Основы метода конечных элементов
..pdfТаким образом, |
допустимые |
|
|
|
|||
функции в этом случае оказы |
|
U0( X £) |
|
||||
ваются не только непрерывными, |
|
u t |
|||||
но и непрерывно дифференцируе |
|
|
|
||||
мыми на всем отрезке [О, Л, т. е. |
0 |
— 1 |
—0,99997980 |
||||
v" (х) £ Й с |
Wl (0 , |
1) cz W\ (О, |
|||||
0,125 |
—0,86685155 |
—0,86684281 |
|||||
/). Схематически данный элемент |
0,25 |
—0,71597458 |
—0,71596147 |
||||
будем изображать |
в виде |
v, |
0,375 |
—0,54500859 |
—0,54501700 |
||
v' ф—ф V^V' H называть кубичес |
0,5 |
—0,35127873 |
—0,35126943 |
||||
ким элементом Эрмита. |
|
0,625 —0,13175404 |
—0,13177631 |
||||
по |
0,75 |
0,11700002 |
0,11701080 |
||||
Дальнейшие рассуждения |
0,875 |
0,39887529 |
0,39883981 |
||||
построению |
элементарных мат- |
|
|
|
риц жесткости и масс, векторов нагрузки, а также формированию из них соответствующих систем
уравнений МКЭ проводятся аналогично предыдущим.
Приведем здесь лишь некоторые результаты, относящиеся к эле менту «13—2». На «каноническом отрезке», полученном преобразова
нием (11.38), допустимая функция имеет вид |
|
|
|
|||||||||
|
vN ( X i - 1 + |
fife) = |
г (£) = |
ay + |
<х2| + |
аяъ2+ |
a4g3. |
|||||
При |
этом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V i - i = r ( 0 ) = a v |
|
|
|
|
|||||
|
|
Vl~l = |
rt (0) ~f^~ = |
a2 |
|
» |
|
|
||||
|
V{ = r (1) = <x, + a2 + a3 + a4, |
|
|
|||||||||
|
v'i = |
П(1) - r - |
= |
(a, + 2a3 4- 3a4) - j - |
, |
|||||||
|
|
|
ni |
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|
|
|
dvn |
|
dr |
dt |
|
|
|
rl ~ |
d\ |
’ |
V |
~ |
dx |
~ |
dl |
dx |
|
|
|
Таким |
образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o){ = |
n fSa. |
|
|
|
|
||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ i |
|
|
|
|
|
|
|
|
o ' |
|
Vi-1 |
|
|
i |
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ht |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
V t - \ |
По |
l |
|
|
, |
5 = |
1 |
1 |
1 |
1 |
, |
CD, = |
|
|
|
|
|
|
|
|
Vi |
|||||
|
|
i |
|
|
|
|
_0 |
1 |
2 |
3_ |
|
Vi |
|
|
h |
_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно,
a = S 'nr'w f,
где
- |
1 |
0 |
0 |
0 - |
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
. (Н.48) |
|
— 3 |
— 2 |
3 |
пг' = |
|
|
— 1 |
1 |
|||
_ |
2 |
1 |
— 2 |
1 - |
Ы- |
Элементарные матрицы жесткости К\ и масс K°t = М{ строятся спо собом, подробно описанным в п. 1 параграфа II.2, и имеют вид
к\ = |
|
|
|
K°i = n rls~TR°iS-lnTl = |
М(. |
||||
Здесь |
О |
О |
|
О |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
О |
J Щ |
2 j |
\kdl |
z\l*kdl |
|
|||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
* } = |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
0 |
2 [ikdl |
4 [l*~kdl |
6 \l*~kdl |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
0 |
3 \\4dl |
6 \l*kdl |
9 J l*kdl |
|
||||
|
|
о |
|
о |
|
|
о |
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
