Многофазный поток в скважинах
..pdfв свою очередь, зависит от материала, из которого изготовлена труба, типа производ ства, возраста трубы и условий эксплуатации.
С помощью микроскопа можно определить, что уровень шероховатости стенок трубы не везде одинаков. Характер выступов и углублений варьируется в зависимости от высоты, ширины, длины, формы и типа трубы. Абсолютная шероховатость трубы, £, — это средняя высота плотно расположенных выступающих зерен трубы, равномер но распределенных и отсортированных по величине в условиях такого же градиента давления, что в реальной трубе.
При анализе размерностей предполагается, что параметры течения зависят не от абсолютных размеров зерен, а от отношения шероховатости к внутреннему диаметру трубы, s / d . Исследования показали, что влияние шероховатости стенок на характе ристики турбулентного потока зависят как от относительной шероховатости, так и от числа Рейнольдса. Если ламинарный подуровень граничного слоя1-достаточно толстый, характеристики потока будут аналогичны потоку в гладкой трубе. Толщина подуровня напрямую зависит от значения числа Рейнольдса.
Широко известны эксперименты Никурадзе [7], в результате которых были получе ны четыре базовых значения коэффициента трения в шероховатых трубах. По сей день соотношение Никурадзе для абсолютно шероховатой трубы (уравнение (2.16)) остается наиболее приемлемым для расчетов.
(2.16)
Если / изменяется в зависимости от значений числа Рейнольдса и относительной шероховатости, то говорят о переходной области или о частично шероховатой стенке. Коулбрук [8] получил эмпирическое соотношение, которое описывает изменение зна чения / в этой переходной области. На его основе получены и многие современные диаграммы для коэффициента трения:
(2.17)
Обратим внимание, что при больших значениях числа Рейнольдса формула (2.17) сво дится к виду (2.16) для абсолютно турбулентного потока или потока в шероховатых трубах. Чтобы найти значение / из (2.17), необходимо применить итерационный ме тод. Для этого формулу (2.17) преобразовывают к виду [9]:
(2.18)
Суть метода заключается в последовательной подстановке значений f est в данное урав нение и вычислении / с , до тех пор пока они не совпадут с допустимой погрешностью. На каждом следующем шаге в качестве начального значения (f esl) выступает вычис ленное на предыдущем шаге значение / с . Совпадение достигается уже на втором или третьем шаге. Начальное значение для первого шага можно подобрать с помощью одного из заданных в явном виде уравнений для гладкой трубы или с помощью непо средственной аппроксимации уравнения Коулбрука.
'Имеется в виду ламинарный подслой у стенки грубы при турбулентном течении. — Прим. ред.
Существует множество аппроксимаций уравнения Коулбрука, одним из самых точ ных и простых среди них является аппроксимация Зигранга и Сильвестера [10].
1 |
-2 1 g |
2e/d |
5,02 |
( 2 e/d |
13 |
(2.19) |
|
у/7 |
3,7 |
N R e g [ 3 , 7 + N Re |
|||||
|
|
В большинстве случаев формулу (2.19) можно использовать вместо (2.17).
На рис. 2.2 приведена диаграмма зависимости значений коэффициента трения от числа Рейнольдса и относительной шероховатости, построенная на основе фор мул (2.12) и (2.17).
Подчеркнем, что значение е невозможно установить с помощью непосредственных замеров. Оно соответствует шероховатости песчаного зерна, вызывающей аналогичное трение. Единственный способ установить значение е — это сравнить характеристики обычной трубы с трубой, имеющей шероховатость, соответствующую зерну песка, что и сделал Муди. Результаты его исследований (рис. 2.3) до сих пор являются актуаль ными. Однако они могут уточняться в зависимости от наличия парафиновых отложе ний, эрозии или коррозии. Если непосредственно замерить падение давления, можно рассчитать коэффициент трения с учетом числа Рейнольдса и установить значение от носительной шероховатости по диаграмме Муди (рис. 2.2). И далее использовать его во всех прогнозных расчетах до тех пор, пока не будет получено новое значение e/d.
