Основы метода конечных элементов
..pdfВ случае одномерных задач, особенно для уравнений второго по рядка, вычисление встречающихся в МКЭ интегралов можно осуществ лять двумя способами: либо заменяя все переменные коэффициенты и правую часть интерполирующими полиномами, а потом точно ин тегрируя полиномы, либо применяя с самого начала какую-нибудь стандартную квадратурную формулу, например Гаусса или Ромберга.
Разберем вначале первую возможность: замена всех переменных коэффициентов и правой части соответствующими интерполяционными полиномами. Возникает вопрос, к каким искажениям приведет такая замена, если предположить, что все последующие вычисления прибли женного решения uN(х) будут выполняться точно.
Рассмотрим этот вопрос на примере минимизации функционала (11.51) . Если при построении приближенного решения в функционале (11.51) заменить функции k (х), q (х) и / (х) соответствующими интерпо-
лянтами k (х), q (х) a f (х), то в результате придем, но существу, к задаче минимизации нового функционала
на множестве (прежних) допустимых функций из конечномерного под-
о . |
о |
пространства Рп с |
И72 (0, /). |
Предположим, что функционалу (11.60) доставляет минимум функ ция и" (х), так что аналогично (11.53) справедливо соотношение
[t>, v»]'A = (/, и"),
т. е.
(11.61)
Напомним, что для функции uN(х), доставляющей минимум функцио-
0
налу (11.51) на Рп, соотношение (11.53) имеет вид
(11.62)
Учитывая (11.61) и (11.62), нетрудно убедиться (непосредственной проверкой) в справедливости тождества
(11.63)
приемлемым, так как с возрастанием размерности пространства вычис
лительные трудности, |
связанные с заменой произвольных функций |
|
их интерполянтами и |
точным интегрированием |
произведений несколь |
ких полиномов (например, трех), значительно |
возрастают. |
Возникает вопрос: какая точность квадратурной формулы требу ется для сохранения «теоретической» скорости сходимости МКЭ, ука занной в теореме II.2 ? Условимся, что рассматриваются только интер поляционные квадратурные формулы:
г |
п |
Ahg(xk), |
(11.66) |
|
) g(x)dx ж % |
1 |
|||
° |
I_ |
|
|
т. е. такие, в которых числовые коэффициенты Ак получены интег
рированием |
лагранжевых коэффициентов |
[52]: |
|
|
|
|
со (х) dx |
(11.67) |
|
|
|
(х — |
xk) со' (x k) * |
|
|
|
|
||
где |
© (*) = (x — Xj) (x — xa) |
(x — xn), |
|
|
|
, , v |
d(o |
|
|
|
® (*) = |
-5 T - |
|
|
Здесь предполагается, что функция g (я) интерполирована по ее зна
чениям в п произвольных точках (xx, х2, |
x j отрезка [а, Ь]: |
||
|
|
g(x) = pn(x) + |
r(x), |
|
п |
|
|
где М * ) = |
Х {х_ ® |
ш g(xk), г (л:) — остаток интерполирования. |
|
Принято |
k=\ |
квадратурная |
формула (1 1 .66) имеет алгеб |
считать, что |
раическую степень точности п — 1 , если она верна для всевозможных многочленов степени п — 1 и не верна для многочленов степени л.
Как известно, интерполяционные квадратурные формулы (11.66) точны для всех многочленов степени п — 1 (это непосредственно сле дует из рассмотрения (11.66), (11.67)). Отметим, что данное утвержде ние справедливо при любом расположении узлов интерполяции xk. При специальном выборе узлов хк>k = 1 , ..., ц, формула (II.66) может стать верной для всех многочленов степени не выше 2 п — 1 .
Примером тому является хорошо известная квадратурная форму ла Гаусса [52]. Имеются специальные таблицы (см., например, [52]),
где указаны для различных п значения хки |
Ак, £ = 1 , 2 , ...» п. Заме |
тим, что все коэффициенты Ак квадратуры |
Гаусса — положительный. |
Если функция g (JC) достаточное число раз дифференцируема, то остаточный член
^п
R (g )= \ s W dx— 'Z A„g(xk) n *=l
6‘ |
83 |
На основании тождества (11.70) легко доказывается следующее утверждение.
