Дискретная математика & математическая логика

2.9. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВИДЫ ФАКТОРИАЛОВ

Двойной факториал числа n обозначается n!! и определяется как произведение всех чисел одинаковой с ним четности до n включительно. По определению полагают 0!! = 1.

Примориал – число n обозначается n# и определяется как произведение простых чисел, не превышающих n: 2·3·5·7·11 = 2310.

Первые 15 примориалов: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510.

Суперфакториал числа n определяется как произведение факториалов всех целых чисел от 1 до n включительно.

Субфакториал (!n) определяется как количество беспорядков порядка n, т.е. перестановок n-элементного множества без неподвижных точек.

71

3.ТЕОРИЯ ГРАФОВ

3.1.ТРАНСВЕРСАЛЬ И ТЕОРЕМА О СВАДЬБАХ. ТРАНСВЕРСАЛЬНОЕ ПОКРЫТИЕ

Рассмотрим двудольный граф Гд(E, V), где E, V – доли. Еj – множество множеств соответствующих смежных E вершин доли [5].

Трансверсалью (или системой различных представителей, или трансверсальным покрытием) называется подмножество T V, состоящее из элементов V – по одному из каждого множества Еj

(рис. 3.1).

Рис. 3.1. Двудольный граф с трансверсалями

72

Матрица смежности этого двудольного графа имеет вид

Для Гд(E,V)E = {e1, e2, e3, e4}, V = {v1, v2, v3, v4, v5}.

Множество множеств смежных долей E вершин доли V:

Еj = {{v1, v4, v5}, {v1}, {v2, v3, v4}, {v2, v4}}.

Легко определить четыре трансверсали:

T1 = {v1, v2, v3, v4}, T2 = {v1, v2, v3, v5},

T3 = {v1, v3, v4, v5}, T4 = {v1, v2, v4, v5}.

Получим трансверсальные покрытия путём определения декартова произведения всех подмножеств Еj и выделения из полученных четвёрок четырёхэлементных множеств:

Еj = {{v1, v4, v5}, {v1}, {v2, v3, v4}, {v2, v4}}.

Будем указывать только номера v:

Переходя к соответствующим множествам, получим четыре указанные выше трансверсали.

73

Теорема о свадьбах (или теорема Холла)

Теорема Холла (или теорема о свадьбах), названная в честь английского математика Филипа Холла, гласит, что если в двудольном графе любые k элементов одной из долей связаны по крайней мере с k элементами другой, то граф разбивается на пары, т.е. каждый юноша может жениться на знакомой девушке. Действительно, как можно жениться на незнакомой?!

Возьмём

Еj = {{v1, v4, v5}, {v1}, {v2, v3, v4}, {v2, v4}}.

Е1 = {v1, v4, v5}, т.е. е1 связана с тремя v;

Е1 Е2 = {v1, v4, v5}, т.е. е1, е2 связаны с тремя v;

Е1 Е2 Е3 = {v1, v2, v3, v4, v5}, т.е. е1, е2, е3 связаны с пятью v;

Е1 Е2 Е3 Е4 = {v1, v2, v3, v4, v5}, т.е. е1, е2, е3, е4 связаны с пя-

тью v и т.д. – всего 15 возможных объединений (булеан от 4 элементов без пустого множества), т.е.

Всего 2 E − 1 вариант.

Приведем ещё один пример – рис. 3.2:

Рис. 3.2. Некоторый двудольный граф

74

В графе на рис. 3.2

{{v1, v2}, {v1, v3}, {v2, v3}, {v1, v2, v3}, {v1, v3, v4, v5}}

нет трансверсали.

Здесь объединение четырёх множеств содержит только три элемента:

Е1 Е2 Е3 Е4 = {v1, v2, v3}.

Рассмотрим матрицу плоскости Фано – как матрицу смежности двудольного графа, где строки – первая доля, а столбцы – вторая:

Тогда Еj = {{1, 2, 4}, {1, 3, 7}, {2, 6, 7}, {1, 5, 6}, {4, 5, 7}, {3, 4, 6},

{2, 3, 5}}.

Получим трансверсаль T = {1, 3, 6, 5, 7, 4, 2}.

