ГЛАВА 2. МЕХАНИЗМЫ НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

где хт —максимальное сдвиговое напряжение, которое может вы­

держивать решетка. В предположении малости х/а последнее соот­ ношение можно записать в виде:

Полагая, что a - d и приравнивая правые части(2.1) и (2.3), получаем искомую оценку так называемой теоретической прочности: xm= GI (2я). Позднее было получено уточненное значение хт—G/30.

Несколько с иных позиций вопрос об определении напряжения сдвига, необходимого для движения дислокации, рассмотрели Пайерлс и Набарро [55]. Они определили изменение энергетического профиля по­ верхности скольжения при возникновении возмущений от движения дис­ локации из одного равновесного положения до другого, также предпола­ гая, что напряжение сдвига, действующее по плоскости скольжения, яв­ ляется периодической функцией относительно смещения соседних плоскостей. Используя синусоидальное приближение, было показано, что напряжение страгивания краевой дислокации определяется выражением:

где v —коэффициент Пуассона, а = b (модуль вектора Бюргерса). Понят­ но, что полученные оценки являются качественными, позволяющими оценить порядок величины критического напряжения, соответствующе­ го началу пластического деформирования.

Однако эксперименты, проведенные на широком классе отожжен­ ных кристаллов различных металлов, показывают, что значения сдвиго­ вых критических напряжений равны (НГ^КГ4) G. Объяснение этому было дано в середине 30-х годов нашего столетия, в первую очередь - в практически одновременно опубликованных в 1934 году работах Тей­ лора, Орована и Поляньи (результаты были получены авторами незави­ симо друг от друга). Отмеченное несоответствие объяснялось цитируе­ мыми авторами и другими исследователями наличием в кристаллах специфических линейных дефектов - дислокаций. В этом случае для осуществления неупругого деформирования нет необходимости одно­

временного разрушения связей всех соседствующих вдоль плоскости сдвига атомов, достаточно локального разрушения и восстановления таких связей вдоль линии дислокации по эстафетному механизму. Уста­ новление такого типа дефектов в качестве основного «носителя» неуп­ ругой деформации позволило существенно улучшить соответствие тео­ ретических и экспериментальных данных.

Два основных типа дислокаций - краевые и винтовые. Основной характеристикой дислокации является вектор Бюргерса, определяющий различие замкнутого контура в бездефектном кристалле и замкнутого контура, окружающего линию дислокации (контур Бюргерса).

Схематично образование краевой дислокации можно представить следующим образом: в идеальном кристалле делается плоский надрез, в который вставляется лишняя полуплоскость (экстраплоскость), после чего системе дают возможность отрелаксировать (рис. 2.1). После ре­ лаксации правильное строение кристалла восстанавливается во всем объеме, за исключением узкой области (с размерами в несколько меж­ атомных расстояний), примыкающей к краю экстраплоскости.

Рис. 2.1. Схема образования краевой дислокации (экстраплоскость и линия дислокации перпендикулярны плоскости рисунка)

Плоскость, перпендикулярная экстраплоскости и определяемая нормалью п, называется плоскостью залегания или плоскостью сколь­ жения краевой дислокации; вектор Бюргерса b краевой дислокации рас­ положен в плоскости залегания и определяет направление возможного движения (скольжения) дислокации. Край экстраплоскости определяет

положение линии дислокации, вдоль которой направляется единичный вектор 1, так, что тройка (1,Ь,п) является правой тройкой. Плоскость залегания краевой дислокации, таким образом, совпадает с плоскостью (1,Ь). В зависимости от расположения экстраплоскости выделяют по­ ложительные и отрицательные краевые дислокации, обозначаемые со­ ответственно как ± и Т. Под действием приложенных напряжений краевые дислокации могут скользить в плоскости залегания (в направ­ лении вектора Бюргерса), такое их движение называется консервативным, или двигаться в направлении вектора □ (переползать) за счет присоедине­ ния к краю экстраплоскости вакансий или межузельных атомов, такое движение называется неконсервативным. При встрече двух параллельных краевых дислокаций противоположных знаков они взаимно уничтожают­ ся, аннигилируют, восстанавливая правильное строение решетки.

Винтовую дислокацию схематично вводят обычно следующим образом: в цилиндрическом бездефектном кристалле делается радиаль­ ный надрез до оси цилиндра; вдоль пересечения плоскости надреза и боковой поверхности цилиндра края надреза смещаются на одно меж­ атомное расстояние и соединяются, после чего дают системе отрелаксировать. В полученной таким образом конфигурации нарушение пра­ вильного строения кристалла сосредоточено в узкой области вблизи оси цилиндра, которая является линией винтовой дислокации и определяет­ ся единичным вектором касательной I. Вектор Бюргерса b винтовой дислокации параллелен линии дислокации. В зависимости от направле­ ния вектора Бюргерса по соглашению вводятся положительные и отри­ цательные винтовые дислокации, обозначаемые как у и Я соответствен­ но. Винтовые дислокации противоположных знаков также могут анни­ гилировать при встрече.

В реальных кристаллах дислокации в общем случае имеют кри­ волинейную форму, в каждой точке линии дислокации могут присутст­ вовать краевые и винтовые составляющие. Часто дислокации представ­ ляют собой замкнутые петли. При этом из ФТТ известны следующие геометрические свойства дислокаций: вектор Бюргерса постоянен в ка­ ждой точке данной дислокации; дислокации не могут обрываться в кри­ сталле, они могут либо выходить на поверхность кристалла, либо обра­ зовывать замкнутые петли, либо разветвляться; в каждой точке ветвле­ ния суммарный вектор Бюргерса исходящих из узла дислокаций равен нулевому вектору.

Несмотря на то, что дислокации не являются равновесными дефек­ тами, в реальных кристаллических материалах всегда присутствует зна­ чительное количество дислокаций. Количественной мерой при этом слу­ жит плотность дислокаций, определяемая суммарной длиной дислокаций в единице объема. Даже в хорошо отожженных кристаллах плотность дислокаций составляет 10 - 1 0 см/см (см- ), доходя в деформированных кристаллах до 1012-1014 см-2 (104-106 км в 1 мм3!). Дислокации в кристал­ лических материалах образуются уже на стадии кристаллизации из рас­ плавов, растворов или газообразной фазы. В процессах термообработки возможными механизмами образования дислокаций (в виде петель) яв­ ляются диффузионные процессы, приводящие к возникновению дисков вакансий (с последующим их «охлопыванием») и межузельных атомов.

Таким образом, основным механизмом пластического деформиро­ вания является движение дислокаций. Казалось бы, при достижении критических напряжений в образце (по крайней мере, монокристаллическом) дальнейшее пластическое деформирование должно продол­ жаться до каких угодно деформаций при сохраняющейся нагрузке. Однако для большинства металлов и сплавов даже в опытах на монокристаллических образцах обнаруживается, что для продолжающейся пластической деформации требуется увеличивать прикладываемую к образцу нагрузку; иначе говоря, материалы упрочняются в процессе пластического деформирования. В чем причина такого поведения мате­ риалов? Оказывается, что «ответственность» за возникновение различ­ ных эффектов упрочнения (и многих других эффектов, отмеченных в [51]) несут различные механизмы взаимодействия дислокаций с дру­ гими дефектамиточечными, линейными, поверхностными и объем­ ными. Следовательно, движущиеся дислокации, встречая на своем пути другие дефекты, вступают с ними в реакции, во взаимодействие, приво­ дящее к затрудненому движению дислокаций. В связи с этим понимание указанных процессов является весьма важным для построения ОС, осо­ бенно для развитых пластических деформаций.

