Дискретная математика & математическая логика

2.7. ЛАТИНСКИЕ ПРЯМОУГОЛЬНИКИ И КВАДРАТЫ

Латинским прямоугольником называется конфигурация из m строк и n столбцов. Каждая строка представляет одну перестановку, и в то же время каждая строка, кроме первой, задает один беспорядок.

Латинский прямоугольник называется нормализованным, когда в первой строке все элементы расположены в естественном порядке. При m = n латинский прямоугольник превращается в латинский квадрат.

При m = 2, n = 3, как в примере с перестановками-беспо- рядками (см. рис. 2.1), существует всего два нормализованных латинских прямоугольника:

Ненормализованных прямоугольников получается в n! раз больше, так как верхняя строка может быть задана n! = 6 способами. Нормализованных латинских квадратов при n = 3 имеется также два. Они отличаются расположением второй и третьей строк:

Иначе говоря, соответствие между любой парой строк должно являться беспорядком.

Проще всего получать латинские прямоугольники циклическим сдвигом строк, но возможны и другие варианты:

61

Комбинаторику интересуют не сами латинские прямоугольники, а связанные с ними типовые задачи перечисления. Число латинских прямоугольников, состоящих из одной строки, определяется просто. Оно равно числу перестановок из n элементов P(n) = n! Из них один прямоугольник будет нормализованным, остальные – нет.

При m = 2 число латинских прямоугольников равно числу беспорядков Dn,0, увеличенному в n! раз, так как первая строка может быть задана n! способами (индекс «0» означает отсутствие элементов, оставшихся на своих местах).

Латинский квадрат– таблица n × n, заполненная n различными символами таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n символов (каждый по одному разу), m = n = 3

и m = n = 4.

Ортогональные латинские квадраты

Двалатинских квадратаназываютсяортогональными, еслиразличны все пары символов (a, b), где a – символ в некоторой клетке первого латинского квадрата, а b – символ в той же клетке второго латинского квадрата. Примерпарыортогональныхлатинскихквадратов:

Греко-латинский квадрат

При наложении друг на друга двух латинских квадратов образуется греко-латинский квадрат. Греко-латинский квадрат можно

62

рассматривать как наложение двух ортогональных латинских квадратов – рис. 2.17:

Рис. 2.17. Греко-латинский квадрат, полученный наложением двух латинских квадратов,

в одном – латинские символы, в другом – греческие

Задачи о греко-латинских квадратах

Сам Эйлер поставил задачу о нахождении квадрата шестого порядка таким образом: в 6 полках есть 36 офицеров 6 различных званий. Нужно так разместить их в каре, чтобы все офицеры в каждой колонне и шеренге были разных званий и из разных полков.

Такая задача неразрешима.

Другая задача звучит так: нужно разложить 16 карт (валеты, дамы, короли и тузы разных мастей) так, чтобы в каждом ряду и столбце былопоодной карте каждоймастиизначения.

Эта задача была известна ещё до Эйлера. Её решением будет любой греко-римский квадрат порядка 4. Также для этой задачи есть варианты, в которых требуется, чтобы на главных диагоналях выполнялись те же требования. В другом варианте требуется, чтобы цвета мастей шли в шахматном порядке. Все эти задачи имеют решения.

63

Применение греко-латинских квадратов в теории планирования экспериментов

Если есть система, на которую действуют четыре различных параметра (например, воздействие N различных рекламных роликов на население N различных возрастных, социальных и этнических групп), которые могут принимать по N значений, нужно рассмотреть греко-латинский квадрат порядка N.

Тогда параметры будут соответствовать ряду, столбцу, первому и второму числу. Таким образом можно провести N·N экспериментов вместо N·N·N·N (в случае полного перебора вариантов).

Предположим, что нужно провести несколько экспериментов, зависящих от трех параметров 1 ≤ a, b, c ≤ n, так чтобы для каждой пары параметров были опробованы все n2 вариантов. Тогда нужно взять любой латинский квадрат порядка n и провести n2 экспериментов с параметрами a = номер строки, b = номер столбца, c = значение в клетке латинского квадрата.

Магический квадрат

На известной гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия» (1514 г. – почти полтысячи лет назад) – рис. 2.18, изображён так называемый магический квадрат (рис. 2.19) – числа в нём удовлетворяют сразу нескольким условиям:

–суммы в строках равны N,

–суммы в столбцах равны N,

–сумма в диагоналях равны N.