l~qd\ |
[lqd.% |
J i V i |
|
J Vqdl |
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
\\qdl |
J I'qdl |
j |
l*~qdl |
J « |
|
|||
R r |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 W l |
J V qdl |
J Vqdl |
|
\l* q d l |
|
|||
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
J&V E |
J i v i |
|
|
|
J I V I |
|
||
|
|
коэффициентов k (x) = |
kQ, q (x) ^ |
<7o |
|||||
|
|
156 |
|
2 2 ft, |
|
54 |
|
- 13ft, |
|
Qohi |
|
2 2 ft, |
|
4ft? |
|
13ft, |
- -3ft? |
= Mt |
|
420 |
|
54 |
|
13ft, |
|
156 |
|
- -22 ft, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
- 13ft, |
|
3ti |
- |
22 ft. |
4ft? |
|
|
|
|
" |
36 |
3ft, |
— 36 |
3hi~ |
|
||
/Ci = |
|
|
3ft, |
4ft? |
— 3ft, |
- h i |
|
||
ЗОЛ, |
— 36 |
1 GO |
|
36 |
— 3Ht |
|
|||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
3ft, |
- f t ? |
— 3ft, |
4hi |
|
|
|
“ L |
“ \ |
“ о (xi) |
0 |
— 1 |
—0,99999760 |
1,0002970 |
1 |
0,25 |
— 0,71597458 |
—0,71596577 |
1,28 4 16 15 |
1,28302542 |
0,5 |
— 0,35127873 |
— 0,35126443 |
1,6486437 |
1,64872127 |
0,75 |
0,11700002 |
0,11674656 |
2 ,1115 5 8 2 |
2,11700002 |
1 |
0,71828183 |
— |
2,7173658 |
2,71828183 |
Система уравнений МКЭ, сформированная из элементарных матриц жесткости, масс и векторов нагрузки,
Кг — Ь,
при разбиении отрезка [О, Л на ^элементов вида «/ 3 —2 » имеет порядок 2N + 1. Решение ее определяет следующие значения приближенного решения uN (х):
г = |
[нем (uo)'t Hi, (u f)'i . . UN—U (UN- IY>(u$)']T, |
|
, JVw |
dur |
|
где (« ,) = |
— |
U , |
Пример |
3. Решить краевую задачу примера 1 с использованием эле |
ментов вида йЪ— 2 ».
Для вычисления приближенного решения использовалась равно мерная сетка с h = 0,25. Полученные значения приближенного реше
ния щ и соответствующие значения производной щ в узлах сетки пред ставлены в табл. 3. Расчет выполнялся, как и прежде, на ЭВМ МИР-2, R = 8 .
4. Дискретизация задач с разрывными решениями. Построение ме тодом конечных элементов приближенного решения краевой задачи с разрывными коэффициентами и решениями (см. п. 2 параграфа II. 1) выполняется аналогично описанному в трех предыдущих пунктах. Отметим только некоторые особенности (в предположении наличия
одной |
точки |
разрыва х = £). |
Разбиение |
исходного отрезка [0, /] на N элементарных отрезков |
|
U /_i, |
Х{], i = |
I -г- N, необходимо выполнять так, чтобы точка х = £ |
разрыва решения (см. условие (11.16)) совпадала с некоторым гранич ным узлом хр, 0 < р < N, двух соседних элементов [xp_i, хр] и [хрг *р+1]. Кроме того, определяя допустимую функцию vN(х) на этих со седних элементах, в узле хр = £ нужно фиксировать два значения приближенного решения:
t f = f l 4 + 0), «г = Л ! - о ) .
При этом, конечно, следует позаботиться о том, чтобы построенная на всем отрезке [0 , /] кусочно-полиномиальная функция Vs (х) принад лежала пространству функций, на котором достигается минимум со ответствующего функционала (11.26).