Довольно часто при проектных расчетах требуется знание первоначальных значений шероховатости. Для новой трубы рекомендуется использовать значение г = 15,24 мкм. Для построения кривых градиента давления обычно используют значе ние 45,72 мкм. Если трубопровод эксплуатируется в такой среде, которая значительно изменяет шероховатость стенок, то для такой «очень грязной трубы» используется зна чение шероховатости, равное 228,6 мкм [11]. Для большинства скважин составляющая градиента давления по трению очень мала, по сравнению с гравитационной состав ляющей. Следовательно, в качестве значения абсолютной шероховатости можно брать приближенные значения.
Пример 2.1. Расчет падения давления при течении однофазной жидкости.
Необходимо найти изменение давления в водонагнетательной скважине. Известны следу ющие параметры:
L = 2 438,4 м,
qw = 3 180 м3/сут, в = -90°, р-ш = 1 000 кг/м3, d = 0,127 м,
p w — 10“ 3 Па-с, £ = 18,29-10-° м.
Средняя скорость в трубе равна: |
|
3180 |
2,91 м/с. |
V = |
|
|(0,127)2(86 400) |
|
По формуле (2.10) рассчитываем число Рейнольдса: |
|
(1 000) (2,91) (0,127) |
= 3,688 • 105 |
NRQ = |
И Г3
Поскольку Nile > 2 000, поток является турбулентным. Относительная шероховатость трубы равна:
£ 18,29-10-° = 0,000144. d 0,127
Из формул (2.17), (2.19) или по диаграмме Муди (рис. 2.2) определяем, что / = 0,0155. Вы числяем градиент давления на основе уравнений (2.5) с учетом (2.9), пренебрегая влиянием инерционной составляющей ускорения1:
dp |
- (0,0155)(1 000)(2,91 )2 |
(1 000)(9,8)[sin(—90°)] |
dL “ |
2(0,127)(9,8) |
(9,8) |
= |
-52,4 + 1 000 = 947,6 кг/м3 = -0,00512 + 0,0978 = 0,09268 бар/м. |
Тогда перепад давления по длине скважины составляет:
А р = (-0,00512 + 0,0978)(2 438,4) = -12,48 + 238,48 = 226 бар.
Обратите внимание, что -0,00512 бар от общих потерь давления составляют потери на трение, а +0,0978 бар —потери, вызванные гравитацией.
1По своей суги данное уравнение соответствует формуле, которую в российской литературе называют уравнением Бернулли потока вязкой жидкости. — Прим. ред.
2.4.3.Однофазный поток газа
Если по стволу скважины течет сжимаемый флюид, его параметры (например, плотность, скорость и др.) существенно зависят от перепада давления. Самым рас пространенным методом расчета гидродинамического забойного давления в газовых скважинах является метод Каллендера и Смита [12].
Пренебрегая кинетической составляющей, уравнение (2.5) преобразуем к виду:
dp |
fp v 2* |
. . |
|
51 |
= ^ + |
» ” ” *• |
<2*-20> |
Для газов характерны следующие соотношения для уравнения состояния (зависимости плотности от давления) скорости и объемного расхода газа через сечение скважины при нормальных условиях:
р = p M /Z R T , v = q/A, q = qHymBg, В д = pHy T Z /Т Нур.
Подставляя данные соотношения в уравнение (2.20) и разделяя переменные, получаем1:
Р
f / - |
/ |
ZT _______ |
(2.21) |
dp, |
|||
( ^ ) % s m 0 + C |
|
||
где |
|
|
|
|
_ |
8Рн.у.9н.у,/ |
|
|
|
Т2у.тг2й5 ‘ |
|
Размерное уравнение (2.21) справедливо для любой системы единиц.
