573

2.3. Перемещение, путь и скорость перемещения

Знакомство с некоторыми положениями векторной алгебры позволяет дать более четкое определение скорости материальной точки. Но прежде, чем сделать это, нам потребуется определить вектор перемещения.

Траекторией называется линия, описываемая движущейся точкой в пространстве. Уравнения x = x(t), y = y(t), z = z(t) выражают уравнение траектории в параметрической форме. Решая их совместно и исключая из них параметр t, можно найти связь между координатами точек пространства, через которые проходит траектория.

Длиной пути s называется сумма длин всех участков траектории, пройденных точкой за рассматриваемый промежуток времени от t1 до t2.

а) б)

в)

приближается к траектории движения точки — б; вектор средней скорости — в

На рис. 2.8 траектория изображена сплошной кривой линией, стрелка на этой кривой показывает направление движения точки со временем. Вектор перемещения точки за конечное время t12 = t2 − t1 не совпадает с траекторией (рис. 2.8, а, б; совпадение будет, если траектория — пря-

ния точки (см. рис. 2.8, б).

Средней скоростью движения точки в промежутке времени от t до t + t называется скаляр-

Мгновенной скоростью (или скоростью) движения точки называется векторная величина v , равная первой производной по времени от радиуса-вектора r движущейся точки:

13

Скорость направлена по касательной к траектории в сторону движения точки и численно равна первой производной от длины пути по времени:

При этом мы понимаем, что равенство (2.9) представляет собой на самом деле три равенства для составляющих скорости вдоль каждой из координатных осей:

Величина скорости в направлении движения, т.е. длина вектора v , определяется его компонентами: v = vx2 + v2y + vz2 .

Геометрический смысл производной скалярной функции (одной переменной) заключается в сле-

дующем: производная dx(t) = x(t)′ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к кривой dt

x(t) в рассматриваемой точке, с осью ot (горизонтальной осью). На рис. 2.9, а приведена схема постро-

ния касательной к кривой x(t). Определен угол наклона этой касательной к горизонтальной оси, и определена мгновенная скорость через тангенс этого угла: v(t) = (x(t))′ = tg( α ). На рис. 2.9, в приведены зависимость x(t) и ниже — качественная зависимость v(t), т.е. производная этой функции. Тангенс угла наклона касательной, проведенной к кривой x(t), для разных значений t определен на глаз (качественно).

t

в)

Рис. 2.9. Геометрический смысл средней скорости — а; мгновенной скорости — производной функции x(t) — б; пример построения графика скорости v(t) по графику x(t) — в

Если с течением времени величина скорости не изменяется, то движение называют равномерным. Если не изменяется направление вектора скорости, то движение будет прямолинейным, т.е. траектория такого движения будет представлять собой прямую линию.

В общем случае траектория точки лежит в трехмерном пространстве, т.е. изменяются координаты x, y, z. Рассмотрим вращающийся диск (скорость вращения может быть любая, даже переменная), плоскость диска расположена произвольным образом по отношению к осям выбранной декартовой системы координат. Выберем на краю диска (или в любом месте) точку А. Траектория движения этой точки описывается координатами x, y, z, которые изменяются во времени. Но, с другой стороны, траектория точки А лежит в плоскости диска и движение точки можно назвать плоским. Тогда можно выбрать систему координат такую, чтобы диск лежал, например, в плоскости XOY, и тогда координата z не изменяется со временем (она равна нулю), и движение точки будет двумерным. Если точка движется по прямой линии, то можно выбрать такую систему координат (ось OX направлена по прямой), чтобы движение было одномерным x(t). Вот почему при решении задач очень важно выбрать такую систему координат, чтобы рассматриваемое движение в ней было наиболее простым. И еще очень важно: любой достаточно маленький участок трехмерной траектории можно представить тра-

14

екторией движения по окружности подходящего радиуса и нужным образом ориентированной в пространстве. Представьте себе, что к данной точке траектории подносится вращающийся диск нужного радиуса так, чтобы и траектория хорошо совпадала с кромкой диска, и вектор скорости точки на траектории совпадал со скоростью точки на диске. Радиус выбранного диска будет равен

радиусу кривизны траектории в данной точке.