П
В остальном построение элементарных матриц жесткости масс и векторов нагрузки, а также формирование системы уравнений МКЭ не имеет принципиальных отличий. Заметим, что матрица сеточной системы в данном случае, сохраняя ленточный вид, будет состоять из двух отдельных блоков, отвечающих отрезкам [0 , |] и [|, /].
Пример 4. Найти численное решение краевой задачи
|
|
|
|
и(0) = 0 , ы(1 ) = 0 , |
|
|
|||
|
|
|
|
= |
0 , |
[и] |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
*" |
з |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ,6 , |
0 < |
х < |
V8, |
|
— 7б,8л ]/3 co s 1бях, 0 ^ л : < 1/а» |
|||
k(x) |
•С |
V3 < |
х < |
1 , |
f(x) |
= |
24я sin 2ях, |
V , < x < l . |
|
Точное |
решение задачи следующее: |
|
|
|
|||||
|
|
«о(*) = |
^я |
sin2 8ях + 2 х, 0 ^ |
х < |
V9. |
|||
|
|
1,5 sin 2пх, |
1/„ < |
х ^ 1 . |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
|
Решение данной дифференциальной задачи эквивалентно отыска
нию функции, минимизирующей |
функционал |
F (v) = j [k (х) (-£ -)* - |
2 fv] dx + 9 [o]Lv. |
на множестве функций
м_(Мх). 0 < x < V 8,
»/ , < * < 1 ,
где
»iW € ^ (0 , V8), |
0,(0) - 0 , v3(x)tW\{43, 1), |
of( l ) - 0 . |
||||
Для |
построения |
приближенного |
решения xf* (х) |
разобьем отрезок |
||
1 0, 1 ] |
следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
xi = -±r i, |
* = |
0-7-8; |
x, = |
-J-(*-6), i = |
8 ~ 12. |
Таким образом, отрезок [0, |
1] представлен как объединение 12 эле |
|||||
ментов, |
причем на участке [0,1/3] длина каждого элемента Л, = 1/24, |
а на участке [1/3, 11 — Л2 = 1/6. Такой выбор сетки диктуется требо ванием выявить особенности поведения решения, быстро осциллирую щего на отрезке [0,1/3].
В качестве допустимых функций в данном примере использовались кусочно-линейные полиномы. Как свидетельствуют результаты, пред-
ч |
UoUf) |
«i |
|
|
|
1/24 |
0,4968300035 |
0,4968299988 |
1/12 |
0,5801633395 |
0,5801633237 |
1/8 |
0,25 |
0,2499999806 |
1/6 |
0,7468300004 |
0,7468299875 |
5/24 |
0,8301633424 |
0,8301633118 |
1/4 |
0,5 |
0,4999999751 |
7/24 |
0,9968299970 |
0,9968299889 |
1/3 |
1,0801633440 |
1,0801633260 |
1/3 |
0,4134966721 |
0,4134966664 |
1/2 |
0 |
<—0,331283-10—8 |
2/3 |
— 0,4134966721 |
—0,4134966738 |
5/6 |
—0,4134966721 |
—0,4134966719 |
ставленные в табл. 4, линейные полиномы в этой задаче обеспечили получение практически точного решения. Расчет выполнялся на ЭВМ МИР-2 при разрядности R = 10.
11.3.Обоснование метода конечных элементов
Вданном параграфе будет исследована сходимость приближенного решения, полученного методом конечных элементов, к точному реше нию соответствующей задачи. Кроме того, будут изложены некоторые практические оценки точности вычисленного на ЭВМ решения.
1.Сходимость МКЭ. Для простоты и ясности изложения остано вимся на задаче о нахождении решения уравнения
----- “S " ) |
-h |
= /(•«). |
0 < х < 1 , |
(11.49) |
удовлетворяющего краевым условиям |
|
|
||
|
|
ы(0) = ы(/) = 0. |
(11.50) |
|
Ограничения на |
коэффициенты и |
правую часть такие же, |
как в |
п. 1 параграфа 11.1. Эта задача эквивалентна задаче об отыскании функции, доставляющей минимум функционалу
F(v) = lv,v]A— 2 {f,v )= U k (-^ r ) |
+qv1 — 2fv\dx |
(11.51) |
|
|
0 |
|
|
в энергетическом пространстве |
НА оператора |
задачи (11.49), |
(11.50). |
В данном случае НА совпадает |
с пространством функций Щ (0, /) сг |
с=П7' (0 , I).