Подставляя в него параметры, размерность которых соответствует международной системе СИ, и интегрируя левую часть, получим2
|
|
Pw/ |
|
|
4,24lg L = |
J /dp, |
(2.22) |
||
|
|
Ptf |
|
|
где |
|
|
|
|
14,51 ZT |
(2.23) |
|||
|
|
|
||
0,001 ^14,51 |
|
Р V sinв + F2 |
||
|
ZT ) |
|
||
8,82 |
|
10 -6/9„2у. |
(2.24) |
|
F = -------- 7 -------- ' |
||||
|
||||
где р выражено в барах, Т — в градусах температурной шкалы Реомюра3 (° R), Яи.у.~ |
||||
в млн.м3/сутки, d и L — в метрах. |
|
|
|
|
'В соответствии с обозначениями (приложение А) индексом tf |
отмечаются значения параметров на |
|||
устье скважины, а индексом wf — на забое. — Прим. ред. |
|
|||
23дссь вместо удельной газовой постоянной R /M |
вводится параметр l / j g. — Прим. ред. |
3 Шкала Реомюра использовалась в России до 30-х годов XX в., когда термометры Реомюра были заменены термометрами со шкалой Цельсия: 1° R = 5/4° С. — Прим. ред.
Заметим, что для того, чтобы в конечном счете проинтегрировать правую часть уравнения (2.22), необходимо сделать дополнительные уточнения, касающиеся значе ний Z, Т и / . Значение I для каждого промежуточного давления р, лежащего в пределах между ptj и pwf , можно найти с помощью численного интегрирования по правилу тра пеций. Для удобства вычислений предположим, что скважину условно можно разделить на две части, так что половинной глубине скважины соответствует среднее значение давления pmf. Тогда интеграл в правой части уравнения (2.22) можно разделить на сумму двух интегралов, каждый из которых заменим на его приближенное значение:
. |
т |
(Pmf Ptf){Imf + h f) |
+ |
(Pwf Pmf){Iwf + Imf) |
(2.25) |
4,24j gL = |
---------------^----------------- |
------------------s----------------- |
Условно разделим скважину на две части и запишем уравнения типа (2.25) отдельно для верхней и нижней частей скважины.
Для верхней половины скважины:
4 ,2 4 7 ^ /2 = |
(pmf - |
Ptf) |
. |
(2.26) |
Соответственно для нижней части: |
|
|
|
|
А,24Ъ Ь/2 = |
(pwf - |
Prnf){IwI \ |
Imf) ■ |
(2.27) |
Данный подход допускает любое количество расчетных шагов, |
но Каллендер |
и Смит [12] доказали, что в случае применения двухшагового подхода и численного интегрирования по формуле Симпсона [13] результат получится настолько же точным, как и в случае применения четырехшагового подхода, для которого результирующее уравнение имеет вид:
4,2473L = P,fj (Iwf + Aim} + It/). (2.28)
Приведем пример использования метода Каллендера и Смита по расчету гидроди намического забойного давления в газовых скважинах.
Пример 2.2. Расчет падения давления однофазного потока газа.
На основе данных по скважине и свойствам газа рассчитаем гидродинамическое забой ное давление в газовой скважине, используя метод Каллендера и Смита для двух расчетных сегментов.
Известны следующие параметры:
Ъ = 0,75, L = 3 048 м,
Tf = 118° С, Ptj = 137,8 бар, Тч = 43,3° С,
£ = 21,34-10° м, d = 0,002 м,
Цнс = 0,139 • 10° м'*/сут, Д = 0,012 10~:*Па-с = 0,012 сП, в = 90°
Решение будем строить в два этапа.
