Система устойчива по критерию Гурвица, если неравенства вы­ полняются.

Решение типовых задач

Задача 4.1. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

(рис. 4.1)

Решение. Определим передаточную функцию Ф(5) замкнутой

системы. Имеем

k(l + T2s)

,s(l + T,s)(l + T2s)

I I *(1+7^)

5(1 + Г,5)(1 + Г25)

или

___________^(1 + Г2д)

Ф(5) =

sil + T^ii + T ^ + kil + T^Y

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

5(1+ 7|5)(1 + T2s) + к(1 + Г25) = 0

или

(7;+Г3)(А:Г2+1)-А7;Гз >0.

Отсюда определим Т2 . Получим

Т2>^ к т (4Л5)

Таким образом, для того чтобы замкнутая система была устой­ чивой, должно выполняться неравенство (4.15).

Задача 4.2. Структурная схема системы управления ЛА приве­ дена на рис. 4.2.

Рис. 4.2

Здесь Кх=1; К2 = 5; Тх= 0,5 с; Г2 = 2 с. Определить:

1)устойчивость системы без корректирующего звена (WK(s) = T2s);

2)величину постоянной времени Г3 корректирующего звена из условия устойчивости по Гурвицу.

Определить к, при котором замкнутая система устойчива по

критерию Гурвица?

Задача 4.5. Передаточная функция системы имеет вид

s (f,V + 1)’

где А, =25с"'; Тх=0,01 с.

Для демпфирования системы последовательно в канал управления введено корректирующее звено с передаточной функцией (рис. 4.3)

W2(s) = k2l-Ts

l + Ts’

где кг = 1.

Рис. 4.3

Выбрать постоянную времени корректирующего звена Т из ус­ ловия устойчивости по Гурвицу.

Задача 4.6. Определить устойчивость замкнутой системы, если разомкнутая система описывается передаточной функцией вида

1

W(s) =

(s + IXs-l)

с использованием критерия Гурвица.

Задача 4.7. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W(s) = k(Txs + 1) s\T 2s + 1)'

Определить условие устойчивости замкнутой системы по крите­ рию Гурвица.

Задача 4.8. Структурная схема системы управления приведена на рис. 4.4.

Рис. 4.4

Определить к5, при котором система устойчива по критерию

Гурвица.

Задача 4.9. Передаточная функция замкнутой системы имеет вид

___________ к(is +1)___________

ф (*)= 772V + Т У + (kx-Ti)s + (k-l)'

Определить т , при котором система устойчива по критерию Гурвица.

Задача 4.10. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

1 -7д

W(s) = к{к2

s ^ s + lXTs + l)’

где кх= 25; к2 = 1; Тх= 0,01.

Определить Т из условия устойчивости по Гурвицу замкнутой системы.

Задача 4.11. Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему, уравнение которой имеет вид

ЗУ4)(0 + 4 / 3)(0 + 4 Я 0 + 2y{t) = fit).

Задача 4,12. По критерию Гурвица определить, устойчива ли замкнутая система, если передаточная функция ее разомкнутого кон­ тура имеет вид

fF(s) = ______ к(is + 1)______

(T^s - l)(T2s + l)(TiS + 1) ’ где kx= 50; т = 0,05; Г, = 0,1; Т2 = 0,02; Тъ= 0,25.

Задача 4.13. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

______ k(xs +1)______

lP(s) =

(Txs + \)(T2s + \)(T2s - \) '

где Г, = 0,2; Т2 = 0,25; Г3 = 0,5; т = 0,1.

При каких значениях к замкнутая система устойчива по крите­

рию Гурвица?

Задача 4.14. Динамическая система описывается уравнением вида

a0y°\t) + а\У(0+ %У(0+ агу{?) = f(t).

Записать условие устойчивости системы по критерию Гурвица.

Задача 4.15. Динамическая система описывается уравнением вида

<*0y w (t) +а ,/3)(0 +a2y{t) +a3y(t) +aAy(t) = ДО-

Записать условие устойчивости системы по критерию Гурвица.

Задача 4.16. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

W(s) = 10$ + 1

7 (5 7 + 1 )’

Проверить, является ли устойчивой замкнутая система по критерию Гурвица.

Задача 4.17. Дан характеристический полином замкнутой систе­ мы вида

M(s) = s4 + 2s3 + s2 + 10s+ 20.

Проверить замкнутую систему на устойчивость по критерию Гурвица.

Задача 4.18. Определить устойчивость по Гурвицу для системы

управления с характеристическим полиномом вида

M(s) = s 4 + 3s3 + 10S2 + 2s + 5.

Задача 4.19. Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

s3+ 2 s2 +3s + l

Проверить замкнутую систему на устойчивость по критерию Гурвица.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5. Точность линейных систем управления (установившаяся или статическая

ошибка системы управления)

Теоретические сведения

Структурная схема системы управления приведена на рис. 5.1.

т

W(s)

Рис. 5.1

Здесь x(t) - сигнал на входе системы управления; y(t) - сигнал на выходе системы управления; е(/) - ошибка системы управления;

W(s) - передаточная функция разомкнутой системы.

Передаточная функция по ошибке определяется соотношением

'l + »4s)

Здесь X(s) - изображение по Лапласу сигнала x(t); E(s) - изобра-

жение по Лапласу ошибки s(t).

Статическая ошибка системы управления определяется выражением