Выше рассматривались так называемые полные (или единичные, или совершенные) дислокации с вектором Бюргерса, равным одному из трансляционных векторов решетки, перенос на который (или «-кратный перенос) делает конечное состояние решетки неотличимым от исходно­ го. Однако в типичных металлических кристаллах имеются дислокации с отличными от трансляционных векторами Бюргерса, которые называ­ ются частичными дислокациями. Такие частичные дислокации могут

взаимодействовать друг с другом с образованием полных дислокаций; напротив, полные дислокации могут диссоциировать на несколько час­ тичных, т.е. частичные дислокации сами могут рассматриваться как продукт реакции дислокаций. Рассмотрим более подробно частичные дислокации на примере ГЦК-кристаллов. В ГЦК-решетке имеет место следующее расположение атомов (рис. 2 .2 ): первый слой составляют плотноупакованные «шары», позиция которых в проекции на плоскость плотнейшей упаковки (111) обозначена буквой А. Положение центров «шаров» второго слоя в проекции на ту же плоскость обозначены бук­ вой В, третьего - как С, далее соблюдается периодичность (АВС...).

Такое расположение плотноупакованных слоев ГЦК-решетки обо­ значают как упаковку АВСАВСАВС... Заметим, что для ГПУ-решетки имеет место периодичность АСАСАС...

Рис. 2.2. Расположение атомов ГЦК-кристаллов в проекции на плоскость (111)

Предположим, что в кристаллической решетке имеется (полная) краевая дислокация, экстраплоскость которой перпендикулярна плоско­ сти рисунка, ее край совпадает со слоем В, вектор Бюргерса Ь (я/2[101]) перпендикулярен экстраплоскости и расположен в плоскости плотней­ шей упаковки (см. рис. 2.2). Единичный акт перемещения полной дис­

локации осуществляется переходом атомов экстраплоскости из положе­ ния В в новое положение того же типа В. Однако энергетически выгод­ нее атомам экстраплоскости вначале перейти в соседнее положение

лунки С (на вектор ЬДя/брП])); при этом локально нарушается «пра­

вильная» последовательность АВСАВС, которая на некоторой части слоев заменяется на последовательность АСАС. Эта часть слоев называ­ ется дефектом упаковки и трактуется как поверхностный дефект кри­ сталлической решетки. Затем атомы переходят в новое положение сме­

щением на вектор Ь2(д/6 [112]), восстанавливая «правильное» чередо­

вание слоев. Поверхность дефекта упаковки отделяется от остальной части кристалла выделенной линией, называемой частичной дислокаци­ ей и обозначается как J и L

Для частичных дислокаций вектор Бюргерса не совпадает с векто­ ром, равным межатомным расстояниям, и не перпендикулярен линии (краевой) дислокации. Частичные дислокации с вектором Бюргерса, ле­ жащим в плоскости их скольжения, называются дислокациями Шокли; на рис. 2.2 изображены именно дислокации Шокли с векторами Бюргер­ са bi и Ьг. Совокупность двух частичных дислокаций и дефекта упаков­ ки между ними называется расщепленной дислокацией.

Важнейшей характеристикой способности кристаллического мате­ риала к образованию дефектов упаковки (а следовательно, и расщеплен­ ных дислокаций) и определяющей ширину дефекта упаковки является энергия дефекта упаковки Еду (ЭДУ). Численно ЭДУ равна силе отталки­ вания частичных дислокаций (на единицу длины), или силе поверхност­ ного натяжения дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки и тем более кристалл склонен к образованию расщеп­ ленных дислокаций. Значения ЭДУ существенно различаются для разных

Л

металлов; так, для меди Еду равна примерно 40 эрг/см , для алюминия - 200 эрг/см . Легирование металлов, как правило, приводит к существен­ ному снижению ЭДУ; например, для бронз (Си + А1) с содержанием 4,5 и 7 % А1 ЭДУ составляет соответственно 20 и 2 эрг/см .

Если векторы Бюргерса частичных дислокаций лежат в плоскости скольжения (частичные дислокации Шокли), то расщепленная дислока­ ция может совершать консервативное движение. В то же время для со­ вершения переползания (например, при преодолении препятствий) тре­ буется стягивание расщепленной дислокации к обычной. Отметим, что ширина расщепленной дислокации может быть уменьшена до нуля под действием приложенных внешних и внутренних напряжений, т.е. рас­

щепленная дислокация может быть превращена (стянута) в обычную дислокацию.

Существуют частичные дислокации, вектор Бюргерса которых не лежит в плоскости скольжения, в силу чего они не способны к консер­ вативному перемещению (скольжением). К таким сидячим дислокациям относятся, например, дислокации (или петли сидячих дислокаций) Франка, которые могут образовываться в результате, например, схлопывания вакансионного диска в плоскости плотнейшей упаковки. Век­ тор Бюргерса такой дислокации перпендикулярен плоскости плотней­ шей упаковки, в силу чего дислокационная петля, окружающая дефект упаковки, не может скользить в своей плоскости. Дислокации Франка являются сильными препятствиями для движения других дислокаций.

При движении двух расщепленных дислокаций в пересекающихся плоскостях скольжения они могут образовывать весьма прочные барье­ ры (например, барьеры или дислокации Ломера-Коттрелла), запираю­ щие обе системы скольжения; ниже механизм их образования будет рассмотрен подробнее. С макроскопической точки зрения образование барьеров Ломера-Коттрелла ведет к существенному увеличению де­ формационного упрочнения в материалах с низкой ЭДУ по сравнению с материалами со средней и высокой ЭДУ. По мнению авторов, именно образование барьеров Ломера-Коттрелла ответственно за эффекты до­ полнительного упрочнения при сложном циклическом нагружении (см. гл. 2 [51]); проведенный анализ показал, что именно материалы с низкой ЭДУ обнаруживают склонность к дополнительному упрочнению.

Выше отмечалось, что дислокации могут разветвляться, что явля­ ется также одним из видов дислокационных реакций. Напомним одно из основных правил теории дислокацийсуммарный вектор Бюргерса дислокаций, вступающих в реакцию (например, ветвящейся дислока­ ции), должен быть равен суммарному вектору Бюргерса образовавших­ ся дислокаций.

Направление реакции определяется энергетическим критерием Франка: дислокационная реакция идет в направлении уменьшения внутренней энергии кристалла. Заметим, что это положение чрезвычай­ но часто принимается на веру в естествознании: полагается, что приро­ да устроена по принципу минимизации внутренней энергии. В механике экстремальные принципы также применяются весьма часто, однако их принято доказывать. В данной ситуации, однако, критерий Франка мо­ жет быть принят, поскольку он прошел эмпирическую проверку в тече-

ние десятилетий. Поскольку энергия дислокации пропорциональна квадрату ее вектора Бюргерса, критерий Франка иначе может быть сформулирован следующим образом: дислокационная реакция происхо­ дит в направлении уменьшения суммы квадратов векторов Бюргерса получающихся дислокаций в сравнении с суммой квадратов векторов Бюргерса исходных дислокаций.

