Дискретная математика & математическая логика

2.2. ЗАДАЧА КАВАЛЕРА ДЕ МЕРЕ

Согласно легенде с этой задачей [4] кавалер Де Мере обратился к самому Б. Паскалю: при бросании четырёх игральных костей, что выпадает чаще: шестёрка хотя бы раз или ни разу?

Распределение очков при бросании одной кости:

Шестёрка хотя бы раз – всего один раз, ни разу – пять раз.

Распределение очков при бросании двух костей:

Распределение очков при бросании трёх костей:

41

Если добавить еще одну кость, то получим шесть раз вышеприведённые таблицы с четвёртой цифрой в клетках, всего будет 1296 вариантов. Из них в «красную» зону попадают с четвёртой шестёркой 216 вариантов плюспредыдущие 91, взятыепятьраз: 91 5 = 455.

Всего 671 = 216 + 455.

Получается следующее:

61 = 51 + 1 = 5 + 1 = 6,

62 = 52 + 11 = 25 + 11 = 36 = 25 + (6 + 5 1),

63 = 125 + (36 + 11 5) = 52 + 91 = 125 + 91 = 216 = 125 + (6 6 + 5 11).

42

Можно предположить, что при бросании четырёх костей

64 = 53 + 671 = 625 + 671 = 1296 = 625 + (6 6 6 + 5 91),

т.е. хотя бы раз в 671 случае, а ни разу – 625. Соответственно, вероятности:

хотя бы раз: 671 > ни разу: 625 . 1296 1296

Этот результат и использовал заядлый игрок кавалер Де Мере.

2.3.ЗАДАЧА ЛАНДСКНЕХТА

Сэтой задачей ландскнехт (наёмный солдат) якобы обратился

кматематику и изобретателю Христиану Гюйгенсу: при бросании трёх костей что чаще выпадает – сумма очков 11 или 12? Ландскнехт обратил внимание, что суммы 11 и 12 образуются одинаково – шестью способами:

Получение суммы очков, равной 11:

Получение суммы очков, равной 12:

43

Однако опыт игры показывает, что сумма 11 появляется несколько чаще, чем 12. В чём дело?

Гюйгенс установил, что одинаковое количество вариантов разложений ещё не является достаточным условием одинаковой вероятности появления сумм очков. Эти суммы встречаются не одинаково часто среди 216 вариантов.

Представим же перестановки с повторениями:

Перестановки с повторениями для 11:

Перестановки с повторениями для 12:

Итого получаем:

Р(11) = (6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3) /216 = 27/216,

Р(12) = (6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 1) /216 = 25/216.

Таким образом, как и подметил сообразительный ландскнехт:

27/216 > 25/216, Р (11) > Р (12).

44

2.4.ПРИНЦИП ВКЛЮЧЕНИЯ-ИСКЛЮЧЕНИЯ

ИРЕКУРРЕНТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Практические задачи не всегда сводятся к известным конфигурациям, однако желательно к этому стремиться.

Часто можно представить конфигурацию объединением известных конфигураций, которые проще вычислить. Используем теорию множеств. Например:

|A B| = |A| + |B| – | A∩B|,

|A B С| = |A| + |B| + |С| – | A∩B| – | В∩С| – | A∩С| + |A∩B∩С|.

Принцип включения-исключения [4] позволяет вычислять мощность объединения множеств, если известны мощности всех их пересечений. Для n множеств можно получить общую формулу такого объединения.

Рассмотрим задачу о талантливых студентах. Из 100 студентов живописью увлекается 28, спортом – 42, музыкой – 30, живописью и спортом – 13, живописью и музыкой – 11, спортом и музыкой – 8, живописью, спортом и музыкой – 3. Нужно определить количество студентов, ничем не увлекающихся:

|I| – | A B С| = |I| – (| A| + |B| + |С| – | A∩B| – | В∩С| – | A∩С| + |A∩B∩С|),

100 – | A B С| = 100 – (28 + 42 + 30 – 13 – 11 – 8 + 3) = 29.

Для n пересекающихся множеств перед мощностью пересечений всех n множеств в формуле включений-исключений ставится

(–1) в степени (n – 1):

45

Производящие функции

Подбирается функция математического анализа для получения мощности комбинаторной конфигурации. Например, для получения биномиальных коэффициентов:

n

(1 + x)n = ∑Cni xi , n = 1, 2, ..., т.е. производящая функция

i=0

(1 + x)n [4].

Рекуррентные соотношения

Для задания комбинаторных конфигураций применяют метод рекуррентных (рекурсивных) соотношений. Метод рекуррентных соотношений состоит в том, что решение комбинаторной задачи с n предметами выражается через решение аналогичной задачи с меньшим числом предметов с помощью некоторого соотношения, которое называется рекуррентным.

Пользуясь этим соотношением, искомую величину можно вычислить алгоритмически, исходя из того что для небольшого количества предметов решение задачи легко находится.

Рассмотрим пример задания числового ряда Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, … с использованием рекурсии:

Здесь указываются два начальных значения функции f(0), f(1) и принцип формирования последующего значения. В отличие от функций переходов автомата, указывается не автоматное время, а шаг вычислений n, т.е. значение функции на некотором шаге, отличном от нулевого и первого, равно сумме значений функции на двух предыдущих шагах.

46

Тогда

f (0) = 1, f (1) = 1, f (2) = f (0) + f (1) = 1 + 1 = 2,

f (3) = f (1) + f (2) = 1 + 2 = 3, f (4) = f (2) + f (3) = 2 + 3 = 5, …

Рассмотрим другой пример использования оператора примитивной рекурсии:

f (0) = 1, f (1) = f (0) 1 = 1, f (2) = f (1) 2 = 2, f (3) = f (2) 3 = 6, …

Таким образом, мы задали функцию факториала x!

Решение рекуррентных соотношений [6]

Рекуррентным называют соотношение, в котором для вычисления некоторого члена числовой последовательности используют значения предыдущих членов.

Пусть

fn = pn .

Тогда для ряда Фибоначчи

fn+2 = fn+1 + fn , pn+2 = pn+1 + pn .

Разделим обе части выражения на

pn ≠ 0.

Получим

p2 = p +1,

p2 − p −1 = 0.

47

Решая, получим:

т.е. сумма корней с неизвестными коэффициентами.

с1 + с2 = f0 = 0.

Найдём коэффициенты, используя начальные условия:

48

Это формула Бине, где φ = 5 + 1 ≈ 1,6180339887... – золотое 2

сечение.

В общем случае линейное рекуррентное соотношение с постоянными коэффициентами имеет вид [6]

xn + k = ak – 1 · xn + k–1 + ak–2 · xn + k–2 + … + a0 · xn,

где ai (i = 0, 1, 2, …, k–1) – постоянные коэффициенты; а x1, x2, …, xk – начальные значения.

Решение находим в виде

Это уравнение имеет k корней: p1 , p2 , ..., pk .

Тогда общее решение имеет вид

k

xn = ∑ci pin , i=1

где неизвестные коэффициенты находят по начальным условиям, составляя соответствующую систему линейных уравнений

2.5. ЗАДАЧИ О РАЗБИЕНИИ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА

На сколько частей разбивают плоскость n прямых, если никакие две из них не параллельны и никакие три не проходят через одну точку [5]?

Начнём с n = 1 – рис. 2.2:

49