ГЛАВА 5. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

В большинстве работ по физическим теориям пластичности в ка­ честве одного из основных недостатков моделей Тейлора, БишопаХилла и их модификаций отмечается неучет упругих деформаций. Т.Г. Линь полагал [21, 124], что упругими деформациями можно пре­ небречь в случае больших пластических деформаций, что недопустимо в случае, когда эти составляющие имеют один порядок. Однако подоб­ ная ситуация при анализе упругопластического деформирования пред­ ставляет ограниченный интерес даже в теоретическом плане и весьма редко встречается в практически важных задачах. Тем не менее вклю­ чение в рассмотрение упругих деформаций представляется необходи­ мым, исходя из потребности определения остаточных напряжений (вто­ рого рода), во многом определяющих прочностные характеристики ма­ териала, и накапливаемой упругой энергии. Кроме того, при учете упругих деформаций снимается предположение о несжимаемости мате­ риала, весьма затрудняещее построение определяющих соотношений [50]. Отметим, что первоначально модель Линя сформулирована для случая малых деформаций.

Следует отметить, что большинство упругопластических (равно, как и упруговязкопластических) моделей используют гипотезу адди­ тивности упругих сГ и неупругих <Г” составляющих тензора деформа­ ции скорости и (изотропный или анизотропный) закон Гука:

d = de+d"', d = n :d e =n:(d-d'"),

или ОС в так называемой скоростной релаксационной форме (п - тен­ зор упругих характеристик). Вместо материальной производной тензора напряжений в геометрически нелинейном случае применяется та или иная «объективная производная», чаще всего - коротационная. Основ­ ное отличие заключается в части конститутивной модели, используемой для определения неупругой составляющей тензора деформации скоро­ сти. Собственно физическая теория строится для представительного объема макроуровня, состоящего из конечного (но большого, порядка нескольких сотен или тысяч) кристаллитов (зерен, субзерен).

В соответствии с гипотезой 5 критические сдвиговые напряжения в каждой системе скольжения одинаковы и зависят от суммарного сдвига:

или в скоростях

(5.6)

где /'(.) - производная функции/по накопленному сдвигу.

Скорости упругих деформаций в зерне определяются соотношением:

В предположении изотропии упругих характеристик (отметим, что эта гипотеза принята только для упрощения изложения модели, в со­ временных работах при расчетах часто используется анизотропный за­ кон) скорость изменения девиатора напряжений определяется согласно (изотропного) закону Гука:

скорость изменения шаровой части тензора напряжений (или среднего напряжения G ) определяется также согласно закону Гука:

Заметим, что в случае исследования процессов с большими гради­ ентами перемещений (т.е. геометрически нелинейных) материальная производная девиатора напряжений в (5.8) должна быть заменена на производную, не зависящую от выбора системы отсчета (чаще всегокоротационную [31]).

Рассмотрим процесс нагружения в пространстве девиаторов де­ формаций, связь шаровых составляющих тензоров деформаций и на-

пряжений осуществляется согласно (5.9). Для решения (физически и/или геометрически) нелинейных задач, как правило, необходимо ис­ пользовать пошаговые процедуры, согласно которым весь интервал на­ гружения разбивается на ряд малых шагов (приращений нагрузки или перемещений).

Рассматривается представительный макрообъем поликристаллического агрегата. В начальный момент материал полагается находящимся в естественной конфигурации, в силу чего все компоненты тензоров на­ пряжений и деформаций равны нулю; ориентации всех СС полагаются заданными (тем или иным законом распределения). Для представитель­ ного макрообъема полагается заданным закон нагружения (т.е. заданы все компоненты тензора деформации как функции времени (или возрас­ тающего параметра), а следовательно, в каждый момент нагружения из­ вестны компоненты тензора деформации скорости).