Обозначим через и (х) функцию, доставляющую минимум функцио налу F (v). (Заметим, что и {х) является обобщенным (или классичес ким) решением задачи (11.49), (11.50).) Пусть uN(х) — приближенное решение, полученное методом конечных элементов по методике,
описанной в параграфе II.2 (вариант метода Ритца). Для конкретности будем предполагать, что uN (х) доставляет минимум функционалу (И .51)
на |
множестве функций из конечномерного подпространства Ph\cz |
|
с= |
о |
2 (0 » О» т* е* подпространства кусочно-линейных полиномов, со |
1^ |
ответствующих элементу «Л—2 » и принимающих нулевые значения в точках х = 0 и х = I.
Оценим близость uN(х) к точному решению и (х) в метрике про странства W\ (0, /)> которому принадлежат обе функции. Для этого рас смотрим погрешность и (х) — uN (х) вначале в энергетической норме
I и - и” 15 - \и - и", и - „ « ], _ | ( * ( - £ _ j £ ) * + , ( „ _ „")* ) dx,
а поскольку энергетическое пространство в данном случае состоит из О,
функций, принадлежащих W2 (0 , /), и нормы в этих пространствах эквивалентны [68], то из сходимости в энергетической норме сразу
будет следовать сходимость в норме пространства WQ(0, /). (Напомним, что нормы |I, и I |2, введенные для элементов пространства Ж, назы ваются эквивалентными, если для всех и £ 33
с2 IIu Ц2 ^ IIц Hi |
11“ L |
с „ с2 > 0 — постоянные.) |
|
Как показано в [101], |
|
|
|
||ы— uN |л = |
min I u — vN |fr. |
(11.52) |
Действительно, если uN минимизирует функционал (И .51) на множе-
|
|
0 . |
|
|
|
произвольного |
числа е будем |
||
стве функций о" £ Р ь то для всех о" и |
|||||||||
иметь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F (uN) ^ F (uN + |
&vN) = [uN + eow, uN |
|
EVN \A — 2 (/, uN+ |
EVn) = |
|||||
= |
[uN, uNU — |
2 (/, |
uw) + |
2e ([«w, V N }A — |
(/, ow)) + e2 [ow, |
=. |
|||
|
= F (uN) + |
2e ([uN, V N)A - |
(/, |
v »)) + e2 [о", о"]л, |
|
||||
откуда |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 e ([uw, |
— (/, v*)) + |
e2 [о*', |
|
|
|||
Так как е — произвольное |
число любого знака, то |
|
|
||||||
|
|
[«Л Л , |
= (/. о"), |
v |
vN g Р°?. |
|
(П.53) |
||
В случае минимизации функционала Р |
(о) на всем |
энергетическом |
|||||||
|
О. |
(0, |
/) условие (11.53) |
принимает Нид |
|
||||
пространстве W2 |
|
||||||||
|
[и, V \A — (/, о) для |
|
|
о |
|
|
|||
|
всех |
1>£№2(0, /)• |
|
(П .54) |
(Ср. с другой формой определения обобщенного решения, упомяну той в п. 2 параграфа II. 1, а именно через интегральное тождество
(11.28).) Далее, поскольку равенство (11.54) справедливо при V и £
£ М (0 , 0 , a « " ( f t c f c |
(0 , /), |
имеем |
|
|
[и, А а = (/. |
Л |
V «"£/>?. |
(Н.55) |
|
В результате, вычитая |
(11.55) |
из |
(11.53), получаем |
|
[u— uN,vNU = 0, |
Vuw£Pi. |
(П.56) |
Наконец, чтобы убедиться в справедливости (11.52), рассмотрим энер гетическое произведение
[и — uN - vN, и — uN— v»]A = \u— uNfA— 2[u — uN, VN\A + II vN fA.
