573

энергия прямо пропорциональна h и равна mgh, где g = GMз / R32 ;

б — за ноль потенциальной энергии выбрана энергия взаимодействия тел при бесконечном удалении

Деформированные упругие тела при возвращении в свободное состояние совершают работу (лук, рогатка, пружинный пистолет), значит, в деформированном состоянии они обладают потенциальной энергией.

Потенциальная энергия сжатой пружины равна работе внешней силы при деформации пружины или работе силы упругости при переходе пружины в свободное состояние (недеформированное):

здесь х — величина деформации, k — коэффициент жесткости пружины (рис. 4.8).

Рис. 4.8. Работа силы упругости при деформации пружины от х1 до х2. Заштрихованная площадь эквивалентна работе, потраченной

на деформацию пружины

Работа консервативных сил численно равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком, и идет на изменение кинетической энергии тела:

Это утверждение, которое вытекает из наших предварительных рассуждений, вполне можно рассматривать как одну из возможных формулировок закона сохранения механической энергии в природе. В системе, состоящей из многих тел, кинетическая энергия будет складываться из суммы кинетических энергий каждого из тел, а потенциальная энергия — из суммы потенциальных энергий каждого из тел и потенциальной энергии взаимодействия тел друг с другом. Но, как и в случае одного тела (см. (4.13)), полная механическая энергия консервативной системы тел (т.е. тел, на которые действуют только консервативные силы), равная сумме их кинетических и потенциальных энергий, остается неизменной:

Рис. 4.10. Закон сохранения энергии

На рис. 4.10 положение тела изображено через одинаковые моменты времени, значит, расстояние между соседними положениями тела пропорционально скорости тела. Видно, что потенциаль-

33

ная энергия переходит в кинетическую (скорость тела растет при скатывании тела вниз). Видно, что есть и трение (тело не поднялось на прежнюю высоту), часть энергии перешла в тепло за счет работы диссипативных сил.

Таким образом, полная механическая энергия системы изменяется и можно найти величину этого изменения. Для этого достаточно представить работу всех сил в виде суммы двух слагаемых

— работы консервативных сил A и работы диссипативных сил Q — и помнить, что работа любых сил идет на изменение кинетической энергии тел:

A + Q = −(Å − Å ) + E − E ,

14ï 2443ï 1 ê 2 ê1

A

откуда (Eê 2 + Åï 2 ) − (Eê1 + Åï 1) = Q . Изменение полной механической энергии системы тел равно работе диссипативных сил, действующих в системе (см. рис. 4.10). Что такое работа диссипативных сил

— тоже понятно. Если мы вспомним, что действие силы трения приводит к нагреванию тел, то становится ясно, что Q — это тепло. Чуть позже мы увидим, что тепло связано с беспорядочным движением атомов и молекул, из которых состоит все вокруг, т.е. тепло — это тоже сумма кинетической и потенциальной энергии, но внутреннего движения. Это внутренняя энергия тел. В случае действия сил трения, таким образом, мы сталкиваемся с процессами взаимного превращения одних форм энергии (механической) в другие (внутреннюю энергию теплового движения). Кроме кинетической и потенциальной энергии, энергии теплового движения существуют и другие формы энергии. Это может быть энергия излучения (или энергия электромагнитного поля), химическая энергия (энергия химического взаимодействия атомов), ядерная энергия, связанная с взаимодействием составляющих атомного ядра, или энергия массы, возникающая в теории относительности. Но при этом: Энергия в природе не возникает из ничего и не исчезает: количество энергии вечно и неизменно. Она только переходит из одной формы в другую. Это наиболее общая формулировка закона сохранения энергии, которая принадлежит выдающемуся и разностороннему немецкому ученому Герману Гельмгольцу (1821–1894).

Закон сохранения энергии незаменим при анализе самых различных явлений. Как и закон сохранения импульса, он позволяет проводить этот анализ, не вдаваясь в детали процессов. Кроме того, у этих законов сохранения есть еще одно очень важное достоинство. Они абсолютно точны. Это серьезно отличает их от других законов физики, которые, как правило, имеют определенные границы и условия применимости. Абсолютная точность законов сохранения импульса и энергии связана с фундаментальными свойствами пространства и времени.