Таким образом, если через Ь°, / = 1,1 обозначить векторы Бюргер­ са дислокаций, вступающих в реакцию, а через b^., j = 1, J - получив­ шихся в ее результате, то должно выполняться соотношение

причем реакция произойдет только в том случае, если выполняется кри­ терий Франка:

(2.5)

В частности, указанным правилам подчиняются реакции диссоциа­ ции полных дислокаций на частичные, объединения частичных дислока­ ций в полные; критерий Франка объясняет, например, распад и-кратной дислокации на п единичных.

Для наглядности анализа реакций дислокаций в кубических кристал­ лах широко используется так называемый стандартный тетраэдр Томпсона (СТТ). Рассмотрим построение СТТ на примере ГЦК-кристаллов с пара­ метром решетки а. В качестве вершин тетраэдра выберем одну из вершин куба (например, в начале координат кристаллографической системы коор­ динат (КСК)); три другие вершины совпадают с ближайшими к началу КСК центрами граней; иначе говоря, в терминах кристаллографических координат вершины тетраэдра определяются векторами:

А -а/2[101], В -а/2[011], Г —а/2[110], А = [000]. Грани тетра­ эдра представляют собой равносторонние треугольники с длиной стоЦентры граней, противоположных вершинам А,В,Г,А, обозначим соответствующими строчными буквами греческого алфави­

та а,р,у,5 . Теперь разрежем тетраэдр вдоль всех ребер, содержащих

Аа,Вр,Гу,А5. Дислокации Франка, взаимодействуя с частичными дислокациями Шокли, могут порождать полные дислокации, напри­ мер, Аа + аВ = АВ.

Выше уже упоминался один из известных механических эффек­ товтак называемое дополнительное циклическое упрочнение [51], ко­ торое испытывают некоторые материалы при сложном циклическом на­ гружении. Как показал проведенный анализ, склонность к данному эф­ фекту проявляют материалы с низкой ЭДУ, для которых характерно наличие расщепленных дислокаций. Одним из возможных механизмов появления дополнительного упрочнения при сложных нагружениях (в том числе сложных циклических) авторы считают образование дис­ локаций (или барьеров) Ломера-Коттрелла, в связи с чем целесообразно остановиться на этой реакции более детально [32].

Предположим, что в плоскости АВА (11 1) расположена дисло­ кация АВ (а/2[0 1 1]), а в плоскости АВГ (1 1 1 )- дислокация ВГ (я/2[0 1 1 ]), способные скользить в своих плоскостях, будучи парал­ лельными линии пересечения плоскостей ВА. Известно, что такие дис­ локации взаимно притягиваются. В материалах с низкой ЭДУ полные дислокации испытывают склонность к расщеплению; в данном случае дислокация АВ расщепляется согласно реакции ДВ = Ду + уВ (я/2[0 11] =

= а/6[1 1 2 ]+ а/6 [ 1 1 2]) на две частичные дислокации Шокли и дефект упаковки между ними (рис. 2.1.3). Пусть в плоскости АВГ дислокация

ВГ расщепляется по схеме ВГ = В5 + 5Г (д/2[1 0 1] = <з/6[2 1 1 ]+

+ я/6[1 1 2]). Плоскости скольжения этих двух расщепленных дисло­ каций пересекаются по ребру АВ, при этом частичные дислокации уВ и В5 испытывают взаимное притяжение. Поэтому дислокации продви­ гаются к линии пересечения рассматриваемых плоскостей АВ и всту­

(или удерживающей) дислокацией. Вектор Бюргерса вершинной дис­ локации а/6 [1 1 0 ] и ее линия [1 10] перпендикулярны и расположены в одной плоскости (001), т.е. дислокация является краевой. Нетрудно проверить, что такая реакция удовлетворяет критерию Франка. В ре­ зультате получается совокупность трех Частичных дислокаций (вер­ шинной и двух дислокаций Шокли) и двух дефектов упаковки, распо­

au = -(£> / r) sin0 (2 + cos20), a 22 = (£>//*) sin0 cos2 0 , a 33 = v(an + a 22), a 12 = (D /r) cos0 cos2 0 ,a 13 = a 23 = 0 ,

D = Gbl ((2я(1 - v)),

где c = (x,2 + x2), G - модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона.

Достаточно просто (по полю перемещений) получить компоненты тензора напряжений винтовой дислокации. Направим ось Ох вдоль оси дислокации, оси Ох1 и Ох2 расположены в перпендикулярной плоско­ сти. Тогда компоненты тензора напряжений Коши в декартовой ортого­ нальной системе координат определяются как

остальные компоненты равны нулю. Нетрудно видеть, что компоненты напряжений при удалении от ядра дислокации убывают обратно про­ порционально расстоянию. При нагружении тела с дислокациями по­ следние взаимодействуют собственными полями напряжений как с при­ ложенными напряжениями, так и с полями напряжений других дисло­ каций (равно как и полями напряжений других типов дефектов); силы взаимодействия достаточно подробно рассматриваются во многих мо­ нографиях и учебных пособиях по ФТТ (например, [27, 32, 55]).

Следует отметить, что при приближении дислокации к свободной поверхности кристалла напряжение от дислокации и ее энергия падают, поскольку свободная поверхность не оказывает сопротивления движе­ нию дислокации. В силу этого дислокация притягивается к свободной поверхности; для математического описания этого явления используют­ ся фиктивные дислокации противоположного знака, расположенные со­ ответствующим образом за свободной поверхностью (так называемые дислокации изображения), так что суммарное напряжение от двух дис­ локаций на свободной поверхности удовлетворяет тривиальным стати­ ческим граничным условиям. Заметим, что для моделирования данного эффекта при использовании соотношений макрофеноменологических теорий пластичности (например, теории пластического течения) для об­ ластей, примыкающих к границе образца, принимается пониженное значение напряжения течения.

Краевые дислокации, расположенные в перпендикулярных плос­ костях, не взаимодействуют своими полями напряжений, в силу чего они могут как угодно близко подходить друг к другу и пересекаться. Рассмотрим две краевые дислокации с векторами Бюргерса bi и Ьг, плоскости скольжения которых ортогональны. Первую дислокацию бу­ дем считать подвижной, вторую - неподвижной. При пересечении пер­ вой дислокацией второй происходит локальное перестроение в окрест­ ности ядер дислокаций. При этом если вектор Бюргерса первой дисло­ кации bi перпендикулярен вектору Ьг, то на второй дислокации образуется ступенька краевой ориентации Ьг в направлении bi и вели­ чиной, равной модулю вектора bi, первая дислокация при этом остается неизменной; ступенька представляет собой участок краевой дислока­ ции. Если же векторы Бюргерса bi и Ьг параллельны друг другу, то при пересечении на каждой из дислокаций образуются так называемые пе­ регибы, направление и величина которых равны вектору Бюргерса пе­ ресекающей дислокации; перегибы имеют винтовую ориентацию. Та­ ким образом, пересечение дислокаций ведет к увеличению их длины, а следовательно, - энергии упругих искажений решетки вблизи ядра дис­ локации; для продвижения прореагировавших дислокаций требуется повышенное значение напряжения, что позволяет говорить о деформа­ ционном упрочнении при пластическом деформировании. В то же время ступеньки и перегибы могут существенно облегчать соответственно процессы переползания и скольжения дислокаций при своем движении вдоль линий дислокаций. Связано это с тем, что потенциальный барьер для локального перемещения ступеньки и перегиба существенно меньше по­ тенциального барьера соответственно переползания и консервативного пе­ ремещения дислокаций как целого; в силу этого и требуемые для переме­ щения ступеньки и перегиба напряжения значительно ниже значений кри­ тических напряжений для движения дислокаций как целого.