Согласно (11.56)
о.
ции vN£ Р и причем равенство достигается только в случае |vN||^ = = 0, т. е. при vN = 0. Поэтому можно утверждать, что минимальное
значение выражения |и — vN fA при любой функции vN£ РН\ дости гается лишь в случае vN= uN, т. е. справедливость (11.52) установле на. Таким образом, имеем
|
|
1и — uN fA= min II и — vNfA < |
II и — и/\А, |
(11.57) |
||||||
|
|
|
vN<Zl |
|
|
|
|
|
||
где |
N |
|
функции |
и (,х) из |
|
|
°h |
|||
Ui — интерполянт |
подпространства Pi, а не |
|||||||||
приближенное |
решение |
МКЭ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
Иными словами, и1} {х) — кусочно-линейный полином, |
принимаю |
||||||||
щий в узлах сетки xit i = 0, |
1, |
..., |
N, |
одинаковые |
с и (х) |
значения: |
||||
u!j |
(хс) — и (.xi), |
т. е. iij |
(х) |
на |
каждом |
элементе |
[xt—u |
является |
лагранжевым линейным интерполянтом функции и (х).
В дальнейшем нам понадобится следующая элементарная лемма.
Лемма II.1. Пусть непрерывно дифференцируемая на [а, Ь] функ
ция ф (х) |
имеет в {а, |
Ь) ограниченную вторую производную |
|
|||||||
|
d2y |
== I ф"(x) I < С2 |
и ф(а) = |
П1 , |
ф(6) = |
Ла- |
|
|||
Тогда |
dx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|Ф (х) К |
max |Л/1 + 4 " |
(^ — а)2> |
|
(11.58) |
||||
|
|
^ |
I 4i 1 + I Ла I |
+ С2(Ь— а), |
dy |
= |
ф' (*)• |
|
||
|
|
^ |
Ь — а |
dx |
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Пусть |
(х) = |
% |
|
+ |
Ла |
ин- |
|||
терполяционный полином Лагранжа функции ф (х), х £ [а, Ь\. |
|
|||||||||
Тогда |
можно |
записать |
1И*)* х£[а,Ь], |
|
|
|
||||
|
|
ф(*) = |
М * ) + |
|
|
|
||||
где ф (х) — остаточный член формулы Лагранжа, |
т. е. |
|
'Пх) = -2 -р -{х — а)(х — Ь), a s^ l^ b ,
тельно, и в норме J U2.1 пространства W2 (О, /). Действительно,
\u— uNfi = ^ { k ( ^ — — r ') + q{u — uNf}d x > |
|
/ |
О |
/ |
|
> |
* • ! ( - § - - ^ г ) 2 ^ |
+ ? • J ( « - ы" ) 2 **• |
||
|
|
|
о |
о |
|
Здесь q0 = min |
q |
(х). |
|
|
|
Если % |
Os^x^l |
|
|
|
|
0, то |
/ |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
IIЫ — UN IA >m 0 j ((-^ -(« — «")) + |
(и — u")2) d* = |
m j и — ы№Щи |
|||
где т0 = |
|
о |
|
|
|
min (kQ, q0). Если q0 = 0, |
то, использовав неравенство |
||||
|
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
О. |
|
справедливое для любой функции £ (х) £ W? (О, Г), получим |
|||||
|
|
|
\u — uNfA'^ m l \u — uNt.u |
|
|
где т1= |
. I |
k0 |
Jl2k0 \ |
|
|
min |
|
, -% h ) . |
|
|
|
Таким образом, суммируя результаты, можно утверждать справед |
|||||
ливость |
следующей теоремы. |
|
|
||
Теорема II.1. Пусть функция и (х), доставляющая минимум функ- |
|||||
|
|
|
о |
|
I) ограниченную |
ционалу (11.51) в пространстве W2 (О, /), имеет в (О, |
|||||
вторую производную |
|
|
|||
|
|
|
-g -| < M a. |
(11.59) |
Тогда для приближенного решения uN (х), полученного методом конеч ных элементов с использованием кусочно-линейных допустимых функ ций, справедлива оценка
Хи — ^Ь л^С гМ ^
где С1— постоянная, не зависящая от максимального шага h введен ной сетки.