64

Французский математик Клод Баше де Мезериак в 1612 году (в России – Смутное время…) предложил следующий метод для построения магического квадрата n × n для n нечётного с числами от 1 до n2:

Синий центральный квадрат n × n – основа магического квадрата. Каждый находящийся вне синего квадрата числовой «уголок» переносится к противоположной стороне квадрата:

Оказывается, сумма чисел в строках, столбцах и диагоналях

Магический квадрат послужил предвестником нового направления в комбинаторике – оно рассматривает так называемые блоксхемы – таблицы из систем чисел или множеств, которые удовлетворяют сразу большому количеству очень жёстких ограничений. Настолько жёстких, что речь идёт уже не о перечислении возможных вариантов, а о самом существовании такой схемы.

Интересной структурой является квадрат-палиндром – рис. 2.20, в котором написан латинский текст ’Sator Arepo tenet opera rotas’ ( лат. «СеятельАрепострудомдержитколеса»):

66

Да это же простые числа! Эта связь с простыми числами была обнаружена только в конце XX века. В 1972 году учёные Г.В. Манн и Д. Шенкс установили этот факт в процессе отладки программы.

2.8. БЛОК-СХЕМЫ И КОНЕЧНЫЕ ПРОЕКТИВНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Комбинаторные конфигурации наиболее общего вида были исследованы в 30-е годы XX столетия и были названы блок-схемами (block design) [5]. Блок-схемы состоят из наборов элементов, называемых блоками.

Выбор элементов и пар элементов в блоки подчиняется определенным правилам. Число сочетаний без повторений из n элемен-

тов a, b, c по k , Cnk , образует полную блок-схему:

Уравновешенной неполной блок-схемой называется такое размещение n различных элементов по b блокам, что каждый блок содержит точно k различных элементов, каждый элемент появляется точно в k различных блоках и каждая пара различных элементов ai, aj появляется точно в λ блоках.

Например, разбиение:

X = {1, 2, 3}, n = 3, b = 3, k = 2, λ = 1. {2, 3}, {1, 3}, {1, 2}.

Блок-схема (t-схема) с параметрами (v, k, λ) – это пара (B, S), где B – совокупность k элементных подмножеств v элементного

68

множества S, такая, что каждая пара элементов (соответственно, каждые t элементов) из S содержится точно в λ подмножествах из B.

В терминах теории графов это можно переформулировать так: блок-схема – это покрытие с кратностью λ полного графа на v вершинах полными графами на k вершинах. Блок-схемы при k = 0,1 и v тривиальны, поэтому обычно предполагается, что 2 ≤ k ≤ n – 1.

Тогда

X = {1, 2, 3}, n = 3, b = 3, k = 2, λ = 1. {2, 3}, {1, 3}, {1, 2}.

(v = 3, k = 2, λ = 1), t = 2 каждая пара (но может быть и тройка).

Конечные проективные плоскости

Частным случаем блок-схем являются так называемые конечные плоскости [5]. Выберем конечное множество P. Некоторые элементы из P назовем точками. Некоторые подмножества из P назовем прямыми. Пусть отношение инцидентности между точками

ипрямыми удовлетворяет следующим геометрическим аксиомам:

1.На каждой прямой лежит n точек B.

2.Через каждую точку проходит n прямых.

3.Любые две прямые пересекаются в одной точке.

4.Через любые две точки проходит единственная прямая.

5.Существуют четыре точки, неколлинеарные по три. (Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.)

Таким образом, проективная плоскость – это множества точек

ипрямых и такое отношение инцидентности, что:

–для любых двух различных точек существует единственная инцидентная им прямая;

–для любых двух различных прямых существует единственная инцидентная им точка – точка пересечения;

–существуют такие четыре точки, что прямая, инцидентная двум из них, не инцидентна ни одной из двух других.

69

Если на проективной плоскости существует прямая, инцидентная ровно (q + 1)-й точке, то:

–каждая прямая инцидентна (q + 1)-й точке;

–каждая точка инцидентна (q + 1)-й прямой;

–проективная плоскость имеет q2 + q + 1 точку и q2 + q + 1

прямую.

Число q называется порядком проективной плоскости. Любая проективная плоскость имеет не менее 7 точек. Плос-

кость Фано имеет 7 точек и 7 прямых.

Отношение инцидентности на плоскости Фано задано следующей матрицей:

Обратим внимание, что каждая строка получена особой перестановкой – циклическим сдвигом исходной строки влево.

Это не граф, где бинарные отношения, это тернарные отноше-

ния, т.е. это модель множества троек Т = {(1, 2, 4), (1, 3, 7), (2, 6, 7), (1, 5, 6), (4, 5, 7), (3, 4, 6), (2, 3, 5)} – рис. 2.21:

Рис. 2.21. Изображениеплоскости Фанопрямыми

Можно представить эти прямые на шаре.

70