Дислокации взаимодействуют своими полями напряжений с дру­ гими дефектами, в том числе с точечными. Как отмечалось в [51], та­ кое взаимодействие является одной из возможных причин эффекта Портвена - Ле Шателье. Часть физиков связывают с этими взаимодей­ ствиями появление «зуба текучести» [51]. Используя введенную выше цилиндрическую систему координат, энергию Птд взаимодействия краевой дислокации с примесным атомом (точечным дефектом) можно записать как [32]

R —R

где R0- радиус атомов основного материала, Д = —---- -, Rn - атомный

К

радиус примеси. Силы взаимодействия определяются частными произ­ водными потенциальной энергии по координатам цилиндрической сис­ темы координат г и 0 :

Приведенные соотношения, конечно, справедливы только в облас­ ти выполнения принятых при их выводе гипотез и не могут напрямую использоваться при построении ОС на макроуровне. Однако в послед­ ние годы все большее распространение получают методы дислокацион­ ной динамики, клеточных автоматов, в которых рассмотренные соот­ ношения играют главную роль.

2.3. Д е ф о р м и р о в а н и е м о н о к р и с т а л л а д в о й н и к о ва н и е м

Основным механизмом неупругого деформирования в физических теориях пластичности является движение краевых дислокаций, что под­ тверждено многочисленными экспериментами. Двойникование не явля­ ется преобладающим видом неупругого деформирования в металлах с большим числом систем скольжения (ГЦК- и ОЦК-кристаллы) и в ос­ новном происходит в металлах, в которых скольжение дислокаций по некоторым СС ограничено (ГПУ-кристаллы). Однако экспериментально установлено, что деформирование двойникованием происходит также в ОЦК- и ГЦК-металлах при низких гомологических температурах, в материалах с низкой энергией дефекта упаковки и при повышенных скоростях деформирования. Появление двойников приводит к значи­ тельному изменению отклика материала, поскольку двойники являются эффективным препятствием для движения краевых дислокаций. Поэто­ му для указанных классов кристаллов при моделировании упругопла­

стического деформирования необходимо учитывать не только движение краевых дислокаций, но и двойникование как механизм неупругого де­ формирования и как механизм упрочнения.

Двойник может быть образован посредством сдвига, иллюстра­ ция такого типа двойникования показана на рис. 2.4 (заметим, что в фи­ зических теориях пластичности для описания двойникования обычно и используется представление деформирования за счет сдвига, величина которого фиксирована для каждого типа решетки, тогда сдвиговая де­ формация определяется объемной долей двойников). Для рассмотрения механического двойникования в металлах введем следующие общепри­ нятые обозначения: К \- плоскость двойникования (габитусная плос­ кость), остающаяся неискаженной при двойниковании; i|i _ направление двойникового сдвига; Кг —вторая неискаженная (инвариантная) плос­ кость; t|2—направление, лежащее в плоскости Кг и плоскости сдвига S, перпендикулярной плоскости двойникования К\ и содержащей направ­ ление сдвига ill.

Рис. 2.4. Элементы двойникования

При двойниковании кристалла должны выполняться следующие критерии:

- две плоскости остаются неискаженными: плоскость двойникова­ ния К\ и инвариантная плоскость Кг;

- инвариантная плоскость Кг образует с плоскостью К\ до и после двойникования одинаковые двугранные углы.

Рассмотрим кристаллогеометрию основных типов кристалловГЦК, ОЦК и ГПУ. В случае правильной упаковки в ГЦК-металлах по­ следовательность атомных слоев имеет вид АВСАВСАВС... При двой­ никовании она меняется ABCABACВА... Двойниковый сдвиг, равный 0,707, происходит по направлениям <112> и плоскостям {111} (рис. 2.5).

Перечислим элементы двойникования согласно введенным выше обо­ значениям:

К, =(111), 1,, =[112], АГ2 =(ll 1), л 2 =[112].

Двойниковый переход удобнее всего наблюдать в сечении, перпен­ дикулярном плоскости двойникования. На рис. 2.5 показан двойниковый сдвиг в направлении [П 2 ], создающий противоположную последова­

тельность упаковки слоев по сравнению с первоначальной, так что ре­ шетка двойника является зеркальным отражением основной матрицы.

70° 32'

Л '- г

АГ.-<111)

Рис. 2.5. Геометрия двойникования в ГЦК-решетке: 1- положения атомов до двойникования; 2 - положения

совпадающих атомов; 3 - двойниковые положения атомов

В ОЦК-решетках плоскости упакованы в последовательности ABCDEFABCDEF и если в этой структуре задать смещение в направле­

нии [ 111J , то образуется дефект упаковки ABCDEFEFABCD... Для об­

разования двойникового кристалла указанную операцию необходимо проделать на каждой последующей плоскости двойникования, чтобы получить последовательность упаковки ABCDEFEFDCBA. Индексы двойникования ОЦК-структур имеют вид:

*,=(112), Ч ,=[П 1], * ,= (П 2 ), Ч,=(Ш ].

Величина двойникового сдвига равна 0,707. Двойник схематиче­ ски изображен на рис. 2 .6 .

Рис. 2.6. Геометрия двойникования в ОЦК-решетке (темными точками обозначены атомы в плоскости чертежа, светлыми - выше или ниже плоскости чертежа)

В ГПУ-кристаллах обнаружено достаточно много типов двойников, тип которых зависит от величины анизотропии кристалла da (а - длина стороны правильного шестиугольника в базисной плоскости, с - высота призмы), чем меньше это соотношение, тем больше способов двойнико­ вания [16]. Гексагональные кристаллы двойникуются по системам:

К \ =(юТ2), ц=[Т011], *2=(10Т2), 1Ь=[10П].

Величина и направление сдвига зависят от соотношения da, одна­ ко величина сдвига всегда является относительно (кубических кристал­ лов) небольшой и изменяется в пределах от 0,175 {da = 1,89, Cd) до 0,199 (с/а= 1,59, Be). Следует заметить, что в данном случае описать движение атомов с помощью сдвига невозможно [16]. На рис. 2.7 изо­ бражена геометрия двойникования в ГПУ-кристаллах, стрелками соеди­ нены начальные положения атомов до двойникования с ближайшими

кним атомами в двойнике (доказательства того, что атомы движутся

впроцессе двойникования по этим путям, отсутствуют).