Предварительный расчет. Предположим, что поток турбулентный, а стенки трубы очень ше роховатые (если поток не абсолютно турбулентный, можно допустить, что значение числа Рей нольдса, рассчитанное для условий вблизи поверхности трубы, одинаково по всему сечению). В этом случае по формуле (2.16) найдем значение / = 0,015 и вычислим F по (2.24):
|
(8,82 |
10~6)(0,015)(0,139)2 |
0,00279. |
||
|
F2 |
|
(0,062)5 |
||
|
|
|
|
||
Далее (по формуле (2.23)) рассчитаем значение Itj. При ptj |
= 137,8 бар, Т = 43,3°,С и Z = |
||||
= 0,71, при этом |
|
лл |
137,8 |
|
|
|
ЛАКЛ Р |
|
4,942 |
||
|
,51T Z ~ |
,51(570)(0,71) |
|||
|
|
||||
И |
________ 4,942________ |
|
|||
|
|
||||
|
|
|
|
181Х, Ъ60. |
|
|
h f = (0,001)(4,942)2 + 0,00279 |
|
|||
Верхняя половина скважины. |
|
|
|
|
|
Вычислим p*nj |
(Iй шаг)1: |
|
|
|
|
Pm} = Pt/(! + 2,5 • 105L/2sin#) = 137,8[1 + (2,5 10_5)(5000sin90°)] = 155 бар. |
|||||
Рассчитаем l mj |
(по уравнению (2.23)). При р ^ |
= 155 бар значения температуры и коэффици |
|||
ента сверхсжимаемости Т = 43,3 + 19,7° С и Z —0,797, при этом |
|||||
|
1 4 ,5 1 ^ |
= |
14,51 |
155 |
4,425 |
|
|
||||
|
|
|
(628) (0,797) |
|
|
И |
________ 4,425_________ |
|
|||
|
197,81. |
||||
|
(0,001)(4,425)2 + 0,00279 |
||||
|
|
||||
Теперь вычислим pmj по уравнению (2.26): |
|
|
|||
|
4,24Ъ Ь |
|
(4,24)(0,75)(3 048) |
137,8 + 25,56 = 163,36 бар. |
|
Pmf — Ptf |
137,8 + |
|
= |
||
+ Imf Itf |
|
197,81 + 181,60 |
|
Полученное значение давления недостаточно близко к p*nj . Поэтому еще раз перерассчитаем значение р*шj (2й шаг).
Положим теперь p*mj = 163,36 бар.
Тогда значение / ш/ вычисляется по формуле (2.23): при р*шс = 163,36 бар, Т = 81°С и Z = = 0,796,
14,51^= = |
14,51 / 1^ ’36 ч = 4,669 |
TZ |
’ (638)(0,796) |
4,669
iwf = 189,88. (0,001)(4,669)2 + 0,00279
Снова вычислим рт /, исходя из (2.26):
(4,24)(0,75)(3 048)
Pmf —137,8 + = 137,8 + 26,2 = 164 бар. 189,88 + 181,60
’Сделать это можно по аналогии с примером 2.1 (т. е. по формуле Бернулли для потока вязкой жидко сти) для трубы половинной длины. — Прим. ред.
Опять недостаточно близко к p ^ f . Значит, рассчитаем еще раз p ^ j (3й шаг). Положим p*mj = 164 бар.
Вычислим Imj из (2.23): при p ^ f = 164 бар, Т = 81° С и Z = 0,796,
1 4 ,5 1 ^ = 14,51 |
164 |
4,684 |
|||
(638)(0,796) |
|||||
|
|
|
|
||
и |
___________4,684_________ |
|
|||
|
189,41. |
||||
т / |
” (0,001)(4,684)2 + 0,00279 |
||||
|
|||||
Вычислим pmf из (2.26): |
|
|
|
|
|
Pm/ |
—137,8 + |
(4,24)(0,75)(3 048) |
= 164 бар. |
||
189,41 + 181,60 |
|||||
|
|
|
Следовательно, давление в середине скважины равно 164 бар.
Нижняя половина скважины.
Вычислим давление на забое скважины p^j (Iй шаг):
p*wf = Pm/( 1 + 2,5 • lO5L/2sin0) = 164[1 + (2,5 • l(T 5)(5000sin90°)] = 184 бар.
Рассчитаем Iwf по формуле (2.23). При p*wf = 184 бар, Т = 118,3° С и Z = 0,867,
184
4,4378
14,512^ = 14’51 (705) (0,867)
И
___________4,378_________
199,39.