Теорема П.З. Если
£ £ А) [к] ( ^ (£/))" + q‘ (vN(^ ))2) > 0 К i.b V v » e k , |
( II . 71) |
|
0 > 0 — const, |
|
|
N |
|
|
+ 2 £ Rt(fv») |
<Ch?\v»h.L |
(П.72) |
t= I |
|
|
h = maxhlf
то для ошибки приближенного интегрирования справедлива оценка
\}uN- u N\ki<-^-Chp. |
(11.73) |
При использовании результатов теоремы П.З и оценки (11.68) в работе [101] показано, что для выполнения условия (11.71) при поло
жительных квадратурных коэффициентах А) должно быть на каждой элементе [xi—\, х(] по крайней мере п точек интегрирования £/, / = 1 -т- -f- п, если vN (х) — полином степени п, т. е. условие (11.71) выполня
ется |
при г = |
п. |
|
|
|
|
|
Далее, |
установлено, что |
при использовании |
квадратуры |
Гаусса |
|||
с п узлами |
интегрирования |
на каждом элементе [x*_i, x j показатель |
|||||
р в |
оценке |
(II.72) |
принимает значение |
|
|
||
|
|
|
р = |
(2л— 1) — (п— 1) + 1 = п + |
1» |
(11.74) |
если допустимые функции vN (х) являются полиномами п-й степени.
Таким образом, согласно (11.73) |
|
|«* — «*|*,1 < С 1Л"+ ,> |
(Н.75) |
что опять-таки не снижает теоретической скорости сходимости МКЭ, обеспечиваемой теоремой II.2 .
Отметим, что оценка (11.75) (как и вид показателя р в (11.74)), полу ченная для частного случая функционала (11.51), следует и из общих результатов, касающихся связи между точностью квадратурной фор
мулы и порядком ошибки uN(х) — uN (х). В многомерном пространст ве для функционала, зависящего от m-х старших производных допус
тимых функций vN, эти общие результаты формулируются следующим образом.
Если с помощью квадратурной формулы точно вычисляется ин теграл от любого полинома степени s, умноженного на т-ю производ ную любой допустимой функции, то справедлива оценка
|«w- « wbn .< C A HJ.
и b будут отличаться от «истинных», получаемых при точном выпол нении всех арифметических операций. Даже если бы эти элементы были вычислены абсолютно точно где-то вне ЭВМ, то при вводе в ЭВМ они претерпели бы искажения за счет ошибок округления, связанных с переводом десятичного представления чисел в числа машинной арифметики.
Таким образом, приступая к решению на ЭВМ уравнений МКЭ, мы в действительности будем иметь дело не с системой (11.76), а с системой
7^ = 6 , (Н.79)
«возмущенной» ошибками округления входных данных.
Как известно, для решения системы линейных алгебраических уравнений можно использовать прямые и итерационные методы. Для построения эффективного быстросходящегося итерационного процес са необходимо располагать дополнительной информацией о свойствах матрицы системы, что, как правило, является нетривиальной задачей. Однако, как уже отмечалось в гл. I (параграф 1 .3 ), в ряде случаев воз можно получение систем алгебраических уравнений МКЭ, эквивалент ных по спектру хорошо изученным схемам метода конечных разностей. Это позволяет использовать разработанные для конечно-разностных уравнений эффективные итерационные методы и в случае МКЭ. Следу ет еще заметить, что итерационные методы — приближенные методы, так как дают решение в виде предела сходящейся бесконечной после довательности некоторых векторов. Полученное с их помощью при ближенное решение обязательно содержит погрешность метода, сущест венно зависящую от критерия окончания процесса вычислений. Наряду с этим на точность найденного решения влияют и ошибки округле ния, неизбежно возникающие при выполнении любых арифметических операций на ЭВМ (см., например, [105]).