Рис. 2.7. Геометрия двойникования в ГПУ-решетке (темными точками обозначены атомы в плоскости чертежа, светлыми - выше или ниже плоскости чертежа)

В литературе (например, [55, 56]) обсуждаются дислокационные механизмы, которые должны действовать в процессе двойникования. Важным классом таких дислокационных механизмов являются полюс­ ные механизмы, которые впервые были предложены Котреллом и Билби для ОЦК- и ГЦК-металлов, а для ГПУ - Томпсоном и Миллардом [55]. Рассмотрим этот механизм на примере ОЦК-кристалла. Краевая реше­

точная дислокация —[l 11] способна расщепляться по реакции [55]:

(2.8)

_>т [ Т |2 ] + 7 [ Т11] ’

при которой изменение упругой энергии в первом приближении равно нулю, и согласно критерию Франка такая реакция возможна. Эта реак­ ция может проходить при приложенных внешних напряжения и низкой энергии дефекта упаковки. Частичная дислокация (двойникующая)

—[l llj (направление i]i) способна скользить как в плоскости двойни­

кования (112) (плоскость К{), так и в плоскости сдвига (l2 l) (плос­

кость S). При этом частичная дислокация закручивается вокруг полюс­

ной дислокации ^ 1 12J, создавая спираль и дефект упаковки по по­

следовательным плоскостям двойникования Одним из важнейших параметров, определяющих зарождение

и развитие двойников в кристалле, является энергия дефекта упаковки (ЭДУ). Напомним, что ЭДУ численно равна силе отталкивания частич­ ных дислокаций и определяет ширину дефекта упаковки; чем ниже ЭДУ, тем больше ширина дефекта упаковки. В материалах с высокими значениями ЭДУ расщепленные дислокации практически отсутствуют (частичные дислокации «стягиваются» в полную). Отметим, что важ­ нейшим этапом в образовании двойника, согласно приведенному выше механизму, являлась диссоциация полной дислокации на частичные. Вследствие этого в кристаллах с высокими значениями ЭДУ можно ожидать, что деформирование двойникованием затруднено и обеспечи­ вается деформированием преимущественно за счет скольжения дисло­ каций. Напротив, низкие значения ЭДУ способствуют деформированию двойникованием. Влияние на двойникование также оказывает химиче­ ский состав металлов (наличие примесей); так, например, добавка крем­ ния к железу приводит к более активному протеканию двойникования при деформировании [56]. Известно, что примесные атомы приводят к уменьшению ЭДУ, следовательно, к более интенсивному деформиро­ ванию двойникованием.

Необходимо также отметить влияние температуры на двойникова­ ние. Кристаллография сдвигов дислокаций зависит от температуры ис­ пытания [55], поэтому можно ожидать влияния температуры на развитие двойникования. Из экспериментов известно, что с понижением темпера­ туры склонность материала к двойникованию возрастает. Объяснение можно дать следующим образом: напряжение Пайерлса для полных дис­ локаций при понижении температуры нарастает быстрее, чем для час­ тичных дислокаций, ответственных за двойникование, что приводит к затрудненности скольжения. Кроме того, с понижением температуры падает ЭДУ, что также способствует деформированию двойникованием.

Наряду с температурными воздействиями существенное влияние на процесс двойникования оказывает скорость деформирования. Экспери­ ментально установлено, что при деформировании со скоростями, мень­ шими некоторой критической скорости деформирования, двойникование

в образцах не происходит. Существование минимальной скорости де­ формирования, при превышении которой имеет место двоиникование, вероятно, можно объяснить тем, что повышение скорости деформации приводит к увеличению напряжения деформирования скольжением дис­ локаций, поэтому в кристалле при определенных скоростях деформации достигаются критические напряжения двойникования.

2.4. З а к о н Ш м и д а

При построении упругопластических определяющих соотношений для монокристалла часто используется формализм теории пластическо­ го течения. В последней одним из главных является понятие поверхно­ сти текучести. При этом в качестве уравнения, определяющего поверх­ ность текучести монокристалла, обычно используется соотношение

где К - полное число СС рассматриваемого монокристалла, ш(*) - ориентационный тензор к-й СС, m(i) = b(i)n(*); часто в качестве ориен­ тационного тензора применяется его симметризованная составляющая

m = -^(b(i)n(*) +n{i)b(i)) . Первоначально закон Шмида применялся

только для определения момента начала неупругого деформирования кристаллитов, позднее он стал использоваться для произвольного мо­

мента деформирования, при этом критические напряжения для ка­

ждой СС зависят от истории деформирования, и для их определения требуется формулировка соответствующих эволюционных уравнений — законов упрочнения СС (см. п. 2.5).

Отметим, что в (2.9) полагается равенство пределов текучести в к-й системе скольжения при «прямом» и «реверсивном» нагружении,

итогда модель не будет описывать хорошо известный эффект Баушингера [51]. Как этого избежать? Указанное ограничение может быть легко устранено путем переопределения понятия системы скольжения, когда система скольжения определяется нормалью к плоскости скольжения

и«положительным» или «отрицательным» направлениями скольжения

в ней краевых дислокаций, т.е. осуществляется удвоение числа систем скольжения:

Далее под К будет пониматься именно число систем скольжения, равное удвоенному числу кристаллографических систем скольжения. Другим вариантом, не требующим удвоения числа СС, является переход к комбинированному закону упрочнения, введение для каждой СС до­ полнительного параметра - «остаточных микронапряжений», и эволю­ ционного уравнения для него.

Полагая неизменным положение кристаллографических осей (при рассмотрении больших деформаций и разворотов монокристаллов- в локальной системе координат, связанной с монокристаллом), нетруд­ но видеть, что соотношения (2.9) (или (2.10)) представляют собой сово­ купность К линейных уравнений относительно компонент девиатора напряжений s. Следовательно, в пространстве напряжений соотношения (2 .9 ) (или (2 .10)) определяют К гиперплоскостей, или К-гранник, назы­ ваемый многогранником текучести. Например, для ГЦК-кристаллов по­ верхность текучести представляет собой 24-гранник. В работах [48] подтверждены известные данные [118, 119] о том, что в вершинах кри­ терий Шмида одновременно выполняется или для 6 , или для 8 СС; результаты согласуются также с полученными ранее в рамках модели Линя [41].

Как отмечено выше, соотношение (2.10) в физической теории пла­ стичности часто используется в качестве критерия текучести не только для определения момента начала текучести, но и для произвольного момента

деформирования. В этом случае зависит от истории деформирования.

При одиночном скольжении по к-й активной системе скольжения происходит обычно увеличение критического напряжения тс(it) активной систе­ мы, называемое деформационным («активным») упрочнением и завися­ щее от величины сдвига. А что будет происходить в других СС, даже если они не являются в данный момент активными? Из физических соображе­ ний нетрудно предположить, что изменение плотности дислокаций в активных СС, сопровождающее пластическую деформацию, неми­ нуемо повлияет на поведение дислокаций в других СС. Действительно, наряду с активным упрочнением в экспериментах наблюдается увели­

чение критических напряжений в других системах, где сдвиг в процес­

се одиночного скольжения отсутствует; такое увеличение т^, 1Фк

называется скрытым («латентным») упрочнением. Последнее обуслов­ лено увеличением плотности дислокаций в активных системах сколь­ жения, являющихся препятствиями (дислокациями леса) для дислока­ ций других систем скольжения, равно как и возникновением других барьеров дислокационного происхождения.

Как показывают эксперименты, при множественном скольжении увеличение критического напряжения сдвига на единицу сдвига оказы­ вается большим, чем при одиночном скольжении. Каким образом это можно ввести в физическую модель? Тейлором был предложен закон изотропного упрочнения, согласно которому приращения критических касательных напряжений во всех активных системах скольжения одина­ ковы и определяются суммарным сдвигом по всем активным системам. Указанный закон широко используется в различных модификациях фи­ зической теории пластичности. Кроме того, во многих работах прини­ мается, что деформационное и скрытое упрочнения одинаковы; в на­ стоящей работе данное предположение также будет частично использо­ ваться. В то же время следует отметить, что экспериментальные исследования свидетельствуют о некотором превышении латентного упрочнения над деформационным.