На первом шаге нагружения материал является упругим; задавая тензор деформации скорости перемещений в соответствии с (5.8) и учи­ тывая, что de = d, определяется скорость изменения девиатора напряже­ ний. Интегрируя, по последней определяется момент достижения в од­ ной из СС (например, с номером 1) сдвигового напряжения, равного по модулю начальному критическому напряжению тсо = / (0). После этого момента начинается неупругое скольжение по системе 1 при возрас­ тающем девиаторе деформации е (последний определяется интегриро­ ванием d). При этом в каждый момент деформирования должно выпол­ няться условие пластического течения:

т(1) = тс = /(/> ),

или

При заданном в каждый момент времени е (5.10) представляет со­ бой уравнение для определения у(1>

При выполнении (5.10) и возрастающем девиаторе деформации е (в каждый момент времени определяемого интегрированием d с использо­ ванием любой из.известных схем) одиночный сдвиг продолжается до тех пор, пока в некоторой другой системе скольжения (например, 2-й) сдви-

говое напряжете т(2) не достигнет критического значения тс = /(у (|)) . Начиная с этого момента, возрастание е вызывает двойственное скольже­

(5.11) - система двух алгебраических уравнений для определения у(1), у(2) Аналогичным образом рассматривается вовлечение в скольжение 3-й, 4-й и 5-й систем скольжения. При этом на каждой из активных сис­

тем скольжения должно выполняться условие текучести. При продол­ жающемся активном деформировании возможно возникновение ситуа­ ции, когда условие текучести выполняется одновременно более чем в пяти системах скольжения (при использовании закона типа шмидовского для ГЦК-кристаплов это соответствует нахождению ИТН в одной из вершин, где пересекаются 6 или 8 гиперплоскостей). В этом случае, опираясь на экспериментально известный факт о некотором превыше­ нии латентного упрочнения над деформационным (активным), предпоч­ тение отдают ранее вовлеченным в скольжение системам.

В конкретных расчетах обычно используют систему уравнений типа (5.11) , записанную в приращениях (или в скоростях), например, вида:

ный сдвиг по всем активным системам скольжения (в том числе и быв­ шим активными ранее, в текущий момент деформирования перешедших в разряд пассивных).

Для перехода к модели поликристалла используется один из из­ вестных подходов к осреднению (чаще всего - ориентационное ос­ реднение).

5.2. Н ап равлен и я развития

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

Модель Линя по сравнению с ранее рассмотренными обладает тем преимуществом, что позволяет определять последовательность актива­ ции систем скольжения и учитывает упругие деформации. В то же вре­ мя использование гипотезы Фойгта (об однородности полных деформа­ ций в представительном макрообъеме) приводит к нарушению условий равновесия на границах зерен. В связи с этим в дальнейшем как Линем, так и другими исследователями предпринимались и предпринимаются попытки построения так называемых самосогласованных моделей пла­ стичности поликристаллов, в которых выполняются как условия совме­ стности деформаций, так и условия равновесия на границах зерен [21]. В значительной мере эти исследования опираются на решение Эшелби [88 , 89] задачи об одиночном эллиптическом включении в бесконечной однородной упругой среде с эффективными характеристиками [21]. В дальнейших исследованиях (Кренер, Хилл) были рассмотрены более сложные задачи об одиночном включении в упругопластической среде с эффективными (осредненными) характеристиками. Самосогласован­ ные модели являются эффективным инструментом при анализе «тон­ ких» эффектов; например, в работе [67] такая модель применена для оп­ ределения остаточных напряжений второго рода и запасаемой внутрен­ ней энергии при одноосном растяжении медных (99 %) образцов, получаемых листовой прокаткой (последовательно горячей и холодной). Приведены определения остаточных напряжений I, II и III рода, самоуравновешенных соответственно для всего исследуемого тела, для представительного объема макроуровня и в пределах зерна. Остаточные напряжения I и II рода и связанная с ними упругая энергия оказывают существенное влияние на механические свойства материалов и разру­ шение, тогда как с энергией напряжений III рода авторы связывают процессы рекристаллизации поликристаллических материалов.