Нетрудно проверить, |
что в наших прежних обозначениях Сх =■ |
||||
= С \fG, где |
|
|
|
|
|
_ 1_ |
т0= |
min (k0, q0), |
при qo¥=0, |
||
Ото |
|||||
|
|
|
|
||
О |
|
|
|
|
|
1 |
m1 |
= |
m i n ( A - , - ^ ? - ) |
при q0= О, |
|
Щ 9 |
C < |
{k + q) dxj при Л ^ 8 . |
Аналогичным образом можно исследовать сходимость МКЭ при использовании других видов кусочно'полиномиальных допустимых функций. Полученные результаты обобщаются одной теоремой.
Теорема 11.2. Пусть функция и (jf) минимизирует функционал
0 1
(11.51) в пространстве W2 (0, [), a uN {х) — приблиокенное решение,
минимизирующее функционал (11.51) ни конечномерном подпростран-
° . о .
спгве Р„ cr W2 (О, I) кусочно-полиномиальных допустимых функций степени п. Если и (х) имеет в (О, I) ограниченную производную порядка
п + 1 :
|
|
|
dn+[u < м , |
то |
справедлива оценка |
|
|
|
|
1и — uN1)2.1 ^ CnMn+ihn, |
|
где |
Сп — постоянная, |
не зависящая от h. |
|
но |
Результаты теоремы II.2 |
при более слабых ограничениях, а имен |
|
в предположении, |
что |
искомое обобщенное решение и (х) £ |
g М7"+1 (0 , /), непосредственно следуют при учете соотношения (11.57) из теоремы об аппроксимации функций подпространствами Р„ [101]. В па раграфе II.6 мы подробнее остановимся на этих более общих резуль татах.
Утверждения теоремы II.2 остаются справедливыми и в случае од номерных краевых задач с неоднородными условиями (см., например, 1701). В указанной работе исследуется сходимость приближенного решения краевой задачи с неоднородными граничными условиями, полученного посредством элементов вида «/3— 2». Случай краевых задач с разрывными коэффициентами и решениями рассмотрен в рабо те [69]. Однако при этом решение и {х) предполагается кусочно диффе ренцируемым и условие (11.59) выполняется на каждом отрезке непре рывности. Кроме того, для построения приближенного решения сетка вводится так, чтобы точки разрыва являлись концевыми узлами эле ментов.
Замечание. При выполнении условия ~dS&dn+'u £ А2(0, 0 доказано,
что скорость сходимости uNк и (х) в норме La(0 , I) (||и — uN||z.t) име ет порядок О (/1л+1). Подробное изложение этого факта дано в работе [ 1 0 1 ] (см. также параграф П .6).
2 . Учет ошибок численного интегрирования в МКЭ. Указанная в теореме II.2 скорость сходимости МКЭ получена в предположении, что все вычисления при построении системы уравнений МКЭ и при ре шении системы выполнялись точно. Однако на практике, как правило, в полученном решении присутствуют ошибки, возникающие как от приближенного вычисления соответствующих интегралов (особенно при переменных коэффициентах), так и от вычисления на ЭВМ реше ния сеточной системы уравнений. В настоящем пункте рассмотрим влия ние на скорость сходимости МКЭ ошибок в интегрировании.