В данной работе мы ограничимся рассмотрением вычисления ре шения системы (1 1 .7 9) только посредством прямых методов, которые реализуются за конечное число арифметических операций и при точ ном выполнении всех вычислений обеспечивают получение точного решения системы. Отметим, кроме того, что прямые методы позволяют с меньшими затратами реализовать решение системы со многими пра выми частями, а это важно в практике инженерных и исследователь ских расчетов.
В последнее время начали использоваться методы решения алгеб раических систем, которые представляют собой комбинацию прямых и итерационных методов. К ним относятся метод преобусловливания [ 1 2 1 , 136, 139, 146, 152] и методы вычисления решения, реализуемые на последовательности сеток [31, ПО, 140— 142].
Рассмотрим теперь суммарный эффект влияния ошибок округле ния, допускаемых при вычислении на ЭВМ решения системы (11.79) каким-нибудь прямым методом. Как показал обратный анализ [14, 105], это влияние равносильно некоторому возмущению исходных данных решаемой системы. Иными словами, реально вычисленное на ЭВМ решение системы (11.79) является точным решением некоторой
возмущенной системы
(K + dK)zB= b + db
с относительно малыми возмущениями dK и db, называемыми эквива лентными возмущениями. Относительные эквивалентные возмущения \dK\!\K\\ и \db\l\b\ зависят от порядка решаемой системы п, вычис лительного алгоритма и значения е — единичной ошибки округления конкретной ЭВМ в относительных единицах. Сравнение по точности многих прямых методов показало, что «при правильной реализации
эквивалентное возмущение оказывается |
соизмеримым |
по величине |
с ошибками округления входных данных» |
[14]. Такую |
устойчивость |
вычислений решения удается организовать по ряду схем метода Гаус са, метода квадратных корней, метода отражений и др. (Оценки величин соответствующих эквивалентных возмущений можно найти в работах [14, 105].)
Таким образом, суммируя все погрешности машинной реализации вычисления решения системы МКЭ (11.76), можно записать, что полу
ченное решение zB= г в действительности точно удовлетворяет неко торой близкой системе
(K + dK)z = b + db.
Относительную погрешность решения г можно оценить по формуле
(И.80)
справедливой в любой из согласованных норм при выполнении усло вия
\ic'[[dR \<\ .
Оценка (11.80) является мажорантной, но неулучшаемой (достижимой) на классе всех невырожденных матриц.
Как видно из (11.80), точность вычисленного значения г существен но зависит от числа обусловленности матрицы системы, а именно от
числа Н = |К10 /Г "1 1|. (Заметим, что иногда для оценки точности вы численного решения используют следующее сугубо приближенное практическое правило [150]: если система с числом обусловленности
Н = О (10г) решается на ЭВМ, выполняющей операции с р десятичны ми цифрами, то вычисленное решение может иметь только р — г вер ных значащих цифр.)
Таким образом, для оценки точности вычисленного решения систе мы МКЭ необходимо знать число обусловленности матрицы этой системы или хотя бы порядок его величины.
Значение Н = |КJ |К~~]|зависит от выбранной нормы (векторной и согласованной с ней матричной), но порядок величины Н при этом, как правило, изменяется мало. В дальнейшем мы будем иметь в виду
специальную матричную норму, которая для симметричной положи тельно определенной матрицы А равна максимальному собственному числу этой матрицы |А |= Яша* (Л). Очевидно, что в этом случае
|И_1|= |
1 / ^ 1п(>1). |
|
|
Теперь наша цель— оценить |
~ ~ |
К |
(К) |
И = [|К ЦДК ~х1= |
■- тах „ для мат- |
||
|
|
W |
* ) |
рицы системы уравнений МКЭ задачи (11.77), (11.78). При этом мы будем следовать работе [1 01 ].