Размерность работы, кинетической энергии, потенциальной энергии и вообще любой энергии равна произведению размерности силы на размерность пути: [A] = [Fs] = [F][s] = ML2T -2L ньютон метр =

Н м = джоуль = Дж. Работа в единицу времени называется мощностью N, ее размерность равна: [N] = [A/t] = ML2T -3 Дж/с = ватт = Вт.

5.ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

5.1.Момент силы. Равновесие тела

Закручивать гайку ключом с длинной ручкой легче, чем с короткой ручкой. Из этого экспериментального факта следует, что кроме модуля силы и ее направления есть и другая величина — точка приложения силы, характеризующая вращательное усилие, которое возникает при приложении силы. В древности было известно, что, применяя рычаг, можно, прикладывая небольшую силу, поднять очень тяжелое тело. В этих случаях важна не величина силы, а момент силы. Момент

силы относительно точки О — это вектор M , модуль которого равен М = Fl = Fr sinα (рис. 5.1, а, r

б). Направление момента силы перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы r и F , и

r

На плоском рисунке обычно изображают плоскость, в которой лежат векторы r и F ; ось, на которой лежит вектор момента силы, изображают точкой О, подразумевая, что ось расположена перпендикулярно плоскости рисунка и проходит через точку О (см. рис. 5.1). Определим важные понятия.

Линия приложения (действия) силы — это линия (прямая), на которой лежит вектор силы.

Плечо силы — это кратчайшее расстояние между линией приложения силы и точкой О.

r

Точка приложения силы — точка, к которой приложена сила F (начало вектора силы).

34

Тогда момент силы — это сила, умноженная на плечо. Из рис. 5.1, в видно, что момент силы остается постоянным при перемещении точки приложения силы по линии действия силы. Из рис. 5.1, г видно, что момент силы остается постоянным при разных приложенных силах, если проекции этих сил на перпендикуляр к r остаются постоянными. Можно дать несколько способов для определения направления момента силы. Направление момента силы совпадает с направлением вектора угловой скорости, которая возникнет у тела под действием приложенного момента силы. Направление момента силы совпадает с направлением вектора углового перемещения, которое возникнет у тела под действием приложенного момента силы.

Теперь можно определить условия, при которых тело находится в равновесии, т.е. в покое в подходящей системе координат. Первое условие: сумма всех приложенных сил, действующих на тело, равна нулю. Второе условие: сумма всех приложенных к телу моментов сил относительно любой оси равна нулю.

Рис. 5.1. Определение плеча и момента силы

Задание: Выполните задания по рис. 5.2, указанные в подрисуночной подписи.

Рис. 5.2. Нахождение величины момента силы:

а, б — найти момент силы через указанные на рисунке величины;

в— каким способом легче вытащить гвоздь?

г— на каком из рисунков приложен больший момент силы?

5.2. Момент импульса.

Закон сохранения момента импульса

Кроме законов сохранения энергии и импульса в природе есть еще один фундаментальный закон — закон сохранения момента импульса. Эту величину, равную произведению импульса тела p на длину радиуса-вектора и синус угла между ними, называют моментом импульса (или угловым моментом) L:

Если мы (достаточно формально) введем вектор, перпендикулярный плоскости, где лежат векторы

p и r , длина которого определяется выражением (5.2), то это выражение может быть записано более кратко, как векторное произведение (рис. 5.3, б):

Итак, моментом импульса тела относительно какой-то точки называется вектор, равный векторному произведению радиуса-вектора тела, проведенного из этой точки, на импульс тела.

35

Рассмотрим плоскости рисунков (рис. 5.3, а, в), в которых лежат векторы r и p и векторы r и

Рис. 5.3. Определение момента импульса

При движении планет вокруг Солнца их момент импульса относительно Солнца сохраняется. Следствием сохранения величины углового момента является закон площадей Кеплера. Следствием сохранения направления этого вектора является то, что движение планет происходит в одной плоскости. Но при этом возникают вполне резонные вопросы: А всегда ли угловой момент сохраняется? Что является причиной изменения момента импульса?

Чтобы ответить на эти вопросы, допустим, что угловой момент в каком-то процессе изменяет-

Первое слагаемое в этом выражении будет равно нулю, так как векторное произведение вектора на

себя равно нулю. Второе слагаемое представляет собой векторное произведение радиуса-вектора тела r

и силы F , действующей на тело. Этот вектор называется моментом силы (см. (5.1)). Таким образом, причиной изменения углового момента является действие момента силы. При этом скорость изменения момента импульса тела равна моменту силы, действующей на это тело:

dt

Если суммарный момент сил, действующих на тело, равен нулю, момент импульса (угловой

dt

Это утверждение отражает суть закона сохранения момента импульса.