Влатинских квадратах трансверсаль одна: Т = {1, 2, 3}:

Влатинских прямоугольниках много трансверсалей {1, 2, 3}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, …:

75

3.2. МНОЖЕСТВА ВНУТРЕННЕЙ И ВНЕШНЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ ОРГРАФА

Множества внутренней устойчивости орграфа

В орграфе – ориентированном графе G = <V, Г>, где V – множество вершин, Г – множество дуг, подмножество S V называется внутренне устойчивым, если S∩ Г (S) = 0, т.е. никакие две вершины из S не смежны.

Пусть задан некоторый орграф [7] – рис. 3.3:

Рис. 3.3. Некоторый орграф

Матрица смежности этого графа имеет вид

Метод Магу нахождения максимального внутренне устойчивого множества предполагает получение по матрице смежности КНФ, описывающей условия существования такого множества, по каждой вершине, смежной другим вершинам.

Например, для заданного графа: если вершина 1 смежна вершине 2, то это условие звучит так:

Если 1, то не 2: (1 → не 2). Это эквивалентно (не 1 или не 2).

76

Получим ДНФ, используя распределительный закон:

(2 134)(5 3)= (25 23 1345 134).

По закону поглощения получаем

(25 23 134).

Эта запись означает, что получены следующие множества:

Множества внешней устойчивости орграфа

В ориентированном графе G = <V, Г>, где V – множество вершин, Г – множество дуг, подмножество Т V называется внешне устойчивым, если для любой вершины vi из Т T ∩ Г(vi) ≠ 0, т.е. из любой вершины, не принадлежащей Т, исходит по крайней мере одна дуга в Т.

Метод Магу нахождения минимального внешне устойчивого множества предполагает получение КНФ, описывающей условия существования такого множества, по каждой вершине, смежной другим вершинам [7].

Например, для заданного графа: вершина 1 смежна вершине 2, это условие звучит так: 1 или 2.

Вершина 2 смежна 3 и 4: (2 или 3 или 4).

77

Вершине 3 смежных нет – записываем 3. Вершине 4 смежных нет – записываем 4. Вершина 5 смежна 3: (5 или 3).

Запишем формулу

(1 2)(2 3 4) 3 4(5 3).

Упрощаем:

(1 2) 3 4= 134 234.

Таким образом, получаем два минимальных внешне устойчи-

вых множества {1, 3, 4}, {2, 3, 4}.

Задача о видеонаблюдении (К. Берж)

У Бержа вообще-то речь идёт о тюремных казематах, но нам больше нравится банковская тематика.

Имеется граф банковского хранилища с сейфами 1, 2, …, 9, соединённых коридорами – рис. 3.4 [7]. Каково минимальное количество видеокамер, которые надо установить так, чтобы они могли наблюдать за всеми сейфами?

Рис. 3.4. Задача о видеонаблюдении

78

Задача сводится к нахождению минимального внешне устойчивого множества графа {2, 5}, что легко определяется по матрице с учётом того, что камера «видит» свой сейф.

3.3. ТРАНСПОРТНАЯ СЕТЬ И ЗАДАЧА НАХОЖДЕНИЯ МАКСИМАЛЬНОГО ПОТОКА

Пусть задана транспортная сеть: х0 – вход сети (исток), z – выход сети(сток), х1, х2, х3, х4 – промежуточныевершины– рис. 3.5 [8].

Рис. 3.5. Транспортная сеть

Цифры означают пропускную способность дуг – в числителе, поток в знаменателе. Стрелки – направление потока. Поток, входящий в вершину, равен сумме исходящих потоков. При изменении направления промежуточных дуг поток может изменяться.

79

Разрез сети – линия, разрывающая все пути от истока к стоку

(рис. 3.6).

Рис. 3.6. Разрезы транспортной сети

Очевидно, что невозможно пропустить через сеть поток, больший потока минимального разреза – рис. 3.7.

Рис. 3.7. Минимальный разрез транспортной сети

Ясно, что максимум, что можно «выжать» из сети, равно 6 единицам.

Задача о наибольшем потоке

Эта задача формулируется следующим образом: при заданной конфигурации сети и известной пропускной способности дуг необходимо найти наибольший поток и распределение его по дугам сети.

Дуга называется насыщенной, если поток в ней равен пропускной способности. Поток называется полным, если каждый путь от истока к стоку содержит по крайней мере одну насыщенную дугу.

80