Нетрудно видеть, что градиент поверхности текучести в простран­

Если изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) на­ ходится на одной из граней многогранника текучести (т.е. выполняются условия пластического деформирования), для определенности - на гра­ ни с номером /, то активной является система скольжения /, и направле­ ние приращения пластической деформации определяется градиентом к поверхности текучести. Иначе говоря, в данном случае выполняется принцип градиентальности для поверхности текучести, т.е. справедлив ассоциированный закон пластического течения. При расположении ИТН на ребре многогранника текучести приращение девиатора пласти­ ческой деформации de15 имеет направление, определяемое линейной комбинацией нормалей к пересекающимся граням. Аналогичным обра­

зом определяется направление dep при нахождении ИТН в вершине многогранника (направление de11 лежит внутри конуса, ограниченного нормалями к пересекающимся граням).

2.5. М ех а н и зм ы и м о дели деф о рм а ц и о н н о го у п ро чн ен и я

Изменение физико-механических свойств образца в процессах об­ работки металлов является следствием существенной перестройки мик­ ро- и мезоструктуры материала [66]. Описывать такие процессы невоз­ можно без изучения и создания соответствующих моделей, в явном ви­ де учитывающих физические первопричины эволюции микроструктуры материала при больших деформациях. Непосредственно в структуру физических теорий пластичности описание эволюции микроструктуры вводят через специфические соотношения (как правило, мезоили мик­ роуровня), определяющие изменение критических сдвиговых напряже­ ний на системах скольжения в зависимости от некоторого набора пара­ метров (в качестве которых могут выступать сдвиги, температура, энер­ гия дефекта упаковки и т.д.). Известно, что даже небольшое изменение значений входящих в закон упрочнения материальных параметров мо­ жет качественно отразиться на результатах описания поведения мате­ риала, в определяющие соотношения которого входят эти законы уп­ рочнения, что свидетельствует о необходимости очень тонкого и кор­ ректного учета механизмов неупругого деформирования материала, наиболее важных для исследования того или иного процесса.

В большинстве работ в рамках математических теорий пластично­ сти, посвященных исследованию упрочнения, классификацию моделей последнего проводят, исходя из качественного анализа вида «кривой напряжение - деформация» (получаемой в макроопытах) при продол­ жающемся активном нагружении и рассмотрения экспериментальных данных, полученных при исследовании микроструктуры материала при той или иной интенсивности деформаций [56, 64 и др.]. Так, в упрочне­ нии часто выделяют стадии, наступающие последовательно при пласти­ ческой деформации образца: стадия легкого скольжения, имеющая ме­ сто непосредственно после достижения предела текучести материал; стадия линейного упрочнения, связанная, по-видимому, с пересечением дислокационных линий и формированием дислокационных структур; стадия параболического упрочнения, наблюдаемая у материалов с низ­ кой энергией дефекта упаковки (ЭДУ)- связанная с взаимодействием

уже не отдельных дислокаций, а образовавшихся на ранних стадиях дислокационных субструктур, а также образованием и разрушением сидя­ чих дислокаций [81]. Подобное рассмотрение, как представляется, едва ли можно использовать при построении физически обоснованной теории пла­ стичности, так как, по сути, такая классификация представляет собой по­ пытку описать упрочнение, основываясь только на макрофеноменологическом подходе, не раскрывая при этом физических первопричин упрочне­ ния и не опираясь на физику взаимодействия носителей механизмов пластической деформации - дислокаций и дислокационных субструктур.

Вышеизложенное объясняет то значительное внимание в физиче­ ских теориях (как упругопластических, так и вязкопластических), ко­ торое уделяется модификации законов упрочнения, в частности, в свя­ зи с новыми экспериментальными данными, полученными с примене­ нием высокоразрешающей аппаратуры (в особенности - электронных микроскопов).

В большинстве современных исследований по упрочнению авторы используют так называемые дислокационно-ориентированные модели (dislocation based models'), в которых в качестве внутренних переменных микроуровня вводят скалярные плотности дислокаций на системах скольжения; далее записывают эволюционные уравнения для плотности дислокаций, а в качестве замыкающих уравнений записывают выраже­ ние, связывающее скорости сдвигов со скоростями изменения плотности дислокаций (обычно используется соотношение Орована) [91, 95-97, 99, 138, 162]. В качестве примера можно привести работу [97], в которой развивается такой подход. В части, касающейся описания упрочнения, авторы придерживаются классического подхода, когда скорость измене­ ния критических касательных напряжений на системе скольжения запи­ сывается в виде

точка сверху означает материальную производную по времени, у(,,) -

скорость сдвига по системе скольжения h, Nsljp - количество активных

систем скольжения, а коэффициенты (модули) упрочнения H gh описы­ вают взаимодействие дислокаций различных систем скольжения. Заме­

Попытка явного учета различных конкретных механизмов взаимо­ действия дислокаций в законе упрочнения делается в работе [162]. К существенным недостаткам предлагаемой модели следует отнести тот факт, что модули упрочнения в работе есть величины постоянные, а способ их определения не описан. Перечислим некоторые учитывае­ мые в работе механизмы: формирование барьеров Ломера-Коттрелла, образование барьеров Хирта и так называемых «скользящих стыков», взаимодействие дислокаций на скрещивающихся системах скольжения, взаимодействие дислокаций, лежащих в одной плоскости, в том числе взаимодействие дислокаций одной и той же системы. Для описания эво­ люции скалярной плотности дислокаций принимаются соотношения ви­ да (2.13), без учета размера зерна.

В статье [159] детально анализируются законы кинематического внутризеренного упрочнения (или - законы, определяющие эволюцию остаточных микронапряжений р). Каждое зерно представляется сово­ купностью внутренностей и стенок ячеек, материал внутри ячейки по­ лагается упругопластическим, стенки рассматриваются состоящими из упругого материала. Для получения аналитического решения рассмат­ ривается простая геометрия ячеек (сферическая и круговая цилиндриче­ ская). Определение остаточных микронапряжений осуществлено с по­ мощью моделей Kroner и Berveiller & Zaoui в предположении изотропии кристаллов. Согласно модели Kroner тензор остаточных микронапряже­ ний р* в к-й ячейке определяется как

p*=-2G (l-P)(£p- e p),

где Р - геометрический фактор (для сферического включения решение Эшелби дает Р = 2 (4—5v) /15 (1-v), v - коэффициент Пуассона), вр -

пластическая составляющая тензора деформаций внутри А-й ячейки, £р - средняя по кристаллу пластическая деформация. Berveiller & Zaoui предложили уточненное соотношение:

где 8^,G((- интенсивности пластических деформаций и напряжений.

С учетом предположения о деформировании стенок ячеек упругим об­ разом последнее соотношение модифицировано к виду

где f w - объемная доля границ ячеек. Результаты расчетов сопоставля­ лись с данными экспериментальных исследований разных авторов, про­ веденных на растяжение и циклическое нагружение монокристаллов, показано удовлетворительное соответствие экспериментальных и теоре­ тических результатов, полученных с помощью модифицированной мо­ дели, тогда как результаты расчетов по модели Kroner на один-два по­ рядка превышают экспериментально измеренные.