5.3. Момент инерции тела. Динамика вращения тел

Замечательной особенностью полученных нами законов является их применимость для описания не только одной материальной точки, но и системы материальных точек. Единственное, о чем нужно при этом помнить, что угловой момент системы материальных точек будет равен векторной сумме угловых моментов каждой из точек, а момент сил — векторной сумме моментов всех сил, действующих на каждую из точек. Примером системы материальных точек может служить Солнечная система в целом или галактика, атом, состоящий из заряженных частиц, или наша планета Земля. Движение таких систем всегда можно представить в виде суммы двух движений: поступательного движения системы как целого и ее вращательного движения. Мы уже достаточно много знаем о поступательном движении. Рассмотрим основные особенности вращения.

Особенно удобными при описании вращения оказываются понятия момента импульса и момента силы. При этом понятие углового момента системы в некотором смысле подобно понятию импульса материальной точки (если есть вращение, это означает, что есть ненулевой момент импульса). Понятие момента силы подобно понятию силы, действующей на материальную точку (момент

dt

понятия, является аналогом второго закона Ньютона, основного закона динамики материальной точки. Собственно, это уравнение является следствием второго закона Ньютона. Оно является основным законом динамики вращательного движения.

36

Мы рассмотрим особенности вращения на самом простом примере плоского (или двумерного) вращения тела, когда все точки тела движутся по окружностям, центры которых располагаются на одной прямой, называемой осью вращения. Причем каждая точка тела движется в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Если представить себе случай, когда ось вращения сама вращается относительно одной или нескольких осей, то такое вращение будет уже трехмерным (кувыркание).

Пусть наше «тело» состоит всего из двух шариков — материальных точек с массами m1 и m2, скрепленных невесомым жестким стержнем. И пусть эти шарики вращаются относительно оси, перпендикулярной стержню, причем расстояния от первого и второго шариков до оси равны соответственно r1 и r2. Очевидно, что угловая скорость такого вращения будет одинаковой для обоих шариков: ω1 = ω2 = ω . За равные промежутки времени шарики поворачиваются на одинаковый угол. Оче-

видно также, что угловые моменты обоих шариков будут направлены вдоль оси вращения, так как она перпендикулярна плоскости вращения по определению; поэтому полный момент импульса такой системы будет определяться простой суммой угловых моментов шариков:

L = L1 + L2 = m1v1r1 + m2v2r2 = m1ωr12 + m2ωr22 = (m1r12 + m2r22 )ω.

Этот момент можно представить в виде произведения некоторой величины, называемой мо-

Здесь снова прослеживается аналогия между поступательным движением и вращательным: импульс — это произведение массы тела на скорость его поступательного движения, момент импульса

— это произведение момента инерции на угловую скорость вращения. Отсюда ясен смысл момента инерции тела: это мера инертности тела по отношению к вращению. Чем больше момент инерции, тем инертнее тело, тем больше оно «сопротивляется» действию момента внешних сил. Если момент инерции тела не изменяется, то, подставляя формулу (5.7) в (5.5), нетрудно получить связь углового ускорения с моментом силы, действующей на тело:

I

ным уравнением динамики вращательного движения. Отсюда видно, почему так трудно бывает остановить или изменить направление движения быстро вращающегося тела (например, катящейся автомобильной покрышки). Несмотря на то, что его масса может быть невелика, тело может иметь большой момент инерции. Есть еще одна существенная разница между массой и моментом инерции: масса тела обычно не изменяется, момент же инерции легко изменить. В нашем примере с двумя шариками на стержне для этого достаточно всего лишь передвинуть шарики, изменить их расстояние до оси вращения. Момент инерции (5.8) системы изменится, а масса m = m1 + m2 останется неизменной. Интересно, что угловая скорость вращения шариков при этом должна измениться, даже если момент сил, действующих на систему, равен нулю! Действительно, в этом случае угловой момент (5.7) должен сохраняться, поэтому изменение момента инерции I должно приводить к изменению угловой скорости вращения ω.