Следует отметить, что модель Линя не снимает полностью вопроса об единственности определения скоростей (или приращений) сдвигов, например, при попадании изображающей точки в вершину 6-го или 8-го порядка многогранника текучести. Детальное исследование указанной проблемы представлено в [183], где с применением теории неявных функций получено условие единственности определения скоростей сдвига в монокристалле для произвольного напряженно-деформирован-

где Нк,= А+В ( т» - т? ) при Qu = 1,

HU= A -B(E T ^ + tf) при0и = -1,

Н и- А. при -1 <£?*/<+1,

£?*/= (Ьда пда):(пф Ь®), £, В - безразмерные параметры, А - материальная

константа с размерностью напряжений, tf,x ^ - текущее критическое

напряжение и так называемое напряжение насыщения к-й СС. Нетрудно видеть, что в предлагаемом законе учтены различие активного и латентного упрочнения и разупрочнение при реверсивном нагружении (за счет аннигиляции дислокаций). Предлагаемый закон упрочнения по­ зволяет описать эффект Баушингера и экспериментально наблюдаемый факт «скругления» участка кривой реверсивного нагружения перед насту­ плением вторичной пластической деформации.

Для упрощения осуществлен переход к плоской задаче; для вы­ бранной декартовой ортогональной системы координат Ох1х2х3 прини­ мается, что деформирование осуществляется сдвигом в плоскости Ох1*2 по трем равнонаклоненным направлениям скольжения. В рассмотрение включены только сдвиговые деформации 831, 832 и соответствующие компоненты сдвиговых напряжений (или девиаторов напряжений) 531, S32, которым в соответствие ставятся двумерные векторы деформаций и напряжений.

В расчетах использованы следующие значение параметров: Л = 5,9-102 МПа, 5 = 2,(НО2, £ = 0,5, модуль сдвига G = 29,4 ГПа, на­ чальное критическое напряжение сдвига равно 79,2 МПа, что соответст­ вует латуни.

Рассмотрена эволюция поверхности текучести для случая лучево­ го нагружения при различных допусках на пластическую деформацию; показано, что чем больше величина допуска, тем ближе форма поверх­ ности текучести в данном случае двумерного нагружения к окружности. Сопоставление теоретических результатов с экспериментальными дан­ ными показывает хорошее качественное соответствие при всех величи­ нах допуска, количественное соответствие тем лучше, чем больше вели­ чина допуска. По сопоставлению с экспериментом возникает вопрос: эксперименты проводились по растяжению-кручению трубчатых об­ разцов, модель же ориентирована на сдвиг в двух перпендикулярных

направлениях. Авторы не поясняют переход от сдвиговых компонент к реализующимся в эксперименте. Приведены результаты расчетов эво­ люционирующей поверхности текучести для двух- и трехзвенных лома­ ных с углами излома 90° На трехзвенных ломаных показывается спра­ ведливость принципа затухающей памяти: на симметричных траектори­ ях деформации получены одинаковые расположение и размеры поверхностей текучести по отношению к внутренней геометрии траек­ торий деформации.

Дальнейшее развитие модели Линя связано в значительной мере

смодификацией положенного в его основу закона упругости и с учетом геометрической нелинейности. Работ по данной теме чрезвычайно мно­ го, в связи с чем остановимся только на нескольких из них, содержащих достаточно полное изложение теории и алгоритмов.

Встатье [140] рассматривается геометрически нелинейная модель термоупругопластичности моно- и поликристаллов. Последовательно излагаются кинематические соотношения, основанные, как и большин­ ство других моделей геометрически нелинейной пластичности, на муль­ типликативном разложении Ли градиента места. Кроме того, вводится разложение градиента места, упругой и пластической составляющих на шаровую и унимодулярную части. На основе разложения Ли в терминах промежуточной (разгруженной) конфигурации получено аддитивное разложение градиента скорости перемещений на упругую и пластиче­ скую составляющие.

Вкачестве соотношений термоупругости принимается закон гипе­ рупругости («неогуковский» изотропный закон), получаемый из нера­ венства Клаузиуса-Планка. При этом функция свободной энергии Гельмгольца полагается зависящей от упругой составляющей градиента места, температуры и скалярной внутренней переменной, характери­ зующей осредненные поля микродеформаций, обусловленные дефекта­ ми кристаллической решетки. В качестве переменной, сопряженной введенной внутренней переменной, вводится микронапряжение, полу­ чено эволюционное уравнение для него.