В работе [80] рассматривается модель пластичности кристаллов, основанная на введении тензора плотности и/или скалярной плотности дислокаций. Во втором случае предлагается использовать вязкопласти­ ческий закон: при выполнении условия Шмида на некоторой системе скольжения скорость сдвига в ней определяется соотношением:

где х(к) - сдвиговое напряжение в системе скольжения к, т(*) = mj^ :<т; m[s)- симметричный ориентационный тензор, т***, p(i) - параметры изо­ тропного и кинематического упрочнения, зависящие от плотности дис­ локаций; g (k\ п - материальные константы, (X) = Мах (0, X). Подробно закон упрочнения рассмотрен в [87] и имеет вид:

изотропный закон упрочнения), br, ct, тк, А'* - материальные константы.

Модификация упруговязкопластической модели, основанная на прямом рассмотрении движения краевых и винтовых дислокаций, пред­ ложена в работе [61]. Скорость сдвига в каждой СС определяется плот­ ностями соответствующих типов дислокаций и средними скоростями их движения (т.е. по уравнению Орована). Предложены эволюционные уравнения для плотности дислокаций, учитывающие их генерацию (ис­ точниками Франка-Рида) и аннигиляцию. Критические напряжения сдвига в СС определяются отдельно для краевых и винтовых дислока­ ций по плотности дислокаций обоих типов, накопленных в других СС, и законам взаимодействия с ними (с учетом образования барьеров дис­ локационного типа). Ротации решеток зерен устанавливаются ортого­ нальным тензором, входящим в полярное разложение упругой состав­ ляющей градиента места. Подробно описана численная процедура реа­ лизации модели. Вышеописанная физическая модель была встроена в конечно-элементный пакет ABAQUS. Для идентификации использова­ ны экспериментальные данные по растяжению монокристалла алюми­ ния. Представлены результаты расчета прямых полюсных фигур при стесненной осадке (в условиях ПДС) образцов из поликристаллического алюминия.

Следует отметить, что применение в качестве внутренних пере­ менных скалярных плотностей дислокаций на системах скольжения влечет за собой большие сложности при использовании модели. Вопервых, использование переменных микроуровня сразу лишает иссле­ дователя возможности оперировать Достоверными экспериментальными данными, дающими представление о реальных процессах, протекающих на данном масштабном уровне при пластической деформации; вовторых, даже опираясь на теорию дислокаций, едва ли можно учесть в уравнениях вида (2.13) взаимодействие дислокаций различных систем скольжения; наконец, в-третьих, далее в упомянутой достаточно простой модели введено множество материальных констант микроуровня, опре­ делять значения которых возможно только из экспериментов. В силу того, что состояние современной экспериментальной базы не позволяет в динамике отслеживать эволюцию Дислокационных субструктур в объ­ еме деформируемого материала, Д И С д о к а ц и о н н о - о р и е н т и р о в а н подн ы й­ ход к описанию упрочнения представляется интересным и перспектив­ ным, но еще недостаточно инструментально оснащенным.

В работах [43, 44, 49, 173] предлагается подход к описанию уп­ рочнения в моно- и поликристалла^, основанный на физическом анали­

зе механизмов взаимодействия дислокаций друг с другом и с границами зерен; при этом в соотношения явным образом не вводятся плотности дислокаций, законы упрочнения записаны в терминах сдвигов. Дается краткий обзор существующих в отечественной и иностранной литерату­ ре теорий упрочнения. Отмечается, что существуют два основных вари­ анта построения таких соотношений: первый —без явного учета эволю­ ции дефектной структуры материала, второй - на основе подхода к по­ строению определяющих соотношений с использованием внутренних переменных, характеризующих микроструктуру материала; при этом, как правило, необходимо использовать переменные микроуровня — плотности дислокаций, что приводит к проблеме замыкания эволюци­ онных уравнений.

Рассматриваются некоторые физические механизмы упрочнения, предлагается разделение упрочнения на неориентированное и ориенти­ рованное. Первое описывает упрочнение независимо от направления деформирования (образование пересечений дислокаций, жгутов, кос, барьеров Номера—Коттрелла); такое упрочнение приводит к увеличению критического напряжения сдвига сразу на многих СС. Второе связано с накоплением упругой энергии на «поджатых дислокациях» (на раз­ личных барьерах), эта энергия может высвобождаться при «развороте» направления деформирования. Запасаемая на микродефектах энергия, в свою очередь, разделяется на два типа: невысвобождаемая на микро- и мезодеформациях и высвобождаемая; доля «высвобождаемости» зави­ сит от сложности нагружения. Это разделение учитывается, например, при модификации основного (степенного) составляющего закона уп­ рочнения и при описании эффекта Баушингера.

Полагается, что основной вклад в упрочнение каждой СС вносит взаимодействие собственными полями напряжений дислокаций рас­ сматриваемой СС друг с другом и лесовыми дислокациями, для описа­ ния которого принимается степенной закон вида

it = 1,24, ц/ > 1, Y(0 > О,

т(*) (0) = t(*)сО ’

модифицированный (сомножителем в квадратной скобке) с целью учета сложности предшествующего нагружения. Введение указанного сомно­ жителя позволяет описать наблюдаемое для большинства металлов и сплавов свойство насыщения упрочнения, имеющее место на стадии множественного скольжения; заметим, что при одиночном скольжении данный сомножитель равен 1.

В предположении об аддитивности скоростей критических напря­ жений сдвига на системе скольжения, обусловленных различными ме­ ханизмами упрочнения, степенной закон (2 .2 0 ) дополняется слагаемы­ ми, учитывающими основные механизмы возникновения препятствий при пластическом деформировании, не учтенными первым (степенным) слагаемым, так что общая скорость изменения критического напряже­

переменных, характеризующих соответствующие механизмы (вообще говоря, принимающие различные значения в каждый момент деформи­

счет реакций на расщепленных дислокациях (в данной работе - на примере

образования барьеров Ломера-Котгрелла), (у(,), Y(,); , pV} - *• , )

позволяет учесть уменьшение критических напряжений при ревер­

возникающее при взаимодействии внутризеренных дислокаций с грани­ цами зерен.

Подход к описанию неориентированного упрочнения проиллюст­ рируем на примере описания дополнительного упрочнения за счет обра­ зования барьеров Ломера-Коттрелла. Вводя дополнительные внутрен­ ние переменные, функцию упрочнения можно записать в виде:

{ 2.22)

гДе Уэду " критическое значение энергии дефекта упаковки (ЭДУ), при превышении которой дислокации теряют способность к расщеплению;

вступать в реакции с дислокациями рассматриваемой СС с образовани­

Ориентированное упрочнение рассмотрим на примере двух меха­ низмов: за счет аннигиляции дислокаций, «поджатых» на препятствиях, при смене направления деформирования, и за счет взаимодействия внутризеренных дислокаций с границами зерен в случае деформирова­ ния поликристалла. Из анализа процесса аннигиляции определяются ос­ новные факторы, влияющие на уменьшение критического касательного напряжения на датой СС (в терминах сдвигов и скоростей сдвигов по СС). Полагаем, что плотность дислокаций, поджатых к барьерам раз­ личной природы на каждой СС, пропорциональна накопленному сдвигу, скорость аннигиляции дислокаций на /-й СС - произведению скорости сдвига по этой СС и величины накопленного сдвига на «противополо­ женной» СС (для ГЦК-кристаллов - с номером (/+12), индекс изменяется по модулю 24). Аннигиляция дислокаций рассматриваемой СС затрудня­ ется дислокациями, накопленными на других СС, в случае предшествую­ щего множественного скольжения. Для учета этого обстоятельства в соот­

ношение для введем дополнительный множитель, учитывающий

сложность нагружения по каждой СС, определяемый как отношение сдвига на рассматриваемой СС к суммарному сдвигу по всем СС; по су­ ти, этот множитель определяет долю упругой энергии (поля напряже­ ний дислокаций), высвобождаемой при реверсивном нагружении. В итоге рассматриваемый член в законе упрочнения представляется воз­ можным определить следующим соотношением:

dx\(О

где ^ yw —суммарный накопленный сдвиг по всем СС кристаллита,

j

Уо - малый параметр, - материальная константа.