С проявлением этой закономерности мы часто сталкиваемся в жизни. Достаточно вспомнить соревнования по фигурному катанию. Для того чтобы увеличить скорость своего вращения на льду, фигуристы начинают вращаться с вытянутыми руками, а затем быстро прижимают их к груди. Как люди, кое в чем разбирающиеся, мы могли бы теперь дать фигуристам добрый совет: для достижения большей скорости вращения им стоит делать все то же самое, но с гантелями в руках.

Вращение планет, Солнца и других звезд вокруг своей оси, вращение нашей Солнечной системы в целом, вращение галактик, — все это можно объяснить на основе того же закона сохранения углового момента. Если предположить, что все эти объекты образовались в результате гравитационного сжатия облаков межзвездной пыли, то становится понятно, что малейшего, даже самого незначительного вращения этих облаков в начале сжатия достаточно, чтобы это привело к наблюдаемому, достаточно быстрому, вращению объекта, который образуется из облака после его сжатия.

37

Рассмотрим теперь проблему определения момента инерции различных тел. Общая формула для нахождения момента инерции тела относительно оси вращения имеет вид:

где ri — расстояние от массы mi до оси вращения. Переходя от суммирования к интегрированию, получим: I = ∫r2dm .

m

Момент инерции однородного стержня массой m и длиной l относительно оси, проходящей че-

рез один из его концов, равен I = ml2 .

3 Момент инерции того же стержня относительно оси, проходящей через его середину, равен

I = ml2 , т.е. стержень гораздо легче раскрутить, если ось проходит через его середину, чем через его 12

конец.

Момент инерции однородного шара массой m с радиусом R относительно оси, проходящей через

его центр, I = 2 mR2 .

5 Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси он определяется и как распределена

масса тела по объему. Момент инерции — характеристика инертности тела к возникновению его вращения, но в расчет сама скорость вращения не входит. Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.

Момент инерции тела Iy относительно произвольной оси равен сумме момента его инерции I0 относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела m на квадрат расстояния между осями:

Если предмет состоит из нескольких частей, причем момент инерции каждой из них относительно выбранной оси известен, то полный момент инерции будет равен сумме моментов инерции этих частей. Пользуясь этим свойством и теоремой Штейнера, можно вычислить момент инерции тела довольно сложной формы.

Выполните задание 1. На рис. 5.4 изображен диск радиусом R1, массой m, в котором вырезали отверстие радиусом R2 (R1 = 2R2). Определите момент инерции получившегося тела относительно оси О, проходящей перпендикулярно плоскости чертежа. Момент инерции диска массой m, радиу-

mR2

2

Рис. 5.4. Фигура к заданию по определению момента инерции вращающегося тела

Задание 2. По рис. 5.5 выполните задания, указанные в подрисуночной подписи.

Рис. 5.5. Момент инерции тела относительно оси:

а — расчитайте момент инерции шара относительно оси,

38

проходящей через центр шара; б — выведите формулу теоремы Штейнера (используя (5.10))

5.4. Кинетическая энергия вращения

Мы уже сказали, что любое движение реальных тел можно представить в виде суммы поступательного движения тела как целого и его вращательного движения. Этот факт нужно учитывать при расчете кинетической энергии тел. Ясно, что эта энергия будет складываться из двух частей: кинетической энергии поступательного движения ЕКV и кинетической энергии вращения ÅÊω :

вращательным движением. Пользуясь этой аналогией, можно составить выражение для кинетической энергии вращения:

ÅÊω = Iω2 = Lω . (5.12)

22

Эту энергию всегда нужно учитывать, если мы при описании движения реальных (не точечных) тел используем закон сохранения энергии. Касаясь закона сохранения энергии, нужно обсудить еще одну проблему, связанную с вращением и законом сохранения углового момента. Мы уже говорили, что закон сохранения момента импульса требует изменения скорости вращения при изменении момента инерции, даже в том случае, когда момент сил равен нулю. Если обозначить первоначальную скорость вращения ω1, то конечная скорость ω2 будет связана с начальным I1 и конечным I2 моментами инерции

исчезает дополнительная энергия? Может быть, в случае с фигуристами сохраняется как раз энергия вращения, а не угловой момент? Ответ на эти вопросы таков. Момент импульса любой системы сохраняется, раз момент сил равен нулю. Но равенство нулю момента сил еще не означает равенства нулю самих сил! А если на систему действуют силы, то они совершают работу, которая и идет на изменение энергии системы. Если снова вспомнить фигуристов, то изменение энергии их вращения будет как раз связано с той работой, которую им необходимо совершить, чтобы прижать руки к груди. Если говорить об изменении энергии вращения пылевого облака, из которого образуется новая звезда, то работу совершают силы тяготения. Работа, которая при этом совершается, и составляет разницу в кинетических энергиях вращения.

