573

где — коэффициент трения.

в)

v

Рис. 3.3. Физическая природа силы трения — а; зависимость силы трения от приложенной к телу силы — б; направление силы трения скольжения — в

Коэффициент трения µ зависит от многих факторов: от природы соприкасающихся тел (т.е. от рода вещества), температуры, от того, смазаны соприкасающиеся поверхности или нет, от вида смазки и т.д. (рис. 3.3, а). Это указывает на то, что сила трения не является такой простой, как сила тяготения. И действительно, она может рассматриваться как результирующая более простых сил взаимодействия между атомами — мельчайшими частицами, из которых состоят движущееся тело и поверхность.

Рассмотрим пример: ребенок едет на санках, держась за веревку (рис. 3.2, в), которую тянут с постоянной скоростью. Ответьте на вопросы: Какие силы действуют на ребенка? Какие силы действуют на санки?

К силам взаимодействия между отдельными атомами может быть сведена и сила трения иного рода

—сила сопротивления, действующая на тела, движущиеся в жидкостях или газах. Наблюдения пока-

зывают, что эта сила действует всегда против скорости движения и пропорциональна величине этой

r r

скорости: FÑ = −bv (b — коэффициент сопротивления, зависящий от природы жидкости или газа, v

— скорость тела относительно жидкости или газа).

3.3. Сила упругой деформации

Взаимодействием между атомами объясняется сила упругости, возникающая при деформации упругих тел (пружин, реальных нитей, стержней и т.п.), которая стремится вернуть их в исходное, недеформированное состояние и пропорциональна величине деформации х:

где k — коэффициент жесткости, различный для разных тел.

г)

в)

Рис. 3.4. Примеры проявления силы упругой деформации

23

Сила упругости направлена в противоположную сторону от направления деформации. Растягивая пружину, мы определяем, как действует упругая сила деформации, — она направлена против нашей приложенной силы, стремится вернуть пружину в исходное состояние (рис. 3.4, а, в). Зависимость силы деформации от величины деформации имеет сложный характер (рис. 3.4, б). Но есть область величин деформаций, достаточно малых деформаций, при которых выполняется закон Гука (3.6). На рис. 3.4, г приведены два способа соединения пружин — параллельный и последовательный. Считая жесткости пружин одинаковыми и равными k, определите жесткости соединений пружин.

3.4. Законы динамики Ньютона

Открытие Кеплером законов движения планет поставило перед людьми много новых вопросов, главным из которых был вопрос о причинах их движения. Что заставляет планеты двигаться? Этот вопрос занимал многие умы того времени. Одна из предлагавшихся гипотез, например, утверждала: планеты движутся потому, что за ними летят невидимые ангелы, которые взмахами своих крыльев гонят планеты вперед (и эта теория не противоречит опыту, если верить, что ангелы существуют!).

Изучение законов движения и поиски объяснения законов движения планет позволили Галилею открыть важное свойство движения и сформулировать принцип инерции: если при движении тела на него не действуют другие тела, то оно может двигаться вечно с постоянной скоростью и по прямой. Принцип инерции — это основное, или, как говорят, фундаментальное свойство окружающего мира.

Ньютон видоизменил соображения Галилея. Он понял, что единственный способ изменить движение тела — это применить силу. Если тело разгоняется, значит, сила была приложена в

направлении движения. Если тело повернуло в сторону, то сила была приложена сбоку.

r

Если ввести физическую величину, силу F , описывающую воздействие одних тел на другие, то принцип инерции, сформулированный Ньютоном, можно записать так:

Тело, предоставленное самому себе, если на него не действует никакая сила, сохраняет свое прямолинейное движение с постоянной скоростью, как двигалось до этого, или остается в покое,

если оно до этого покоилось (сокращение const происходит от слова constant — постоянный). Это утверждение носит название первого закона Ньютона (рис. 3.5).