Вчасти определения пластических деформаций предлагаемая мо­ дель не отличается от описанной выше модели Линя, за исключением учета изменения векторов нормали и направления скольжения кристал­ лографической СС, при этом преобразование векторов осуществляется

сиспользованием упругой составляющей градиента места (модель «ма­ териального поворота»). В рассматриваемой работе автор ограничился

случаем монокристаллического тела, реализация модели для поликри­ сталлов не рассматривается.

Современному изложению физической теории (типа модели Линя)

инекоторым аспектам ее численной реализации посвящена работа

[136].В качестве кинематической основы используется мультиплика­ тивное разложение транспонированного градиента места («градиента

об о

деформации») f = V r T на упругую fe и пластическую f p составляющие (заметим, что указанное разложение было введено независимо в работах [72,117,121, 122]):

Следует отметить, что мультипликативное разложение, исполь­ зуемое в физических теориях пластичности и на макро-, и на мезоуровне, по форме совершенно идентично; здесь соотношения приведены

вобозначениях мезоуровня. С обзором применения мультипликативно­ го разложения градиента места для построения широкого круга макрофеноменологических и физических конститутивных моделей можно оз­ накомиться в [125]; представляет интерес обсуждение физической осно­ вы данного разложения, содержащееся в [82]) Следует отметить, что

вряде работ (см., например, статью [151] и содержащиеся в ней ссылки) обращается внимание на неоднозначность выбора промежуточной (раз­ груженной) конфигурации, которая получается из актуальной разгруз­ кой материальной частицы. С математической точки зрения это очевид­ но: в (5.14) можно ввести произведение произвольного ортогонального тензора Г на транспонированный к нему

f = f e f p =f e r T -r f p =(fe r 1)-(r f p) = f e f p

В связи с этим в цитируемой статье предлагается ввести еще одну фиктивную конфигурацию (так называемую изоклинную конфигура­ цию), для которой сохраняются неизменными во времени и в простран­ стве векторы «директоров», в качестве каковых для кристаллитов (зе­ рен, субзерен) могут быть выбраны определенные кристаллографиче­ ские направления. Разгруженная конфигурация получается трансляцией и поворотом как жесткого целого изоклиной конфигурации.

Из соотношения (5.14) легко получаются уравнения скоростного типа:

где со - тензор скорости жесткого поворота решетки, со = Ге■ГеТ; we - спин, ассоциированный с упругим искажением решетки, которым в данной работе пренебрегается. Далее принимается, что

ления скольжения и нормали к плоскости скольжения в промежуточной

рактеристики изотропного и кинематического упрочнения; изменение критического напряжения сдвига определяется соотношением

где hks - матрица упрочнения, учитывающая активное и латентное уп­

рочнение. В качестве мер напряжений и упругих деформаций использо­ ваны соответственно второй тензор Пиола-Кирхгоффа к и тензор Коши-Грина С (с разгруженной конфигурацией в качестве отсчетной,

что в дальнейшем обозначается нижним индексом *), связанные линей­ ным анизотропным упругим законом (анизотропная гиперупругость):

К = П :СХ, k , = det(f')f‘‘1 a f* T, C ,= I ( f ' f - - E ) . (5.1»,

Обращаясь к процедуре определения активных систем и скоростей сдвигов, авторы отмечают трудности, возникающие в моделях типа Тейлора-Бишопа-Хилла, часть из которых освещена выше. В связи

сэтим излагается так называемый А-К-метод (Anand-Kothari method)

[62].В методе используется гипоупругий закон:

m jgjSgn^). Используя далее закон Шмида в скоро­

стях, соотношение (5.18), два последних соотношения и связь скорости касательного напряжения со скоростью тензора напряжений Коши

: <т, получают систему уравнений относительно скоростей

сдвига. С использованием упругого предиктора определяются системы скольжения, которые могут быть активными (не более пяти), после чего для выбранных активных СС решается полученная система уравнений. В случае, если полученные скорости сдвигов на некоторых из СС отри­ цательны, эти СС исключаются из числа активных, и для оставшихся активных СС вновь решается указанная выше система уравнений, из которой определяются скорости сдвигов. Следует отметить, что в дан­ ной части процедура весьма близка к предложенной в модели Линя [21]. После завершения данного этапа окончательно определяются напряже­ ния, для чего применяется соотношение (5.19), что представляется не­ последовательным и требует дополнительной проверки выполнения за­ кона Шмида.

