ГЛАВА 6. ВЯЗКОУПРУГИЕ

И ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Наряду с жесткопластическими и упругопластическими моделями физической теории пластичности интенсивно разрабатываются и вязко­ пластические (вязкоупругие) модели (т.е. модели, в которые явным об­ разом входит физическое время), роль которых особенно велика при рассмотрении процессов неупругого деформирования при повышенных температурах и медленных нагружениях, поскольку, как известно, дви­ жение дислокаций (особенно неконсервативное) является термически активируемым, связанным с диффузионными процессами.

Основным вопросом построения вязких моделей является выбор определяющего соотношения для скоростей сдвигов по СС, которое в таких моделях записывается явным образом. Среди множества таких определяющих соотношений выделим широко используемый (см., на­ пример, [63, 64, 105, 145, 149]) степенной закон (часто в литературе на­ зываемый соотношением Хатчинсона):

где x f - критическое напряжение сдвига на к-й СС; следует отметить, что в вязкоупругих и вязкопластических моделях удвоение числа СС не используется, направление скольжения определяется знаком сдвигового напряжения. Следует отметить, что при стремлении п—юо соотношение (6.1) приближается к жесткопластическому закону; детально вопрос об эквивалентности вязкопластической и жесткопластической моделей ис­ следован в работах [62, 144].

Следует отметить, что модели, построенные на соотношении (6.1) нельзя в полной мере отнести к пластическим, поскольку в (6.1) явным образом отсутствует пороговость, характерная для пластических моде­ лей. Поэтому модели, построенные на (6.1) принято называть вязкоуп­ ругими, для перехода к вязкопластическим моделям соотношение необ­ ходимо модифицировать, например, введя в него функцию Хэвисайда:

Кроме того, следует отметить, что в вязкоупругих моделях не име­ ет смысла вводить понятие активности системы скольжения, так как при любых положительных касательных напряжениях соотношение Хат­ чинсона будет давать ненулевую скорость сдвига, поэтому при анализе поведения материалов на мезоуровне для вязкоупругих моделей рас­ сматриваются накопленные сдвиги на всех потенциально возможных СС и оценивается в каждый момент деформирования относительная скорость сдвигов на различных СС. При этом и критическое напряжение сдвига Т' ' изменяет свои первоначальный смысл, который оно

имело в жесткопластических и упругопластических моделях как каса­ тельное напряжение начала скольжения; оно выступает теперь в роли материальной функции процесса, определение которой при идентифи­ кации модели следует осуществлять в совокупности с установлением других параметров вязкоупругого закона - у0 и п. Однако физический

(к)

смысл Тс ’ как сопротивления движению дислокации при этом сохраня­

ется, что позволяет относительно независимо от других параметров мо­ дели формулировать для него законы упрочнения.

Весьма противоречивые данные приводятся в литературе для па­ раметра у0, значения которого по различным источникам отличаются

на 4-5 порядков. С детальным анализом влияния параметра у0 на пове­

дение модели можно ознакомиться в работе [59], где рассмотрены ха­ рактерные особенности вязкопластического соотношения для определе­ ния скоростей сдвигов. В соответствии с двухуровневой физической моделью ГЦК-поликристалла [48] рассмотрен представительный объем поликристаллического тела с равномерным случайным распределением ориентаций кристаллических решеток отдельных зерен, испытывающий деформацию одноосного сжатия вдоль одной из осей неподвижной ла­ бораторной системы координат; параметры материала соответствуют чистой меди. Упрочнение и развороты зерен в статье не рассматривают­ ся. В качестве определяющего соотношения для скоростей сдвигов в отдельных зернах выбрано соотношение (6.2). Выделен параметр ц , связывающий характерную скорость деформирования (в процессе с по­ стоянной скоростью деформации) и скорость сдвига в СС при достиже­

нии критического касательного напряжения: у0 = це, выявлены харак­

терные зависимости от данного параметра характеристик напряженнодеформированного состояния. Показано, что характер диссипации энер­ гии пластическими сдвигами зависит от значения |Х, точнее: при ц > 1 скольжение сдвигом характеризуется меньшим набором активных сис­ тем скольжения и большими скоростями сдвигов, при ц < 1 —большим количеством активных СС и меньшими скоростями сдвигов в них. Так­ же показано, что суммарная скорость сдвига по всем СС не зависит от данного параметра, а зависит от скорости деформирования. Выявлена обратная зависимость предела текучести от ц, однако при значениях ц > 1 предел текучести одинаков и модель по сути становится упруго­ пластической.