г)

Рис. 3.5. Первый закон Ньютона: инерционные системы отсчета — а;

силы, действующие на покоящееся тело, — б; силы, приложенные к телу, образуют треугольник — сумма сил равна нулю — в;

силы, приложенные к телу, лежат на прямой — сумма сил равна нулю — г

Мы теперь уже знаем, что стоит за словами «разгоняется» и «повернуло в сторону»: изменение величины или направления скорости, т.е. отличное от нуля ускорение. Закон, таким образом, состоит в том, что ускорение, производимое силой, пропорционально величине этой силы: a ≈ F . Из этих рассуждений последовала блестящая мысль: чтобы удержать планету на ее орбите, никакой касательной силы не нужно. Планета и так будет двигаться в нужном направлении. Если бы ничего ей не мешало,

24

она двигалась бы по прямой, но истинное движение отклоняется от этой прямой и отклоняется как раз поперек движения. Иными словами, благодаря принципу инерции сила, потребная для управления движением планет вокруг Солнца, это не сила, вращающая их вокруг Солнца, а сила, направленная к Солнцу. Именно Солнце является источником сил, управляющих движением планет.

Наши повседневные наблюдения показывают, что действие одной и той же силы на разные тела приводит к разному результату. Если, поднатужившись, еще можно столкнуть с места легковой автомобиль, стоящий на ровном участке дороги, то тех же сил окажется недостаточно для того, чтобы сдвинуть с места железнодорожный состав. Тела, которые в соответствии с внутренним устройством Природы стремятся сохранить свою скорость неизменной, как бы сопротивляются действию внешней силы, или, как говорят, обладают инертностью, причем разные тела обладают разной инертностью.

Количественной мерой инертности является масса (m) тел. Действие одной и той же силы на тела, обладающие разной массой, приводит к разному результату: скорость тел, обладающих большей массой, изменяется в меньшей степени, чем тел с меньшей массой. Или, другими словами, ускорение, производимое силой, действующей на тело, пропорционально величине этой силы и обратно пропорционально массе тела:

m

Это утверждение — второй закон Ньютона (рис. 3.6). Зная, как связаны между собой ускорение и скорость движения, легко увидеть, что первый закон Ньютона является следствием второго закона (из равенства (3.8) следует (3.7)).

а) б)

Рис. 3.6. Второй закон Ньютона: ускорение бруска направлено по оси ox — а;

ускорение первой массы направлено против оси oy, если m1 больше m2 — б

Второй закон Ньютона дает нам простой рецепт вычисления ускорения тел, а значит — вычисления всех характеристик их движения на основе анализа сил, действующих на эти тела. Применение второго закона Ньютона для расчета ускорения тел, падающих вблизи поверхности Земли, позволило очень легко объяснить опыты Галилея. Брошенные им с Пизанской башни легкая пуля и тяжелое ядро падали под действием силы тяготения Земли. Под ее влиянием они получали одинаковое ускорение 9,8 м/с2, которое определяется массой Земли M = 6 1024 кг и ее радиусом R = 6378 км (радиус R много больше высоты башни h):

Следует особо выделить, что ускорение рассматриваемого тела будет определяться результирующей силой, равной векторной сумме (ведь сила — это вектор!) всех сил, действующих на тело. Таким образом, чтобы правильно записать второй закон Ньютона для конкретного тела, нужно определить все силы, действующие на это тело (конечно, нужно использовать условие рассматриваемой задачи), найти результирующую силу (это векторная сумма всех действующих сил) и записать закон в векторной форме:

mm

Пользуясь принципом независимости движения во взаимно перпендикулярных направлениях, выбрав прямоугольную систему координат (подходящим образом), это векторное уравнение можно записать в виде трех (или двух при двумерном движении) уравнений, по осям координат, и решить их.

25

Третий закон Ньютона описывает общее свойство всех сил: все тела действуют друг на друга с силами, равными по абсолютной величине и противоположными по направлению (сила действия равна силе противодействия).