При описании зернограничного упрочнения принимается один из физически возможных механизмов взаимодействия дислокации с гра­ ницей кристаллита: прохождение краевой решеточной дислокации через плоский участок (фасетку) границы соседних кристаллитов, определяе­ мый нормалью N*, в наиболее благоприятно ориентированную систему скольжения соседнего кристаллита. Последняя определяется из условия минимальности скорости приращения внутренней энергии соседних кристаллитов в текущий момент деформирования [18]. Для вычисления последней введем декартов ортогональный базис: первый базисный век­ тор определяется внешней нормалью фасетки границы, N = N*, второй L направим вдоль линии пересечения плоскости фасетки границы N* иу-й плоскости скольжения дислокации рассматриваемого /-го кристаллита и Третий вектор В расположен вдоль линии пересечения плоскости границы и плоскости, построенной на векторах N и п7': B = N xL . Базис­ ная тройка векторов (В, N, L) является правой, и векторы L и В лежат в плоскости границы. В указанном базисе устанавливается геометриче­ ский смысл компонент тензора пластической составляющей градиента скорости перемещения у-й СС рассматриваемого /-го кристаллита

/-Й СС соседнего т-го кристаллита [l“}J и тензора разности

пластических составляющих градиентов скоростей перемещения сосед-

них

занного критерия определяется мера взаимной разориентации СС со­ седних кристаллитов, которая для текущего /-го кристаллита датой j -й СС, взаимодействующей с т-м кристаллитом через к-ю фасетку грани­ цы, устанавливается соотношением:

где аи) - нормирующий множитель, определяемый из условия «непро­ ницаемости» фасетки («жесткая стенка»):

+|[>о I+11;:, |+1[1",]iS|+1[';-,]шКDo. ■

Результатом акта прохождения дислокации через границу в силу раз­ личной ориентации кристаллитов является появление в фасетке дислока­ ции ориентационного несоответствия (ДОН). Поле упругих напряжений ДОН препятствует дальнейшему скольжению решеточных дислокаций. Для качественной оценки этих напряжений можно рассматривать ДОН в изотропной упругой среде, относя ее к текущему кристаллиту. Касатель­

ные напряжения т ^ , препятствующие движению краевых дислокаций,

получаются осреднением поля напряжения ДОН поj -й СС [18]. С исполь­ зованием полученной оценки дополнительное зернограничное упрочнение предлагается описывать при помощи соотношения:

(2.26)

где Sk- площадь к-й фасетки кристаллита, S - площадь границы кри­ сталлита, К/ - количество фасеток границы, Ks- количество СС рас­ сматриваемого кристаллита, дислокации которых движутся в направле­

параметр, определяемый в ходе процедуры идентификации.

Вцитируемых выше работах представлены результаты расчетов

всерии численных экспериментов по моделированию деформирования моно- и поликристаллов с учетом различных дополнительных слагае­ мых в законе упрочнения. Удовлетворительно описано начало второй стадии упрочнения, связанное с введением в законы упрочнения сла­ гаемого, описывающего дополнительное упрочнение за счет реакций на расщепленных дислокациях и образования барьеров Ломера-Коттрелла. Представлены результаты по реверсивному деформированию с учетом слагаемого, описывающего аннигиляцию дислокаций. Для модельного материала (чистая медь) показано, что при смене направления деформи­ рования (с одноосного растяжения на одноосное сжатие) предел текуче­

сти материала снизился с ~33 до -30 МПа.

Проведены численные эксперименты по описанию циклического деформирования: представительный объем поликристалла подвергали кинематическому нагружению (растяжение-сжатие) при различном числе циклов нагружения. С увеличением количества циклов отчетливо прояв­ ляется эффект Баушингера, наблюдается явление «размывания» второй стадии упрочнения по всему участку пластического течения. Исследова­ ние изменения дефектной структуры материала при большом числе цик­ лов показывает постепенный выход всех СС на одинаковую плотность барьеров Ломера-Котгрелла. Приведена диаграмма одноосного сжатия поликристалла при учете слагаемого, описывающего зернограничное уп­ рочнение. Заметен переход с некоторого момента деформирования от ли­ нейного упрочнения к нелинейному участку; нелинейность обусловлена совместным влиянием на скорость дополнительного упрочнения как ско­ рости сдвига по данной СС, так и накопленного сдвига по этой же СС (в отличие от других дополнительных слагаемых).

В о п р о с ы к г л а в е 2

1. Какие механизмы неупругого деформирования вы знаете?

2. Получите оценку теоретической прочности согласно модели Я.И. Френкеля. Приведите соотношение Пайерлса-Набарро для значе­ ния критического напряжения сдвига.

3.Приведите часто используемые способы модельного введения

вкристаллы краевых и винтовых дислокаций.

4.Дайте определения полных и частичных дислокаций (в том числе — Шокли и Франка), дефекта упаковки, расщепленной дислокации.

5.Каким правилам должны удовлетворять реагирующие дислокации?

6 . Приведите построение стандартного тетраэдра Томпсона и пра­ вила его применения для анализа дислокационных реакций.

7.С использованием тетраэдра Томпсона объясните образование барьеров Ломера-Коттрелла.

8. Посредством чего дислокации взаимодействуют друг с другом

ис точечными дефектами, каков качественный характер этих взаимо­ действий? Как можно описать поведение дислокации вблизи свободной поверхности кристалла?

9.К чему приводит пересечение дислокаций, залегающих в пер­

пендикулярных плоскостях: а) с перпендикулярными и б) с параллель­ ными векторами Бюргерса?

10.Опишите кристаллогеометрию и механизмы двойникования, влияние двойников на другие механизмы деформирования.

11.Какие параметры воздействий и за счет каких механизмов ока­ зывают влияние на процесс двойникования?

12.Запишите закон Шмида. Каким образом можно учесть эффект Баушингера для кристаллитов?

13.Дайте определение и физическое объяснение активного (де­ формационного) и скрытого (латентного) упрочнения. Сформулируйте закон упрочнения Тейлора.

14.Какие физические механизмы и взаимодействия учитываются при записи законов упрочнения в дислокационно-ориентированных моделях?

15.Каким образом в законе упрочнения может быть учтено свой­ ство насыщения упрочнения на стадии множественного скольжения?

16.Дайте определение ориентированного и неориентированного упрочнения; опишите влияние каждого из этих видов на изменение кри­ тических напряжений.

17.Каким образом в законе упрочнения учитывается образование дислокационных барьеров, аннигиляция дислокаций и взаимодействие дислокаций с границами зерен? Проведите физический анализ соответ­ ствующих членов закона упрочнения.