Авторами предлагается собственная процедура определения ак­ тивных систем скольжения и скоростей сдвигов, названная М-М-ал- горитмом (McGinty-McDowell), основанная на условии совместности: изображающая точка в пространстве напряжений (ИТН) должна нахо­ диться в течение шага нагружения на грани или ребрах многогранника текучести. На этапе определения активных систем последние фиксиру-

ются, поворот определяется на этапе пересчета напряжений, в связи с чем на первом этапе отсутствует различие между коротационной и ма­ териальной производной тензора напряжений.

В процедуре предлагается последовательно определять активи­ руемые СС. В начальной точке ИТН находится внутри многогранника текучести, скорость напряжений определяется соотношением (5.20) при сР= 0, из условия равенства сдвигового напряжения критическому на­ пряжению определяется приращение времени, соответствующее момен­ ту достижения ИТН первой грани многогранника текучести. В даль­ нейшем ИТН может перемещаться только вдоль этой грани до достиже­ ния следующей грани, процедура определения точки пересечения с ней аналогична предшествующему этапу: точка пересечения с первой гра­ нью принимается за начальную, из (5.20) определяется скорость напря­ жений (скорость пластических деформаций определяется скоростью сдвига по первой СС, процедура определения скорости сдвига описана ниже), определяется промежуток времени до пересечения со второй гранью многогранника текучести. Аналогичным образом определяются 3-я, 4-я и 5-я активные СС; при этом в случае наличия более пяти ак­ тивных СС в вершинах многогранника текучести независимых СС мо­ жет быть только пять. Отмечается, что определение сразу нескольких активных СС может привести к ошибке: если направление о первого (упругого) шага пересекает вначале первую и затем некоторую к-ю грань, то после пересечения первой грани направление о может резко измениться, и следующая активная СС может оказаться совсем иной, не совпадающей с к-й.

После определения очередной активной СС устанавливаются ско­ рости сдвига во всех активных СС. Для этого существуют два альтерна­ тивных варианта. Наиболее строгим и точным авторы считают исполь­ зование условия совместности напряжений, определяемых по гиперуп­ ругому закону (5.19), в сочетании с неявной схемой интегрирования.

Второй путь - использование гипоупругого закона (5.20) и условия совместности напряжений, которое можно переписать в следующем виде:

2 [ htsiSnT(i)sigm:(r) + т й :п :mS ]y (t) = m(si:п :d» г = 1,К. (5.21)

к=1

При этом с учетом того, что модули упрочнения на 2-3 порядка меньше упругих модулей, первым членом под знаком суммы можно

пренебречь; в этом случае в силу симметрии матрицы коэффициентов полученной системы линейных алгебраических уравнений можно ис­ пользовать, например, схему разложения Холецкого; тогда при неиз­ менности активных СС можно делать только обратный ход на несколь­ ких последовательных шагах нагружения. В случае изотропии упругого закона соотношение (5.21) не зависит от модулей упругости; отмечает­ ся, что при анизотропном законе в соотношении (5.21) остаются только отношения упругих модулей.

Следующий этап алгоритма - определение напряжений. В случае, если активными являются пять СС, девиатор напряжений (или его при­ ращение) легко определяются из пяти условий закона Шмида, шаровая часть тензора напряжений Коши находится из линейной связи со средней деформацией. Ситуация осложняется, если число активных СС менее пя­ ти. В этом случае авторами предлагается использовать принцип миниму­ ма приращения девиатора напряжений (по модулю) при условии выпол­ нения условий совместности по напряжениям. Формулируется функцио­ нал, в который условие совместности входит через множители Лагранжа, приведено решение задачи минимизации. Следует отметить, что обосно­ вание указанного принципа отсутствует; в дальнейшем приведены неко­ торые соображения о его согласованности с постулатом Друккера. Не­ смотря на существенное сходство данного алгоритма с моделью Линя, в этой части М-М-алгоритм существенно отличается от модели Линя, и, как представляется, это отличие - не в пользу М-М-алгоритма. Дейст­ вительно, модель Линя позволяет находить приращения тензора напря­ жений на каждом шаге нагружения непосредственно из закона Гука, без введения дополнительных предположений.

