Основы метода конечных элементов

иными словами, и0(х) удовлетворяет требованиям (11.20), (11.21) или (11.16).

Завершая обсуждение постановок задач, связанных с решением обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, пока­ жем, как можно определить обобщенное решение независимо от задачи о минимизации функционала энергии. Для этого ограничимся рассмотрением задачи (11.13) — (11.15).

Пусть данная задача имеет решение и(х) £ D (А), т. е. и (х) — не­ прерывная и дважды кусочно-дифференцируемая функция, удовлетво­

ряющая условиям (11.14), (11.15). Умножим скалярно обе части урав-

о

нения (11.13) на произвольную функцию v (х) £ W> (0, I):

Из полученного соотношения видно, что решение и (х) задачи (11.13) — (11.15) удовлетворяет тождеству

Таким образом, оказывается, что нахождение решения краевой задачи (11.13) — (11.15) эквивалентно нахождению функции, удовлет­ воряющей интегральному тождеству (11.28) и краевому условию

01

€№2 (0 , /), удовлетворяющая интегральному тождеству (11.28) при про-

0 .

извольной функции v{x) £ W2(0, /), называется обобщенным решением задачи (11.13) — (11.15).

Аналогичное определение обобщенного решения с помощью интег­ рального тождества можно вводить и для других краевых задач, вы­ бирая в каждом конкретном случае соответствующее пространство V функций v (х) £ V, на которых рассматривается интегральное тожде­ ство. Определение обобщенного решения таким способом особенно важно для задач, оператор которых не является положительно опре­ деленным, а также в случае особенностей в исходных данных задачи.

Нетрудно убедиться, что для краевых задач с положительно опре­ деленными операторами оба определения обобщенных решений совпа­ дают (см., например, [83]).

3. Обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого поряд­ ка. К решению дифференциальных уравнений четвертого порядка приводит, например, рассмотрение изгиба непризматических балок, лежащих на упругом основании. Исследование поведения балочных элементов позволяет изучить сколь угодно сложную балочную систему, например простые и сложные рамы, судовые перекрытия, изгиб судо­ вого корпуса; выполнить расчет общей прочности при спуске судна или постановки его в док и т. д.

Уравнение изгиба балки длины /, лежащей на упругом основании, имеет вид

^ ( £ ^ ( * ) - § г ) — т ТЕГ + q(x)w(x) = f{x), О < Х < 1 .

Здесь w (х) — прогиб балки в сечении с абсциссой х, Е J (х) — пере­ менная жесткость на изгиб, q (х) — переменная жесткость упругого основания, Т — осевые силы, f (х) — интенсивность нормальной нагрузки.

Если концы балки жестко закреплены, то выполняются краевые условия

В зависимости от других видов закрепления концов возникают и дру­ гие краевые условия. Например, если конец х = / свободный, а другой жестко закреплен, то краевые условия имеют вид

В данном конкретном случае достаточно, чтобы функции Vм(х) были непрерывными на [О, Л, обладали интегрируемыми с квадратом производными и удовлетворяли условиям (11.33). Такие допустимые функции будут принадлежать некоторому конечномерному множеству

Р d w\ (0, /)• Иногда целесообразно потребовать большей гладкости vN(х), например непрерывности функции и ее первой производной на [О, Л. При этом соответственно изменяется и вид (свойства) базисных функций.

Так как при использовании метода Ритца важно обеспечить только требуемые свойства допустимых функций, а не конкретный вид бази­ са, то можно и целесообразно строить непосредственно именно допус­ тимые функции. Итак, определим на каждом элементарном отрезке {*/_!, x j некоторый полином с неизвестными коэффициентами, подчи­ нив его надлежащим условиям гладкости в граничных точках отрезков. Такая кусочно-полиномиальная на [О, Л функция будет обладать все­ ми необходимыми свойствами допустимых функций.

Условимся обозначать множество допустимых кусочно-полиноми­

альных функций через РЙ, где п — степень используемых полиномов

h = шах ht, hi = xL— х /_ 1. i

Опишем теперь применение различных кусочно-полиномиальных функций для дискретизации задачи (II. 1), (И .2).

1.Кусочно-линейные полиномы. Пусть приближенное решение

пустимые функции vN(х) на каждом элементарном отрезке имеют вид линейного полинома с неизвестными коэффициентами и удовлетворя­ ют условию (11.33). Чтобы обеспечить однозначность и непрерывность допустимой функции vN(х) на всем отрезке [0, /], определим ее коэф­ фициенты на каждом элементарном отрезке [x*_i, x j через фиксиро­ ванные параметры, а именно через значения допустимой функции в узловых точках

Элементарный отрезок [x/_i, x j, в узлах которого зафиксированы зна­ чения допустимой кусочно-линейной функции, будем называть одно­ мерным линейным элементом и обозначать так: «/ 1—2» (полином пер­ вой степени, параметры фиксируются в двух узлах). Схематически этот элемент можно изображать в виде v • v, или просто •—•.

Если описанную допустимую функцию vN(х) подставить в функци­ онал (11.32), то F (vN) окажется квадратичной функцией всех фиксиро­

значение uN (XN) уже известно из условия (11.33): uN(XN) = gt.

Учитывая вид функции т(6) и соотношение (II.41), представим функционал (11.39) в виде

i t i t 1

К— Xt — x,_i.

Вслучае переменных k (х), q (х) матрица S- 1 остается постоянной

для всех элементов, R\ и R°t вычисляются посредством квадратурных формул для каждого элемента [х<_ь x j. Аналогично вычисляется век­

Символ F? (vN) здесь (в дальнейшем F„) будет определять значение функционала, полученное на классе допустимых кусочно-полино­ миальных функций первой (л-й) степени при максимальной длине h элементарных отрезков [xi—\, Xi\:

h — шах h(, ht = xt — x(-i.

элементарных векторов нагрузки bi = [b{, Ь[У

Формально переход от общей матрицы К и вектора b к матрице К и вектору b окончательной сеточной системы (11.46) состоял в том, что

последний столбец матрицы К, являющийся столбцом коэффициентов при известном параметре VN = g2, был умножен на g2 и перенесен в правую часть системы (вычтен из вектора Ь)', кроме того, были отбро­

шены последняя строка матрицы К и последний элемент Ъ, отвечающие в определенном смысле этому, уже известному, параметру VN.

Систему уравнений (11.46) обычно называют системой уравнений метода конечных элементов. Проиллюстрируем описанную методику