2.4. Ускорение

Вобщем случае величина и направление скорости могут изменяться с течением времени: v = v(t) .

Мгновенным ускорением (или ускорением) называется векторная величина a , характеризующая быстроту изменения скорости движущейся точки и равная первой производной от мгновенной скорости по времени:

Используя определение скорости (2.9), ускорение можно определить как вторую производную от радиуса-вектора:

Геометрическая интерпретация ускорения для криволинейного движения приведена на рис. 2.10. При движении по криволинейной траектории всегда изменяется направление вектора скорости, а модуль скорости может изменяться или может оставаться постоянной величиной (автомобиль едет по извилистой дороге с постоянной скоростью 40 км/ч).

в)

Рис. 2.10. Геометрическое построение для наглядного определения

На рис. 2.10, б рассмотрен случай, когда величина скорости (модуль скорости) остается постоянной при движении по участку траектории радиуса R за короткий промежуток времени t . Из-

r

менение скорости за это время vn будет направлено перпендикулярно траектории к центру

личина нормального (центростремительного) ускорения выражается через линейную скорость и радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке:

В общем случае изменяется и величина скорости — для определенности — возрастает, тогда изменение скорости, связанное с этим возрастанием, будет направлено по касательной, т.е. по

тангенциальное изменение скорости, а ускорение, определяемое этим изменением, — тангенци-

15

мального ускорения, в зависимости от того, растет тангенциальная скорость или уменьшается (рис. 2.11). Математической операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование.

2.5. Движение с постоянным ускорением

Теперь мы достаточно подготовлены для того, чтобы по начальным условиям (начальная скорость и начальные координаты) и известному ускорению тела полностью описать его движение, т.е. найти скорость и координаты тела в любой момент времени.

Рассмотрим в качестве примера движение материальной точки с постоянным ускорением a = const . С постоянным ускорением, в частности, движутся свободно падающие тела, что на опыте было доказано еще Галилеем (постоянное ускорение a в этом случае принято обозначать буквой g и называть ускорением свободного падения, g = 9,81 м/с2). Интегрирование ускорения (2.13) дает закон изменения скорости движения при равноускоренном движении:

(2.15)

Интегрирование скорости (2.14) дает закон изменения радиуса-вектора при равноускоренном

Два этих векторных уравнения (т.е. шесть уравнений для каждой из компонент векторов!) полностью определяют движение тел с постоянным ускорением.

Рассмотрим, например, как будет двигаться небольшой камень, если бросить его горизонтально с начальной скоростью v0. Такое движение, как показывает наш повседневный опыт, будет плоским, или двумерным, т.е. траектория камня будет лежать в одной плоскости, поэтому для его описания достаточно выбрать две координатные оси. Выберем ось у так, чтобы она была направлена вертикально вверх, а ось х — горизонтально в направлении движения. Начало координат поместим в точку начала движения (рис. 2.12, а). Таким образом, начальные координаты камня будут равны нулю (х0 = 0, у0 = 0), а начальная скорость будет иметь только одну составляющую: v0x = v0, v0y = 0. Вектор ускорения g всегда направлен вниз, поэтому его составляющие будут равны соответственно нулю и –g (a0x = 0, a0y = –g).

16

В соответствии с уравнениями (2.15) и (2.16) в горизонтальном направлении камень будет двигаться с постоянной скоростью v0, а его координата x(t) = v0t . Одновременно камень будет падать вниз с постоянно растущей скоростью vy (t) = −gt (знак «–» означает, что скорость направлена против оси у), а его координата y(t) изменяется по закону:

Какую же кривую описывает камень, т.е. какова связь между координатами х и у? Исключив из

уравнения (2.17) время t, получим y = − g x2 . Эту связь между координатами х и у можно рассмат-