6. КОЛЕБАНИЯ

6.1. Свободные гармонические колебания

Одним из самых распространенных типов движения в природе являются колебания. Колеблется грузик, подвешенный на пружинке, колеблется величина напряжения в сети переменного тока, колеблется число особей в популяции насекомых. Колебания встречаются в самых различных областях естествознания и имеют некоторые общие черты, главная из которых — повторяемость во времени.

Колебанием называется такое движение (в самом общем смысле этого слова), которое характеризуется повторяемостью во времени. Минимальное время Т, по прошествии которого значение всех величин, описывающих совершающую колебания систему, повторяется, называется периодом колебаний. Другими словами, период колебаний — это время одного колебания. Число колебаний ν, которое совершает система за единицу времени, называют частотой колебаний. Исходя из определения периода колебаний, нетрудно понять, что частота — это величина, обратная периоду:

Мы попытаемся понять основные закономерности колебательного движения на примере механических колебаний. Рассмотрим, для начала, колебания грузика массой m на пружине жесткостью k. Такую систему называют пружинным маятником (рис. 6.1, а). Чтобы возникли колебания пружинного маятника, мы должны растянуть пружину, т.е. вывести грузик из положения равновесия. В этом слу-

39

чае на грузик будет действовать сила упругости, пропорциональная удлинению пружины, которая будет противодействовать растяжению пружины, стараясь возвратить грузик в положение равновесия. Колебания, таким образом, возникают при выведении системы из положения равновесия при наличии силы, возвращающей систему в это положение. В системе могут возникнуть собственные (происходящие сами по себе) колебания, если система находится в устойчивом равновесии и при отклонении от равновесия возникает возвращающая сила, которая стремится возвратить систему в положение

устойчивого равновесия.

в)

а)

а

бб)

г)

Рис. 6.1. Примеры колебательных систем

На рис. 6.1, б приведена схема колебательного процесса математического маятника. На первых двух рисунках буквой А обозначено максимальное отклонение от положения равновесия — амплитуда колебания.

Единицы колеблющихся физических величин могут быть различными: смещение имеет размерность длины, м; угловое смещение — радиан; заряд — кулон; электрический ток — ампер и т.д. Наглядно представить себе, как идет колебательный процесс пружинного маятника, можно, проанализировав рис. 6.1, в. На этом рисунке последовательно изображены 10 положений колеблющегося груза через одинаковые промежутки времени t =

=T/6 с (Т — период колебания). Первый рисунок соответствует состоянию, когда груз находится в положении устойчивого равновесия: x = 0. В этот момент молотком произведен удар, и груз за короткое время приобрел скорость v в направлении сжатия пружины, т.е. –x. Далее груз по инерции сжимает пружину, уменьшая свою скорость. Затем достигается максимальное сжатие пружины (в этот момент v = 0) и груз меняет направление скорости. Двигаясь вправо, проходит положение равновесия при максимальной скорости (это рисунок g) и далее растягивает пружину, скорость при этом уменьшается до нуля. Потом идет процесс сжатия пружины, прохождение положения равновесия (это рисунок j) и т.д. Последний рисунок m — это опять положение равновесия, когда скорость груза направлена вправо. Если направить одну ось, проходящую через центры грузов, изображенных на рисунках d, g, j, m (положения равновесия), и обозначить ее t (ось времени), а вторую ось, перпендикулярную ей, обозначить x (ось смещения груза), то в полученной системе координат можно построить график зависимости смещения со временем (используя рисунки d – m). Полученный график изображен на рис. 6.1, г, полное время процесса равно 6 с, максимальное отклонение груза от положения равновесия равно 3 см. Полученный график можно описать функцией x(t) = –sin(ωt), где ω =

=π/2 (рад/с).