Остановимся на одной из самых простых моделей вязкого типа [60]. В качестве закона течения принят типовой закон (6.1); как уже от­ мечалось выше, этот закон применяется чрезвычайно часто, основные отличия теорий вязкого типа состоят в принимаемых законах упрочне­ ния, учете (или неучете) влияния температуры, вводимых в рассмотре­ ние механизмов деформирования. В цитируемой работе применен ани­

упрочнения, которую следуя [ПО] для ГЦК-кристаллов предлагается принять в виде:

V

где ho, xs, а - материальные параметры, определяющие скорость упроч­ нения (Ts~ так называемое напряжение насыщения), принятые постоян­ ными для всех СС. Матрица gkl для ГЦК-кристаллов (12 СС) представ­ ляется в блочной форме:

где А - матрицы размерностью 3x3, все компоненты которой равны 1, q - характеризует отношение скорости латентного и деформационного упрочнения. Тензор пластической составляющей градиента скорости перемещений выражается классическим соотношением:

ти фактора Шмида,

ш<5> =|(b'*>n<*, + d(‘lbl*>), m<*> = i( b <4w *'-„'«Ь'*1).

Тогда тензор пластической составляющей градиента скорости пере­ мещений можно представить в виде суммы скорости неупругой деформа­

ции dp = У л <<г)шт и тензоРа «пластического спина» сор = J ] ’y(*)m|*) .

* *

В силу того, что упругими и термическими деформациями пренебрегают, определяющее соотношение для описания вязкопластического поведения материала принимает вид:

где p(s) - так называемый тензор вязкопластических свойств (4-го ран­ га), s - девиатор тензора напряжений Коши. Показывается, что в случае 5 активных систем скольжения тензор p(s) обратим, тогда можно разре­ шить (6.6) относительно напряжений:

В силу пренебрежения в рассматриваемой работе упругими де­ формациями упругая составляющая градиента места равна ортогональ­ ному тензору, f е = ге, который полагается ответственным за повороты кристаллической решетки. Данная модель в цитируемой работе исполь­ зуется в сочетании с самосогласованной схемой, однако использовать ее можно и в рамках статистического подхода.

Более сложная модификация модели вязкого типа рассмотрена в работе [113], в которой учтено влияние температуры, базирующееся на континуальной модели «механического порогового напряжения» (MTS - mechanical threshold stress), предложенной Фоллансби и Куксом [93]. Последняя представляет собой изотропную «скалярную» модель для предсказания напряжения течения в зависимости от скорости де­ формации, температуры и текущего состояния, описываемого парамет­ ром состояния, называемым механическим порогом. В первой части ра­ боты рассматривается так называемая «стандартная вязкопластическая модель Тейлора» (standard rate dependent Taylor model). В ней использу­ ется «жесткопластическое» мультипликативное разложение градиента места f:

Составляющая f p переводит отсчетную конфигурацию Ко в про- X

межуточную Kt при отсутствии поворота (ориентация кристаллической X

решетки остается неизменной), а ротация г переводит Kt в актуальную конфигурацию Kt. Тогда (транспонированный) градиент скорости пере­ мещений 1 (в актуальной конфигурации) определяется соотношением:

об х

Заметим, что V =V vT = fp (fp) 1 - «пластический» градиент ско­ рости перемещений, связанный со скоростями сдвигов по системам скольжения (СС) соотношением:

где y(i) - скорость сдвига по к-й СС, Ь(0*°- единичный вектор направле­ ния скольжения (сонаправленный вектору Бюргерса), п ^ —единичный

вектор нормали к-й СС, определенный в промежуточной (или, что то же самое, в отсчетной) конфигурации. Вводится аддитивное разложение градиента скорости перемещений:

при этом с зачетом (6.9)—(6.10) имеем:

Таким образом, ротация решетки складывается из «материального вращения» (w) и ротации от «стесненного сдвига» (а). Используя далее симметричный ориентационный тензор в актуальной конфигурации (m[s) = ^ ( b (i)n(i)+n(t)b(i)) = r - m [ ^ - r T ), сдвиговое напряжение

где <т, s —тензор напряжений Коши и его девиатор (мезоровня).