2v02

ривать как уравнение траектории движения камня. Если изобразить ее графически, то получится кривая, которая называется параболой (рис. 2.12, а). Таким образом, свободно падающее тело, будучи брошенным в некотором направлении, движется по параболе. Если показать положение тела через равные промежутки времени, то точки лежат на параболе, расстояние между точками возрастает (рис. 2.12, а). Проекции этих точек на вертикальную плоскость (ось oy) показаны черными точками, расстояние между соседними точками увеличивается со временем. Проекции светлых точек на горизонтальную плоскость (ось ox) показаны черными точками, расстояние между соседними точками остается постоянным со временем. Мгновенная скорость в каждый момент времени определяется как векторная сумма компонент скоростей по осям ox и oy. Ньютон первым описал это движение, подтвердив свои законы и закон всемирного тяготения, так как ускорение g вызвано силой притяжения тела массой m к Земле массой М. Если тело бросить с начальной скоростью под углом к горизонту с некоторой высоты, то траекторией его движения также будет парабола.

в)

г)

Рис. 2.12. Примеры движения тела, брошенного с начальной скоростью,

вполе силы тяжести:

а— тело брошено горизонтально с некоторой высоты;

б— тело брошено под углом к горизонту с некоторой высоты;

в— схема нахождения результирующей скорости в момент времени t;

г— тело брошено перпендикулярно наклонной

плоскости (угол наклона α ), по направлению oy (система координат выбрана так, чтобы ox было направлено по плоскости вниз)

На рис. 2.12, б показаны векторы перемещения за равные промежутки времени, они образуют параболу. На рис. 2.12, г — траектория движения тела, брошенного перпендикулярно наклонной плоскости с начальной скоростью v0. При решении этой задачи система координат выбрана так, чтобы ox было направлено по плоскости вниз, а oy — перпендикулярно плоскости. Вектор ускорения свободного падения g нужно разложить на две проекции на оси координат компонент: gx и gy. По оси ox — движение равноускоренное, по оси oy — равнопеременное, вначале равнозамедленное, потом — равноускоренное.

17

2.6. Движение по окружности

На предыдущем примере мы убедились, насколько удобным оказывается описание явлений (в частности движения) на языке математических формул. Мы видели, как много могут объяснить нам

рением, если уметь их читать и уметь с ними работать. Именно поэтому математика является языком всех естественных наук, и знание этого языка позволяет нам общаться с Природой. Нам также становится ясно, насколько упрощается описание движения на языке векторных величин. Два уравнения, (2.15) и (2.16), избавляют нас от необходимости записывать в общем случае шесть (!) уравнений для составляющих векторов. Но и это еще не все! Если немного подумать, то придем к выводу, что вид векторных уравнений (например, уравнений (2.15) и (2.16)) не зависит от выбора системы координат, т.е. эти уравнения содержат в себе нечто такое, что не зависит от способа описания, содержат в себе объективную истину. Действительно, разве зависят от нашего выбора системы координат величина и направление скорости камня, который мы бросим вверх? Конечно же, нет! Как бы мы ни направляли координатные оси, камень все равно упадет на землю. Но величина и направление как раз и задают вектор! Вы можете возразить, что мы определили вектор как тройку чисел, тройку его составляющих. И это действительно так. Но это не единственная тройка чисел, задающая один и тот же вектор. В разных системах координат один и тот же вектор задается разной тройкой чисел. Больше того, декартова система координат является не единственной системой координат, а ее использование не всегда оказывается удобным. Было бы очень неудобно, например, задавать положение корабля в океане при помощи координат х, у и z. Вместо этого используются угловые величины — широта и долгота. При этом третьей величиной, необходимой для однозначного задания положения тела в нашем трехмерном пространстве, является известный радиус земного шара — расстояние до начала

отсчета, в качестве которого выбирается центр земного шара.

