
что |
(Auw, |
v) |
есть билинейный функционал над v и |
||||||||
w, ограниченный в |
о . |
1). |
|
|
|
|
|
|
||||
W2(0, |
, |
|
|
|
о j |
|||||||
Таким образом, |
производная |
|
|
|
||||||||
Аи существует при |
V и £ W2(0, 1) и |
|||||||||||
D (Ли) |
совпадает |
с |
|
О |
D (F) = D (А). Оператор |
Л« определяется |
||||||
|
W\ = |
|||||||||||
выражением (V.59). Для |
|
|
|
|
о |
справедлива оценка |
||||||
Аи при V v £ W2(0, 1) |
||||||||||||
|
|
(AuV, v )^ y 2\\vf, |
у > 0 — const, |
|
|
|||||||
что непосредственно следует из (V.59): |
|
|
|
|
||||||||
|
|
(Auv, V) > 2 ^ - % r Jdx = 21|оf . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
3. |
Покажем, |
что |
функционал F (и) — возрастающий в |
принятой |
||||||||
норме |
пространства |
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2(0, 1). Действительно, |
|
|
|
||||||||
|
F (“> = j |
[(-w )2 + |
«2 + |
«4 - |
/«] dx> j ( - w |
J dx ~ |
||||||
|
о |
L |
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
— J fudx> IIиЦ» — |
|
pdx^j |
^j |
U2dx"j |
> IIиf — ^j [ 2dxj |
- M - , |
||||||
т. е. F (и) -*■ оо |
при |
I ы! —►оо. |
|
|
|
|
|
|
||||
В то же время если ||« |^ М, то легко получить оценку |
|
|||||||||||
|
IF (и) |< |
( X |
+ |
cj |иf + |
у = - [ j FdxJ21 и I, |
|
||||||
откуда следует ограниченность |F (и) |при ограниченности |
|и ||, т. е. |
|||||||||||
функционал F (и) — возрастающий. |
|
|
|
grad F (и), опред^. |
||||||||
4. |
В заключение докажем, что |
оператор Л = |
||||||||||
ляемый выражением (V.58), удовлетворяет условию Липшица при |
||||||||||||
ограниченных аргументах. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть и, w£D (Л) = |
]р12(0, |
1) и I ы | К М, |w ||< М. Тогда Со- |
||||||||||
гласно |
(V.58) |
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dw \ dv |
, |
|
|
|
|
|(Аи — Aw, v) | |
2 1 |
du |
|
|
|||||||
|
Ч Г - - ! Г ) ч Г йх + |
|
||||||||||
О