mf ~ (0,001)(4,378)2 + 0,00279
Вычислим pwf из (2.27):
|
Pwf ~ Pmf + |
(4,24)(0,75)(3 048) |
164 + 24,9 = |
188,9 бар. |
|||
|
199,39 + 189,41 |
||||||
|
|
|
|
|
|||
Полученное значение недостаточно близко к p*wj. Рассчитаем p*wj |
(2й шаг). |
||||||
Положим p*wj |
= 189 бар. |
|
|
|
|
|
|
Вычислим Iwj |
(из формулы (2.23)): при p*wf = |
189 бар, Т = |
118,3° С и Z = 0,868, |
||||
|
1 4 ,5 1 ^ = 14,51 |
|
189 |
= 4,479 |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
(705)(0,868) |
|
|
|
||
и |
|
4 479 |
|
|
|
|
|
|
Iwf = |
|
= |
196,00. |
|||
|
-------------(0,001)(4,479)2--------------------+ 0,00279 |
||||||
|
7 |
|
|
|
Вычислим pwf по формуле (2.27):
Pwf = 164 + |
(4,24)(0,75)(3 048) |
189 бар. |
|
196,00+ 189,41 |
|||
|
|
Это достаточно близко к значению 188,9 бар, следовательно, гидродинамическое забойное дав ление можно считать равным 189 бар.
Если применить более точное численное интегрирование по формуле Симпсона, (2.28), получим следующее значение гидродинамического забойного давления:
(6)(4,24)(0,75)(3 048)
Pwf P if + 181]60 + (4)18941 + 196)0о = 189,01 бар.
2.4.4.Вязкопластические флюиды
Впредыдущем разделе мы рассматривали метод расчета течений в скважинах, приемлемый лишь для ньютоновских жидкостей. Однако в нефтяной промышленно сти довольно часто имеют дело с неньютоновскими (вязкопластическими) флюидами, такими как буровые глинистые растворы, цементные растворы, рабочие и буферные жидкости, используемые на стадии заканчивания скважин, нагнетаемые в скважины при вторичном методе добычи нефти, полимеры, неочищенная нефть при температуре, близкой к температуре застывания, и многие другие водонефтяные смеси.
Проектирование систем трубопроводов с учетом свойств вязкопластических флюи дов усложняется тем, что в этом случае нельзя непосредственно применять стандартные корреляции для коэффициента трения. Вязкопластические флюиды могут обладать са мыми разными реологическими свойствами, выражающимися сложной зависимостью от скорости сдвига, температуры и состава смеси. На рис. 2.4 показаны графики зависи мости вязких напряжений от скорости сдвига1для различных по своим реологическим свойствам флюидов (согласно методу Нудсена и Каца).
Рис. 2.4. Реологическая модель [1]
Как правило, существует два подхода к описанию водонефтяных смесей при про ектировании систем трубопроводов. Согласно первому методу смесь рассматривается в рамках модели ньютоновской жидкости с псевдовязкостью, значение которой зависит от доли воды в смеси. Описание данного метода будет дано в главе 3, поскольку он подразумевает учет свойств многофазной смеси, в том числе комбинирование вязкостей каждой фазы в соответствии с их объемной долей для получения общей вязкости сме си. Использование второго подхода предполагает описание флюида с помощью моде-
'Т. е. от скорости деформации. — Прим. ред.
ли неньютоновской (вязкопластической) жидкости, при этом принимаются следующие предположения [14]:
1)Смесь является однородной.
2)Проскальзывание между фазами отсутствует, поэтому фактические значения объ емных содержаний каждой из фаз соответствуют входным значениям объемных долей1*
3)Реологические свойства дисперсной водонефтяной системы можно описать с по мощью степенной модели Оствальда В. [15].
Степенная модель. Степенную зависимость между касательными напряжениями
искоростью деформации (скоростью сдвига) можно выразить соотношением:
т = K ' i 1' |
(2.29) |
Если показатель степени п' равен единице, уравнение (2.29) описывает поведение нью тоновской жидкости, а значение К ' равно постоянной вязкости р? Для обычной водо нефтяной смеси п ' меньше единицы, и уравнение (2.29) описывает поведение псевдопластических флюидов (сдвиговое течение с уменьшением вязкости). Для некоторых других водонефтяных смесей значение n f может превышать единицу, в этом случае уравнение описывает «загустевающий» при сдвиге флюид (модель делатантной жидко сти)3 Как правило, заранее нельзя сказать, какими вязкостными свойствами обладает смесь, но это можно определить экспериментальным путем с применением соответ ствующего вискозиметра.
Подобные испытания проводят для конкретных эксплуатационных условий: при определенных значениях объемной доли воды, температуры и распределения размеров капелек диспергированной фазы4 (либо скорости смешивания фаз). После установления свойства смеси можно рассчитать составляющую градиента давления по трению для потока в трубе данной дисперсной водонефтяной смеси.