Поскольку все указанные величины определяются в начальном положении СС, тогда как последние испытывают при деформировании повороты, требуется итерационная процедура для установления поло­ жения СС на конец шага и уточнения всех искомых величин. Вопрос о ротации КСК отдельно не обсуждается, но, судя по кратким замечани­ ям, повороты определяются согласно полностью стесненной модели Тейлора, т.е. по тензору вихря и антисимметричной части тензора сдви­ гов (см. п. 3.4). Отмечается, что итерационная процедура сходится очень быстро, за 2-3 итерации.

Значительная часть работы посвящена сопоставлению результатов расчетов для монокристаллов и поликристаллов с ГЦК-решеткой (медь) по А-К-методу и М-М-алгоритму. Рассматриваются несколько законов

упрочнения. Отмечается хорошее соответствие результатов для одноос­ ного сжатия и простого сдвига по кривой «эффективное напряжение - эффективная деформация», числу активных систем скольжения и вели­ чине сдвигов в них. Однако М-М-алгоритм оказывается намного более эффективным, время решения на два порядка меньше, чем при приме­ нении А-К-метода. Приведено также сравнение кривых «эффективное напряжение - эффективная деформация» для одноосного сжатия и про­ стого сдвига поликристаллических медных образцов, полученных с применением предлагаемого алгоритма и полностью неявного алго­ ритма, предложенного в работе [84]; соответствие результатов также является удовлетворительным.

Отдельно рассматривается вопрос о включении в закон упрочнения остаточных микронапряжений (кинематического упрочнения), приведены модифицированные с использованием последнего соотношения. Рассмот­ рены критерии разгрузки и продолжающегося активного нагружения.

Физические теории упругопластичности позволяют не только по­ лучать информацию о сдвигах по СС и поворотах кристаллической ре­ шетки зерен, но и исследовать формирование и эволюцию дислокаци­ онных субструктур; один из вариантов такого типа моделей представлен в статье [148]. В первой части цитируемой работы приведена вариаци­ онная постановка задачи упругопластичности, рассмотрен ее инкремен­ тальный вариант. Предлагаемая формулировка в дальнейшем примене­ на для физической теории упругопластичности; отмечается потеря вы­ пуклости функционала вариационной постановки («псевдоупругого потенциала») при кинематическом разупрочнении (вследствие враще­ ния решетки) и учете латентного упрочнения. В то же время известные экспериментальные данные свидетельствуют о существовании в кри­ сталлитах областей, деформируемых одиночным скольжением и отде­ ленных друг от друга тонкими прослойками дислокационных субструк­ тур (плоскими скоплениями, стенками и др.). В предлагаемой модели переход к локальному одиночному скольжению («пятнистому сдвигу») и образование тонкой микроструктуры связывается с потерей выпукло­ сти потенциала вследствие латентного упрочнения.

В работе используется мультипликативное разложение градиента места, f = f е • f р; скорость изменения пластической составляющей f p оп­

ределяется скоростями сдвигов по СС. Следуя [146], вводится тензор

О

плотности дислокаций р , который определяется через f p, p = f pxV

который в конечном итоге выражается через сдвиги по СС. Кристаллит далее рассматривается как совокупность областей однородно деформи­ руемого материала (пластическое деформирование реализуется однород­ ным одиночным сдвигом), отделенных тонкими прослойками - граница­ ми. В границах упругая и пластическая составляющая градиента места терпит разрыв, градиент места f удовлетворяет условиям совместности в слабом смысле (почти всюду, кроме прослоек, где градиент места может испытывать разрыв по сдвигам вдоль границы). По величине разрыва пластической составляющей градиента места с помощью приведенного выше соотношения устанавливается плотность дислокаций в прослойке; таким образом, граница представляется дипольной стенкой дислокаций, принадлежащих двум СС по обе стороны от прослойки.