а) в)

б)

Рис. 2.13. Трехмерная полярная система координат ( r,ϕ,θ ) — а; двумерная полярная система координат ( r,ϕ ) — б;

определение направления вектора угла поворота вокруг оси по правилу буравчика — в

Система координат, в которой положение произвольной точки задается при помощи двух углов — полярного — θ (широта) и азимутального — ϕ (долгота) и расстояния r до начала отсчета, называется полярной (рис. 2.13, а, б). Еще одним примером, когда использование декартовой системы координат оказывается неудобным (но не невозможным!), является движение материальной точки по окружности (или дуге окружности) заданного радиуса R или движение твердого тела (например, диска) вокруг фиксированной оси. Единственное, что нужно знать для описания положения этой точки (или вращающегося тела), — это угол поворота (угловой путь), отсчитываемый от какого-нибудь заранее выбранного направления.

Таким образом, изучение движения материальной точки по окружности заданного радиуса (или изучение вращающегося тела) сводится к изучению изменения угла поворота (всего одного, одной координаты!) со временем. Возникает вопрос о направлении вращения, нужно ли отличать направление вращения в одну сторону от вращения в другую сторону? Ответ зависит от того, что нас интересует: если нам важен только факт поворота и его величина — то не нужно, а если важно направление,

18

например, как при вращении пропеллера, — то нужно. Элементарные повороты (обозначаются Δϕ

или dϕ ) можно рассматривать как псевдовекторы. Угловое перемещение dϕ — векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта (буравчика). Этот вектор рисуют на оси вращения (рис. 2.13, в). Используя определение векторного произведения (рис. 2.6) и формулу (2.5), можно определить dϕ следующим образом: dϕ = r × dr , здесь dr — вектор перемещения точки, r — радиус-вектор.

Подобно тому, как мы вводили понятия скорости и ускорения, мы можем ввести понятия угло-

и углового ускорения (скорости изменения угловой скорости) ε :

Вектор угловой скорости численно равен скорости изменения углового пути, направление вектора угловой скорости ω совпадает с направлением вектора dϕ и лежит на оси вращения. Вектор углового ускорения ε численно равен быстроте изменения угловой скорости, направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора угловой скорости ω , если величина угловой скорости увеличивается, и ε направлен против направления вектора угловой скорости, если величина угловой скорости уменьшается. Векторы dϕ , ω и ε лежат на оси вращения. Единица углового пути (угла поворота) — радиан (рад). Единица угловой скорости — рад/с и единица углового ускорения — рад/с2.

Операцией, обратной дифференцированию, является интегрирование. Поэтому из выражения

альной точки ε(t) со временем, нетрудно найти угловую скорость ее движения в любой момент времени:

Рассмотрим в качестве примера движение материальной точки по окружности с постоянным угловым ускорением ε = const . Интегрирование углового ускорения (2.20) дает закон изменения угловой скорости движения при равноускоренном движении:

Интегрирование угловой скорости (2.21) дает закон изменения вектора поворота при равно-

Два этих векторных уравнения полностью определяют движение точки по окружности с постоянным угловым ускорением.

Движение материальной точки по окружности характеризуется угловыми величинами ( ϕ, ω, ε ) и линейными величинами ( s, v, a ). Так как мы описываем одно физическое явление (движение по окружности) с помощью различных наборов величин (угловых и линейных), то между этими величинами должна существовать взаимно однозначная связь, т.е. через одни величины можно выразить другие. Для простоты изложения мы представим такую связь не для век-

19

торных величин, а для их значений (φ, ω и ε) и (s, v и a). Между значениями этих величин существует достаточно простая связь. Линейный путь выражается через угловой путь: s = Rϕ . Дифференцируя это выражение по времени (радиус R окружности со временем не изменяется), нетрудно получить связь линейной скорости с угловой скоростью:

Вектор скорости v направлен по касательной к траектории (см. рис. 2.10), т.е. всегда перпендикулярен радиусу окружности. При движении тела изменяется направление скорости и ее величина (в общем случае). Дифференцируя выражение v = Rω по времени и помня, что за изменение величины скорости отвечает тангенциальное ускорение, получим:

Тангенциальное ускорение направлено по касательной, т.е. по направлению скорости, если модуль скорости увеличивается, и против направления скорости, если модуль скорости уменьшается. За изменение направления скорости отвечает нормальное ускорение:

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно вектору скорости, т.е. к центру окружности (см. рис. 2.11), и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости v .