Универсальное число Рейнольдса. Понятие «универсального числа Рейнольдса» для вязкопластических флюидов ввели Мецнер и Рид [16]. Формула (2.10) определяет стандартное выражение для числа Рейнольдса, которое также можно преобразовать к виду:
* - £ ( $ ) • |
<2,0, |
где rw — касательное напряжение на стенке трубы для ламинарного потока, а величи на 8v/d — фактическая скорость сдвига для ньютоновской жидкости. Таким образом, соотношение [rw/(8v/cl)\ соответствует ньютоновской (динамической) вязкости р.
Зависимость между фактической и кажущейся скоростями сдвигового напряжения
для неньютоновского потока можно выразить соотношением: |
|
|
||
/ _ ф Л |
= ( 3ri + l \ [Sv |
(2 |
.31) |
|
V dr ) w |
V 4n' ) \ d |
|||
|
|
1В этом случае предполагается и несжимаемость обеих фаз. — Прим. ред.
‘ Речь идет о коэффициенте динамической вязкости. — Прим. ред.
3Коэффициент пропорциональности между вязким напряжением и скоростью сдвига называется ко эффициентом кажущейся вязкости. Как видно из рис. 2.4., псевдопластические и дслатантные жидкости сходны непостоянством значений коэффициента кажущейся вязкости и отсутствием предельного коэффи циента сдвига. — Прим. ред.
4Свойством делатантности могут обладать и среды, которые Ие относятся, вообще говоря, к диспер гированным. — Прим. ред.
где п ' — показатель кривизны логарифмического графика зависимости rw от 8v/d, который часто называют показателем текучести. При этом соответственно для ненью тоновской жидкости имеем соотношение:
|
TW= К ' № |
\ |
|
(2.32) |
|
Объединяя уравнения (2.30) и (2.32), получаем: |
|
||||
|
|
pv2 |
п>dn> |
|
|
|
N RGM_R |
gn' - 1 |
К ' |
(2.33) |
|
и |
|
|
|
|
|
77 = |
К ' |
4п' |
|
|
(2.34) |
|
|
|
|||
|
3п! -f- 1 |
|
|
|
|
где N RGM_R — универсальное |
число Рейнольдса, |
а р — псевдовязкость. При |
п' = 1 |
и К ' = р уравнения (2.33) и (2.34) сводятся к стандартным выражениям для числа Рейнольдса и динамической вязкости ньютоновского флюида.
Вязкопластичный коэффициент трения. В общем случае алгоритм расчета ко эффициентов трения для вязкопластических флюидов аналогичен алгоритму для нью тоновских жидкостей.
Ламинарный поток. Согласно методу Мецнера и Рида [16], коэффициент трения Фаннинга для вязкопластичного ламинарного потока рассчитывается следующим об разом:
/ ' = |
16 |
(2.35) |
|
■^Кем-R |
|||
|
Турбулентный поток в гладких трубах. Додж и Мецнер [17] вывели следующее соотношение для коэффициента трения:
■пЧ2) |
0,4 |
(2.36) |
|
п/ 1,2 |
|||
|
|
Турбулентный поток в шероховатых трубах. Говьер и Азиз [18] предложили ис пользовать следующую формулу расчета коэффициента трения для степенных псевдопластических флюидов в шероховатых трубах:
f = fhl-R Я |
(2.37) |
Я
где / M - R — коэффициент трения, вычисленный по формуле (2.36); / ' — коэффициент трения Фаннинга для ньютоновского потока в шероховатых трубах, рассчитанный для того же универсального числа Рейнольдса; / ' — коэффициент трения Фаннинга для ньютоновского потока в гладких трубах, опять же рассчитанный относительно универ сального числа Рейнольдса. Цилас и др. [19] получили аналогичные выражения для коэффициента трения, применив следующую формулу для псевдопластических флюи дов:
4,0 lg _____ 10 |
______ £ |
(2.38) |
< е 1 л (4Л |
(2- П')2"' |
3’7Ы ] ’ |