Предусматривается возможность образования многоуровневых границ-прослоек, для чего используется модель бинарного дерева (вет­ вящегося графа, из каждого узла исходят либо 2, либо 0 ветвей; гради­ ент места в узлах равен среднему градиентов места, приписанных вет­ вям; на нулевом уровне («корне») градиент места равен среднему для кристаллита). Наличие многоуровневых прослоек, в которых допускает­ ся сдвиг, позволяет при их достаточном количестве обеспечить любую предписанную деформацию за счет одиночных сдвигов. Приведены примеры определения различно ориентированных границ в ГЦК-крис- таллах, которые согласуются с экспериментально наблюдаемыми суб­ структурами при различных видах нагружения. В заключительной части статьи приведен способ внесения в модель абсолютных масштабов тон­ кой структуры, основанный на введении в полную энергию аддитивной добавки от собственной энергии дислокаций; приведены примеры вы­ числения размеров ячеек дислокационных субструктур, результаты на­ ходятся в хорошем качественном и количественном соответствии с экс­ периментальными данными.

В статье [115] рассматривается упругопластическая модель для описания деформирования материалов с ГПУ-решеткой, где наряду со сдвиговой модой деформирования учитывается двойникование. Исполь­ зуется мультипликативное разложение градиента места, повороты ре­ шетки описываются ортогональным тензором, входящим в полярное разложение упругой составляющей градиента места. В отличие от большинства работ, в которых оперируют дискретными наборами ори­ ентаций решеток монокристаллов (зерен), образующих поликристаллический агрегат, в работе используется континуальное представление

функции распределения ориентаций (ФРО), для которой формулируется эволюционное уравнение балансового типа.

Модель применена для расчетов кривых «интенсивность напряже­ нийинтенсивность деформаций» и эволюции ФРО при стесненной осадке и простом сдвиге титановых образцов и свободной осадке маг­ ниевого сплава. Результаты расчетов находятся в удовлетворительном соответствии с экспериментальными данными и результатами расчетов, полученных с использованием других моделей (работающих с дискрет­ ными наборами ориентаций).

Значительное внимание в последние годы уделяется субмикроско­ пическим и нанокристаллическим материалам, получаемым методами интенсивной пластической деформации и порошковой металлургии и об­ ладающими уникальными физико-механическими свойствами. В связи с этим возникает потребность в моделях, учитывающих размеры зерен и зернограничную фазу. В [155] рассматривается самосогласованная уп­ ругопластическая модель, согласно которой зерна поликристалла описы­ ваются сферическими кристаллитами произвольной ориентации, окружен­ ными аморфными областями - границами зерен. Размеры зерен полагают­ ся случайными величинами с логнормальным законом распределения. Приведен вывод разрешающих соотношений для каждой из фаз. Модель применена для исследования напряженно-деформированного состояния при растяжении поликристаллических медных образцов со средним раз­ мером зерна 20 мкм, 110 нм и 49 нм. Детально исследуется влияние сред­ него размера зерна и дисперсии на напряжение течения, неоднородность пластических деформаций и напряжений.

Во п р о с ы к г л а в е 5

1.Какие соотношения применяются в качестве определяющих

вбольшинстве физических теорий?

2.Приведите и проанализируйте основные гипотезы модели Линя.

3.Приведите кинематические и определяющие соотношения для кристаллита, применяемые в модели Линя.

4.Изложите алгоритм применения модели Линя для исследования упругопластического деформирования поликристаллического предста­ вительного макрообъема.

5.Перечислите достоинства и недостатки модели Линя.

6.Какие физические модели применяются для удовлетворения условий равновесия на границах кристаллитов?

7.Каким образом модифицируется закон Гука в случае геометри­ чески нелинейных задач?

8.Проанализируйте закон упрочнения, используемый в работах Токуды и Краточвила.

9.Используя мультипликативное разложение градиента места, получите аддитивное разложение градиента скорости перемещений на упругую и пластическую составляющие.

10.Запишите определяющие соотношения гипоупругости и гипер­ упругости.