Результирующее (полное) ускорение равно векторной сумме a = aτ + an , его величина может

Запишем теперь связь между угловыми характеристиками и линейными характеристиками в

ускорения точки. Например, при движении вдоль поверхности Земли вследствие ее вращения точка будет иметь кориолисово ускорение по отношению к звездам, а не к Земле. Чтобы придать материальной точке кориолисово ускорение, на эту точку должны действовать реальные силы, сумма которых равна силе Кориолиса. Силой Кориолиса объясняется подмыв соответствующих берегов рек (так называемый закон Бэра), возникновение некоторых воздушных и морских течений.

3. ДИНАМИКА

Мы познакомились с основными методами описания движения, но при этом не отвечали на вопрос, почему возникает движение, почему возникает тот или иной тип движения (скажем, движение по окружности). Мы научились по известному ускорению определять скорость и координаты материальных точек, но ничего не говорили о том, как при этом найти само ускорение. Ниже мы постараемся ответить на эти вопросы.

3.1. Силы в механике. Закон всемирного тяготения

Изучив природу движения, Ньютон решил (XVII в.), что именно Солнце может являться источником сил, управляющих движением планет. Также он убедился, что отклонения движения планет от прямой в точности радиальны, что является следствием того, что все силы направлены точно к Солнцу. Кроме того, он сделал вывод, что чем дальше от Солнца планета, тем слабее сила. Сравнивая движение двух планет на разных расстояниях от Солнца, Ньютон пришел к выводу, что силы притяжения их к Солнцу обратно пропорциональны квадратам расстояний от планет до Солнца. Проведя анализ, он заключил, что должна существовать сила, обратная квадрату расстояния и направленная по прямой

20

между Солнцем и планетой. Ньютон предположил, что эта связь применима не только к Солнцу, удерживающему планеты, но она носит более общий характер. Он предположил, что такая же сила удерживает Луну вблизи Земли, удерживает нас на Земле, что эта сила всеобщая и что все притягивается ко всему. Ньютон сформулировал закон Всемирного тяготения: сила притяжения любых двух тел прямо пропорциональна произведению масс этих тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти тела:

Коэффициент пропорциональности G = 6,672 10-11 Н м2/кг2. Он называется постоянной всемирного тяготения, или гравитационной постоянной, и одинаков для всех тел в природе. Закон всемирного тяготения Ньютона позволил с высокой точностью определить орбиты планет Солнечной системы. Для самого Ньютона наиболее важным доводом в пользу этого закона послужило полученное им доказательство того, что притяжение Земли действует и на Луну. Анализ движения Луны, проведенный Ньютоном на основе закона всемирного тяготения, с высокой точностью совпадал с астрономическими наблюдениями. Закон тяготения объяснил многие явления, прежде не совсем понятные и таинственные. Например, периодическое повышение уровня воды морей и океанов, называемое приливом

исвязанное с притяжением воды Луной. Закон тяготения Ньютона позволил сделать множество ценных предсказаний, он позволил глубже понять устройство окружающего мира. Знание о существовании тяготения позволяет понять, например, почему Земля круглая (ну, почти круглая): так как между всеми телами существует притяжение, то и всё, из чего возникла Земля, тоже взаимно притягивалось до тех пор, пока было куда притягиваться. Из закона тяготения, таким образом, следует, что и Солнце,

иЛуна, и Земля, и другие планеты, и звезды, которые по современным представлениям возникли в результате взаимного притяжения частиц межзвездных пылевых облаков, должны быть приблизительно шарами.