Чтобы понять суть этого закона, рассмотрим следующий пример. Пусть у нас есть два бруска с массами m1 и m2, прижатые друг к другу (рис. 3.7, б). Рассматривая их как единое тело с массой m

= m1 + m2, подействуем на них с некоторой силой F (силу приложим к первому бруску). В соответствии со вторым законом Ньютона в результате этого действия наши бруски будут двигаться с ускорением a , причем:

в)

г)

Рис. 3.7. Третий закон Ньютона:

а — растягивание двух динамометров; б — два бруска с массами m1 и m2, прижатые друг к другу; в — два бруска, связанных нитью,

к первому бруску приложена сила F; г — лошадь трогает с места

Но второй закон Ньютона справедлив и для каждого бруска в отдельности! Так как на второй

брусок действует только сила F12 (сила, с которой первый брусок действует на второй) со стороны первого бруска, то:

На первый брусок действуют две силы (внешняя сила и сила со стороны второго бруска), поэтому его ускорение будет определяться их суммой:

В равенствах (3.10) и (3.11) мы записали для обоих брусков одно и то же ускорение a , так как предполагаем, что скорость обоих брусков изменяется одинаково. Если сложить левые и правые части этих равенств, то мы снова получим равенство:

Причем, сравнивая левые части выражений (3.9) и (3.12), нетрудно догадаться, что это одно и то же выражение — второй закон Ньютона, записанный для взаимодействующих брусков, а значит, должны быть равны и правые части формул (3.9) и (3.12). Это возможно только тогда, когда

т.е. когда бруски действуют друг на друга с силами, равными по величине и противоположными по направлению. Равенство (3.13) является математическим выражением третьего закона Ньютона. На рис. 3.7, в приведена система из двух брусков, связанных нитью. Третий закон Ньютона может быть записан для взаимодействия нити с первым бруском и нити со вторым бруском. На

26

рис. 3.7, г изображена система лошадь — сани. Здесь третий закон Ньютона можно записать при рассмотрении сил взаимодействия лошади с санями. Силы трения, действующие на лошадь и сани, изменяются в течение разгона до равномерного движения. Задание: Опишите этот процесс подробно.

На предыдущем примере мы показали, что третий закон Ньютона, как и первый, является следствием второго закона Ньютона (3.8). В дальнейшем мы увидим, что все законы динамики могут быть получены на основе второго закона Ньютона. Он является основным законом динамики и всей классической механики.

4. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСА И ЭНЕРГИИ

Законы, сформулированные Ньютоном, стали тем фундаментом, на котором ученые построили здание классической механики. Именно благодаря этим законам оказалось возможным создать четкую и замкнутую теорию механических явлений, открыть основные законы природы. К числу таких основных, фундаментальных, законов природы относятся законы сохранения импульса, энергии и момента импульса, к изучению которых мы и приступаем.

4.1. Импульс. Закон сохранения импульса

Прежде чем сформулировать закон сохранения импульса, давайте введем понятие импульса и проследим, каким образом связано это понятие с законами Ньютона. Основным законом динами-

ки, как мы уже говорили, является второй закон Ньютона, связывающий ускорение a тела с его

ur r F

массой m и силой F , действующей на это тело: a =

m

его движения v и предполагая, что масса тела не изменяется с течением времени, можно записать:

d(mv) = urF . dt

Полученное выражение показывает, что результат действия силы можно понимать и несколько иначе, чем мы делали это раньше: действие силы на тело приводит к изменению некоторой вели-

чины, характеризующей это тело, которая равна произведению массы тела на скорость его ur

движения. Эту величину называют импульсом тела p :

Размерность импульса: [p] = [mv] = [m][v] = MLT-1 кг м с-1. Согласно второму закону Ньютона скорость изменения импульса тела со временем равна силе, действующей на это тело:

dt

Предположим теперь, что у нас есть два взаимодействующих тела (например, два шарика, которые притягиваются друг к другу вследствие действия сил тяготения), на которые не действуют никакие внешние силы. Такую систему тел называют замкнутой системой. Вследствие взаимодействия им-

d( p1 + p2 ) = 0 , а это значит, что справедлив вывод: несмотря на то, что импульсы каждого из взаиdt

модействующих тел изменяются, их векторная сумма всегда остается постоянной:

При этом важным оказывается тот факт, что мы, собственно, ничего конкретного не говорили о uur uuur

силах F12 и F21 . В наших рассуждениях это были произвольные силы, действующие внутри системы тел.