Напомним, что матрица К образуется в результате дискретизации
методом |
конечных |
элементов выражения |
о |
+ |
qv2^j dx - f (to2 |
|
(0) =з [о, |
V\A функционала |
|
классе |
допустимых |
||
(11.77) на некотором |
||||||
функций |
Vs £ Рп. |
|
|
k (х) |
и q (х) справедливо |
|
В силу предположений о коэффициентах |
||||||
неравенство |
I |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
[о, |
о |
( ( - £ J + оа) dx + p f2 (0), |
(11.81) |
||
где |
|
|
|
|
|
|
С = |
шах (&! = |
max k (х), qx= |
max q(*)). |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
О^д:^/ |
O^x^l |
|
|
Используя для дискретизации обеих частей неравенства (11.81) одну и ту же конечно-элементную процедуру, с учетом граничного
условия |
(11.78) |
получаем |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
N |
N |
|
|
|
|
|
cortfco = |
£ |
<ofK iC ),<C £ |
(11.82) |
|
|
|
|
|
1=1 |
t=\ |
|
где Kt = |
К\ + |
K°t, причем |
элементарная матрица жесткости К) свя- |
||||
|
|
|
|
xt |
а |
dx, а элементарная |
матрица масс K°i в |
зана с |
интегралом j |
|
|||||
|
|
х/ |
|
*/—1 |
|
|
|
|
|
(vNfd x . |
|
|
|
||
е М , |
— с j |
|
|
|
|||
|
|
xi- |
1 |
|
|
|
|
Так как для любой положительно определенной квадратичной фор
мы утАу справедлива оценка утАу ^ |
И ) угу* то |
из |
(11.82) сле |
||
дует |
|
|
|
|
|
N |
N |
|
N |
|
|
о/АТ© < С £ |
со[/С ,ш ,< С £ |
Ят „ (Ki) © [ © ,< СЛ £ |
< |
2СЛ(Л), |
|
<«1 |
г= 1 |
|
<=1 |
|
(11.83) |
где |
|
|
|
|
|
Л = |
max (Яшах (*,)). |
|
|
||
|
|
|
|||
|
|
< |
|
|
|
В цепочке неравенств (11.83) было учтено, что любая компонента вектора со (т. е. любой фиксированный параметр: vL, V( и т. п.) встре чается не более чем в двух соседних элементах.
Из соотношений (11.83) следует, что
*тах (/<■)< 2 СЛ.
Так как наименьшее собственное число положительно определенной
матрицы А, согласно принципу Рэлея, |
определяется соотношением |
||
^тт(Л ) = |
min |
, |
|
|
|
У У |
|
то Ящ1п (К) можно оценить следующим |
образом: |
||
Д-пип (К) = min о/Ксо = |
min |
согКсо |
о/М(0 |
С0Г0) |
|
со^Мсо |
Л |
> m in |
ЮТК(й m |
i n - ^ - = ^ „ ( У И ) , |
(И.84) |
|
(отМсо |
|
I |
|
|
|
|
где через М = К0 обозначена матрица масс, связанная |
с ^ (vN)2 dx с |
||
учетом краевого условия |
|
|
о |
(11.78), а через Хх — минимальное собствен |
|||
ное число задачи |
|
|
|
|
Ку = |
Шу. |
(П.85) |
Как будет показано в гл. IV, задача (11.85) является дискретным аналогом соответствующей дифференциальной задачи на собственные
значения, в данном случае задачи |
|
LU s — jL ^ k(x)-^ r ^+ q(x)u = b-u, |
0 < х < 1 , |
k — p« |*=о = о, «(/) = |
о, |
решаемой методом конечных элементов. Там же будет показано, что минимальное собственное число дискретной задачи всегда не мень ше минимального собственного числа (L) исходной задачи:
К Ж ( Ц -
(Данное соотношение, вообще, справедливо для приближенных соб
ственных чисел, найденных процессом Ритца.) |
для |
Х19 |
никак Не |
|||||
Отметим, что |
Хг (L), |
являясь |
нижней границей |
|||||
зависит от ht = xt — |
\. |
|
|
|
|
|
|
|
Далее, чтобы |
получить |
оценку ^min |
(К), необходимо |
оценить |
||||
^min (Л1) (см. (11.84)). Рассуждая |
так же, |
как раньше, |
получим |
|||||
N |
о)[Л4,со,> |
N |
|
N |
Л |
|
Т |
|
oZ/Wco = X |
Ят1п (Л4Л G)/G)<> 0 S |
> 00) со, |
||||||
i= 1 |
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|