Подставляя (6.11) в (6.12)i, девиатор напряжений может быть оп­

где четырехвалентный тензор вязкопластяческих свойств определяется соотношением

т.е. идентичен использованному в соотношении (6.6). Следует подчерк­ нуть, что из определения тензора свойств р очевидна нелинейность со­

отношения (6.15), поскольку т(к) определяется по искомому тензору s.

ти ориентационного тензора) определены также в промежуточной конфигурации. Используется гипотеза Фойгта, т.е. деформации скоро­ сти принимаются одинаковыми в каждый момент времени во всех зер­ нах поликристалла. Скорости сдвигов на СС определяются степенным законом вида (6.2).

Следует отметить, что хотя в вязкопластических моделях актив­ ными в каждый момент времени могут быть любые из возможных для данного типа кристалла СС, не все они будут линейно независимы; на­ пример, на каждой кристаллографической плоскости линейно незави­ симыми могут быть только две из трех СС. В работе предлагается эври­ стическая, чисто геометрическая процедура определения активных СС, число которых на каждой плоскости не более двух; например, для ГЦКкристаллов общее число активных СС, таким образом, не превышает восьми. При определении скоростей сдвигов на СС используется прин­

цип минимума сдвига, решается соответствующая задача оптимизации;

к

множителей Лагранжа.

С использованием предлагаемой модели решены тестовые задачи одноосной осадки и простого сдвига монокристаллов с различной на­ чальной ориентацией, одноосной осадки, осадки в условиях плоскодеформированного состояния и простого сдвига поликристаллических образцов. Сопоставление результатов расчета эволюции ориентаций кристаллитов с теоретическими результатами, полученными с исполь­ зованием других моделей, и экспериментальными данными обнаружи­ вает хорошее соответствие.

Представляется целесообразным упомянуть работу [69], содержа­ щую значительное количество экспериментальных данных по лучевым и двухзвенным траекториям деформации листового алюминиевого сплава, пригодных для идентификации и верификации теоретических моделей. Подробно описана методика экспериментальных исследова­ ний, включающих как чисто механические измерения, так и анализ тек­

стуры и дислокационных субструктур. Теоретические исследования проведены с использованием вязкопластических моделей со степенным законом, «полностью стесненной» и самосогласованной. Обе модели дают близкие результаты как по зависимостям напряжений от работы на пластических деформаций, так и по полюсным фигурам; отмечается, что полюсные фигуры в теоретических расчетах получаются более чет­ ко выраженными («острыми»), чем в экспериментах.

Вопросы к главе 6

1.В чем состоит основное отличие вязкоупругих и вязкоплас­ тических моделей?

2.Предложите модификации соотношения (6.2) для учета влияния

температуры.

3.Как изменятся соотношения (6.1) и (6.2) при удвоении систем скольжения (то есть при переходе к положительным сдвигам)?

4.Приведите физическое объяснение закона упрочнения (6.3)-(6.4).

5.Является ли система уравнений (6.6) однозначно разрешимой? Каковы критерии ее разрешимости относительно s?

6.Приведите выражение тензора р в (6.6) для случая одноосного напряженного состояния и одиночного скольжения по СС ГЦК-решетки (ориентацию решетки по отношению к оси нагружения выбрать самостоятельно), определите обратный тензор р-1.

7.Получите самостоятельно выражение (6.9).

8.Запишите математическую постановку задачи оптимизации для

*=1

можно сказать о единственности ее решения?

9. Как описывается ротация кристаллической решетки в рассмат­ риваемых моделях?