27

Закон сохранения импульса, таким образом, состоит в том, что импульс замкнутой системы тел, равный векторной сумме импульсов тел, остается постоянным при любых взаимодействиях тел внутри этой системы:

∑n r

mivi = const .

i=1

Если кроме внутренних сил взаимодействия на систему тел будут действовать какие-то другие, внешние силы, полный импульс системы будет изменяться, причем скорость его изменения будет равна сумме всех внешних сил, как того и требует второй закон Ньютона. Закон сохранения импульса остается справедливым не только для двух, но и для большего числа тел. Он позволяет решить многие проблемы, не входя в детали процесса. Интересным примером этого является реактивное движение. Ракета большой массы M с огромной скоростью V (относительно самой ракеты) извергает сравнительно небольшое количество газа m. Чтобы сохранить импульс, ракета начинает двигаться с небольшой

скоростью v. Используя закон сохранения импульса, можно подсчитать, что v ≈ m V . По мере извер-

M

жения газа скорость ракеты становится все больше и больше. Реактивным движением объясняется явление отдачи ружья при выстреле. Механизм действия ракетного двигателя в точности сходен также с механизмом движения морских медуз и осьминогов, воздушного шарика, из которого вырывается воздух, и кончика шланга, из которого с большой скоростью вытекает вода.

Распространенным примером для иллюстрации закона сохранения импульса является удар. При ударе взаимодействие происходит очень быстро. Если при ударе кинетическая энергия системы сохраняется, то такой удар называется абсолютно упругим. Иллюстрацией такого удара может служить приведенная на рис. 4.1, а фотография, снятая со стробоскопической подсветкой (открывается затвор фотоаппарата, короткие импульсы света освещают объект через равные интервалы времени).

В результате на одной фотографии изображен объект в разные моменты времени — в моменты ко-

r

ротких вспышек. На фотографии отражен процесс удара шара, летящего со скоростью v , по неподвижному шару массой m2. После упругого удара шары разлетаются под некоторыми углами к направлению движения исходного шара (здесь нужно считать m = m1). Расстояния между соседними изображениями шаров пропорциональны скорости шаров. Хорошо видно, что скорость первого шара уменьшилась, так как он передал часть своего импульса неподвижному шару, который получил импульс и, следовательно, приобрел скорость.

Задание: На рис. 4.1, г изображены конькобежцы в момент взаимного отталкивания. Опишите поведение системы из двух конькобежцев после взаимного отталкивания.

а)

б)

г)

в)

Рис. 4.1. Закон сохранения импульса:

а — столкновение биллиардных шаров; б — импульс системы до удара ( mv )

равен импульсу системы после удара ( m1v1 + m2v2 ); в — изменение импульса жидкости при повороте в трубопроводе за

единицу времени равно силе, действующей на трубопровод; г — конькобежцы в момент отталкивания

Удар называется неупругим, если после него тела движутся с одинаковой скоростью, т.е. как одно целое. Например: два пластилиновых шарика, висящих на нитях одинаковой длины, после удара склеиваются и продолжают качаться как одно целое.

28

Закон сохранения импульса хорошо иллюстрируется явлением разрыва тела на два или более осколков. Например: разрыв снаряда, гранаты, выстрел из пружинного ружья и т.д. Причем сам взрыв нас не интересует, а обращать внимание мы будем на импульс системы до взрыва и импульс системы после взрыва. На рис. 4.2, 4.3 видно, что если вначале покоящееся тело (импульс системы до взрыва равен нулю) разлетается на два куска одинаковой массы, то их скорости равны и противоположно направлены (суммы импульсов тел — суммарный импульс системы после взрыва равен нулю, как и до взрыва). При неупругом ударе двух одинаковых масс, двигающихся с одинаковыми скоростями навстречу друг другу (импульс системы равен нулю), происходит обратный взрыву процесс, тела склеиваются, скорость получившегося тела равна нулю.

Рис. 4.2. Закон сохранения импульса при взрыве и при неупругом ударе

а)

Рис. 4.3. Закон сохранения импульса при взрыве — а и при неупругом ударе — б, в:

б— лабораторная система отсчета; в — процесс неупругого удара рассмотрен

всистеме отсчета двух масс (v = 0).