Одно из важнейших свойств силы — ее материальное происхождение. Говоря о силе, мы всегда неявно предполагаем, что когда нет физических тел, то сила равна нулю. Если мы видим, что сила не равна нулю, мы ищем по соседству ее источник. Можно сделать вывод: на тело действует столько сил, сколько других тел находится по соседству. В этих утверждениях есть нечто новое: мы поняли, что анализ силы вообще, действующей на тело, может быть сведен к анализу более простых сил, действующих между рассматриваемым телом и другим каким-то телом из его окружения. Примером такой простой силы является сила тяготения. Формулируя свой закон тяготения, Ньютон отвечал на вопрос: что такое сила и как ее вычислить? Если бы ничего, кроме тяготения, не существовало, то сочетание закона тяготения и второго закона Ньютона оказалось бы завершенной теорией. Но кроме сил тяготения в природе существуют и другие силы.

Первое, на что необходимо обратить внимание, когда мы говорим о силах в природе, — это сила тяжести, действующая на все тела вблизи поверхности Земли. Но теперь-то мы знаем, что сила тяжести — это просто частный случай силы тяготения, действующей между всеми телами, обладающими массой. Величина этой силы определяется законом тяготения Ньютона:

здесь g — ускорение свободного падения, направленное к центру Земли. Если выразить силу, действующую на массу m, которая находится на расстоянии r от массы M, то получим аналогичное выражение:

Так как F(r) и g(r) направлены к массе M, то можно записать

ur

где g(r) – векторное гравитационное поле, созданное массой M.

К силам тяготения можно отнести и силу, действующую на все тела, погруженные в жидкость или газ (рис. 3.1):

FA = ρgV ,

21

здесь ρ — плотность жидкости (газа), V — объем погруженной в эту жидкость (газ) части тела, g — ускорение свободного падения.

Рис. 3.1. Ядра одинаково притягиваются к Земле, дальность их полета зависит от начальной скорости — а; сила Архимеда

может быть сведена к силе тяготения — б

Выталкивающая сила впервые была описана Архимедом. Ее действие всегда сводится к тому, что жидкость (газ) стремится вытолкнуть всякое погруженное в нее (в него) тело. При определенных условиях эта сила может быть даже больше или равна силе тяжести, действующей на тело. И тогда это тело не тонет. Именно действием силы Архимеда можно объяснить плавание больших, тяжелых кораблей в океанах, «плавание» воздушных шаров и т.д.

В природе есть простые, или фундаментальные, силы, которые уже не сводятся ни к каким другим типам сил, и есть силы, которые можно рассматривать как результат суммарного действия более простых сил.

К фундаментальным силам природы можно отнести:

1)силы тяготения, действующие между любыми телами, обладающими массой;

2)электрические силы, действующие между любыми телами, обладающими зарядом;

3)силы магнитного взаимодействия, действующие между любыми движущимися зарядами;

4)силы, которые называют силами слабого взаимодействия, их действие проявляется в процессах взаимного превращения мельчайших частиц материи, называемых элементарными частицами;

5)ядерные силы, действующие между частицами, входящими в состав атомного ядра.

3.2. Сила трения

Сила, с которой мы чаще всего встречаемся на практике, — это сила трения скольжения. Эта сила всегда возникает при скольжении одного тела по поверхности другого и препятствует движению, т.е. направлена против скорости движения.

Если на тело действует сила, параллельная поверхности соприкосновения, но тело остается в покое, то это значит, что возникла сила трения покоя (рис. 3.2, а). Приложенная сила и сила трения покоя уравновешивают друг друга, результирующая сила равна нулю. Сила трения покоя направлена против приложенной силы. На рис. 3.3, б линейный участок возрастания силы трения соответствует силе трения покоя. Достигнув максимальной величины, сила трения покоя не может возрастать больше, начинается движение, и сила трения теперь стала называться силой трения скольжения, последняя чутьчуть меньше максимальной силы трения покоя.

Рис. 3.2. Сила трения:

а— сила трения покоя; б — сила трения скольжения;

в— силы трения покоя и скольжения

Опыт показывает, что величина силы трения скольжения пропорциональна величине силы дав-

ления Fä . Сила давления равна силе нормальной реакции опоры N , действующей на движущееся

тело со стороны поверхности соприкосновения и всегда направленной перпендикулярно этой поверхности (рис. 3.2, 3.3, в):

22