40

Для строгого математического описания движения грузика воспользуемся вторым законом

ственной циклической частотой данной системы. Уравнение (6.3) называется дифференциальным уравнением свободных гармонических колебаний. В случае механических колебаний, как мы убедились, это уравнение представляет собой несколько иную форму записи второго закона Ньютона для системы, на которую не действует никаких иных сил, кроме возвращающей (отсюда название «свободные»). Решение этого уравнения имеет достаточно простой вид:

В этом можно убедиться непосредственной подстановкой выражения (6.4) в уравнение (6.3). Колебания, которые описываются функцией cos или sin (косинус или синус), называются гармоническими.

тесь, что мы отсылаем к одному и тому же графику; хотя математические выражения разные — гра-

фики функций одинаковые, так как функция cos(φ) sin(ϕ + π ), а сам график называется синусои-

2

дой.

В природе не все колебания являются гармоническими. Если величина отклонения системы от положения равновесия становится достаточно большой, то возникающие колебания уже не будут описываться уравнением (6.3), или, что то же самое, функцией (6.4). Такие колебания называют ангармоническими. Необходимым и достаточным условием «гармоничности» колебаний, таким образом, является малость отклонения системы от положения равновесия, так чтобы возвращающая сила выражалась законом прямопропорциональности (F ~ x). Такие силы называют ква-

зиупругими силами.

Максимальное отклонение величины от ее равновесного значения называется амплитудой колебаний. Так как максимальное значение функций cos и sin равно 1, амплитуда гармонических колебаний — это то, что стоит перед этими функциями. В нашем случае, например, амплитуда отклонения груза от положения равновесия xmax = A. Величину ϕ = ω0t + ϕ0 , стоящую под знаком

cos или sin, называют фазой колебаний. Так как при t = 0 фаза колебаний равна φ0, величину φ0 называют начальной фазой колебаний. Начальная фаза определяется начальными условиями, т.е. положением системы в начальный момент времени t = 0. Функции cos и sin — это периодические функции. Это означает, что когда их фаза изменяется на 2π рад (число π = 3,1415), значения этих функций повторяются. Так как повторение значения величины, совершающей колебания, связано с периодом колебаний: x(t) = x(t + T),

нетрудно получить связь циклической частоты ω0 с периодом Т:

ω0 = 2π ,

T

41

откуда легко найти период этих колебаний:

T = 2πm . k

Отсюда ясно, что чем тяжелее грузик, тем медленнее он будет колебаться, чем жестче пружина — тем быстрее будут колебания. При этом период колебаний пружинного маятника не зависит от того, как колебания начинаются: он не зависит от амплитуды, не зависит от того, растянем мы пружинку и отпустим груз или просто толкнем его. Важной особенностью дифференциального уравнения гармонических колебаний (6.3) является тот факт, что оно имеет один и тот же вид для колебаний различной природы. Это означает, что не изменится и вид решения этого уравнения (6.4), следовательно, все то, что мы получили выше для пружинного маятника, легко обобщить на случай произвольных колебаний.

Рассмотрим, например, малые колебания тела неправильной формы относительно некоторой оси вращения под действием момента силы тяжести (колебания доски, прибитой гвоздем к стене, колебания маятника настенных часов). Такую систему называют физическим маятником (рис. 6.2,

в). Используем основное уравнение динамики вращательного движения: ε = M .

I

Момент силы тяжести M = –mga sinα (здесь а — расстояние от оси вращения до центра масс тела, а знак «–» указывает на то, что момент силы тяжести является возвращающим) при малых

d2α

углах отклонения: sinα ≈ α . Угловое ускорение ε = dt2 . Поэтому основное уравнение динамики может быть записано в том же виде, что и уравнение (6.3):

Следует отметить, что циклическая частота, а значит, и период колебаний физического маятни-

I

ка T = 2π не зависят от массы маятника, так как момент инерции любого тела, как мы убе-

mga

дились раньше, пропорционален массе тела (I ~ m), т.е. масса m в формулах сокращается. Сразу можно написать решение уравнения (6.5):

Вид этого решения ничем не отличается от решения уравнения колебаний пружинного маятника (6.4).

То же уравнение (6.5) и его решение (6.6) будут описывать и малые колебания математического маятника (рис. 6.2, б — масса m подвешена на невесомой нерастяжимой нити, длина l которой много больше размеров груза). Момент инерции такого груза I = ml2, a = l, поэтому для циклической частоты колебаний математического маятника получим:

и период его колебаний будет равен:

T = 2π l . g

42