4.2. Работа и энергия

Еще одним фундаментальным законом природы является закон сохранения энергии. Но прежде, чем сформулировать этот закон, введем понятия работы и энергии. Обычно работой называют различные виды деятельности человека, различные действия машин и механизмов. В физике это понятие имеет точное значение, но для того, чтобы представить, откуда это следует, рассмотрим один пример. Допустим, вы собрались передвинуть шкаф. Для того чтобы сделать это, вы должны упереться в него руками и приложить силу. Если шкаф достаточно легкий, вы сумеете его передвинуть, после чего вы вытрите пот со лба и скажете: «Ну и поработал же я!» Ну, а если шкаф слишком тяжел для вас? Как бы вы не упирались, как бы вы не устали, шкаф по-прежнему будет стоять посредине комнаты и мешать ходить. Несмотря на вашу усталость, любой, кто придет к вам в гости, скажет, что результата вашего труда не видно, никакой работы вы не совершили. Итак, для того, чтобы говорить о работе, необходимо наличие силы, которая эту работу совершает, и перемещение тела, над которым совершается эта работа. Чем большую силу вы приложите и чем дальше вам придется двигать этот шкаф, т.е. чем больше длина пути, проходимого телом под действием приложенной силы, тем больше совершаемая работа. Таким образом, в качестве количественной оценки работы А, совершаемой силой F, мы могли бы взять величину, равную произведению силы на длину пути s: A = Fs. Но тут есть тонкость. Мы могли бы приложить силу F так, чтобы она была направлена под некоторым углом α к перемещению (рис. 4.4, а). При этом работу будет совершать только составляющая силы Fs = Fcosα в направлении перемещения (рис. 4.4, б).

29

в)

г)

Рис. 4.4. Механическая работа

Составляющая силы, перпендикулярная перемещению, никакой работы совершать не будет. Мы должны ввести в нашу формулу коррективы:

Но теперь возникает еще одна трудность. Ведь траектория движения тела не обязательно будет прямой! При этом при движении тела может меняться со временем как угол α между направлением силы и направлением движения, так и величина самой силы! С такой ситуацией мы уже встречались, когда рассматривали понятие скорости движения. Мы можем весь путь s разбить на бесконечно малые участки длиной ds (рис. 4.4, г) и найти элементарную работу dА, совершаемую на каждом таком почти прямолинейном участке, на котором сила почти не меняется:

при этом полная работа А будет суммой таких элементарных работ, т.е. интегралом выражения (4.5). Можно вспомнить, что в том случае, когда мы рассматриваем бесконечно малые участки траектории, длина пути равна перемещению тела (ds = dr), тогда работа может быть записана че-

рез скалярное произведение вектора силы F и перемещения dr :

Интегрирование в этом выражении производится вдоль траектории движения тела. Формула (4.4) при этом представляет собой частный случай выражения (4.6). Она справедлива для прямолинейного движения под действием постоянной по величине и направлению силы. Как видно из (4.6), на некоторых участках пути работа может быть отрицательной величиной (cosα < 0) (рис. 4.4, в). Определив работу силы в общем случае, давайте рассмотрим работу в случае прямолинейного равноускоренного движения под действием постоянной силы, направленной вдоль перемещения. Как известно, скорость движения и длина пути в этом случае изменяются с течением времени по законам:

v2 = v1 + at и s = v1t + at2 .

2

Исключая время, получаем:

s = v22 − v12 .

2a

С учетом второго закона Ньютона для работы получаем:

Работа силы идет на изменение некоторой величины, равной половине произведения массы тела на квадрат его скорости. Эта величина называется кинетической энергией (Ек) тела:

A = Eê 2 − Eê1 , Eê = mv2 .

2

30

Это утверждение справедливо не только в частном случае, который мы рассмотрели, но и в общем случае произвольного движения под действием произвольной силы.

С работой тесно связано еще одно понятие, понятие потенциальной энергии. Чтобы ввести его, снова обратимся к примеру. Представьте себе, что вы собираетесь бросить камень с пятого этажа дома и размышляете, что из этого получится. Ясно, что когда камень упадет на землю, сила тяжести совершит какую-то работу A = Eп1, которая пойдет на то, чтобы увеличить кинетическую энергию тела (скорость его движения увеличится). Ясно, что эта работа будет больше той работы A = Eп2, которую совершила бы сила тяжести, если бы вы бросили камень не с пятого, а с третьего этажа дома, так как длина пути, проходимого в этом случае, была бы меньше, а величина силы не изменилась бы. При этом оказывается важным, что работа Eп1 и Eп2 — это еще не совершенная (ведь вы же еще не бросили камень!), а потенциально возможная работа, или, как говорят, потенциальная энергия тела. Но знание величины этой энергии позволяет рассчитать работу силы в том случае, когда система реально переходит из состояния с потенциальной энергией Eп1 в состояние с потенциальной энергией Eп2. Скажем, в нашем примере с камнем легко рассчитать работу силы тяжести по его перемещению с высоты пятого этажа до высоты третьего:

Работа силы численно равна изменению потенциальной энергии тела, взятому с противоположным знаком. Это утверждение так же, как и утверждение о связи работы с кинетической энергией тела, хоть и получено нами на конкретном примере, носит общий характер. Оно справедливо всегда, когда можно ввести понятие потенциальной энергии тела. К сожалению, это понятие можно ввести не для всех сил, а только для сил, которые называют потенциальными. Если в дополнение ко всему потенциальные силы не меняются с течением времени (т.е. не зависят от времени явно), то силы называют консервативными. Характерной особенностью консервативных сил является то, что их работа по перемещению тела между двумя любыми точками траектории не зависит от формы траектории между этими точками (рис. 4.5, а, б, в), что ясно видно из выражения (4.7). Следствием этого является то, что

работа консервативных сил вдоль любой замкнутой траектории равна нулю (рис. 4.5, г). Это свойство можно рассматривать в качестве способа «проверки сил на консервативность». Примером консервативных сил из известных нам являются сила тяготения (и сила тяжести как частный случай тяготения), сила упругости, электрическая сила взаимодействия зарядов. Убедиться в этом достаточно просто, если найти работу этих сил.

Работа силы тяжести, например, по перемещению тела массой m с высоты h1 на высоту h2 равна, как следует из формулы (4.7), разности:

Таким образом, потенциальная энергия тела, поднятого над поверхностью земли:

Рис. 4.5. Работа в поле консервативных сил:

а— перемещение по прямой в поле силы тяжести; б — перемещение по кривой в поле силы тяжести; в — работа сил при перемещении между точками 1 и 2 не зависит от пути прохождения;

г— работа по замкнутому пути (контуру) равна нулю

31

Точка отсчета потенциальной энергии может быть выбрана разными способами, но она должна быть указана конкретно для каждого случая. Обычно ее выбирают на поверхности Земли, тогда нужно говорить о потенциальной энергии относительно поверхности Земли. На (рис. 4.6, а) начало отсчета для потенциальной энергии выбрано в точке 0. Потенциальная энергия тела, находящегося в точке 1, есть работа консервативных сил при перемещении тела из 1 в 0, а потенциальная энергия тела, находящегося в точке 2, есть работа консервативных сил при перемещении тела из 2

в 0. Тогда работа, совершаемая консервативными силами при переходе системы из некоторого положения в нулевое положение, называется потенциальной энергией Eп системы в этом поло-

жении.

Потенциальная энергия системы является функцией только ее координат. Таким образом, потенциальная энергия зависит от выбора нулевого положения (рис. 4.6, б). Работа потенциальных сил при переходе системы из 1 в 2 равна убыли потенциальной энергии системы (рис. 4.6, в). С другой стороны, работа равна А = Fs cosα, а приращение работы равно dА = Fds cosα. Пусть точки 1 и 2 находятся близко, так, что ds = dx + dy + dz. Пусть есть только одна координата x, тогда dA = Fxdx. Согласно (4.7) dA = –dЕп, следовательно, получим: dЕп = –Fxdx. Выражая Fx, получим: Fx = –dЕп/dx. Для трех

координат нужно производную заменить частной производной, и тогда для F получим:

ЕП2 = А20

ЕП + dEП

ЕП

Рис. 4.6. Потенциальная энергия

На рис. 4.6, г показан геометрический смысл градиента потенциальной энергии.

Рассмотрим гравитационное взаимодействие тела массой m с Землей массой Mз. Будем считать, что взаимодействие на бесконечности отсутствует, и, соответственно, выберем величину потенциальной энергии гравитационного взаимодействия тел, находящихся на бесконечном удалении, равной 0. Работа гравитационной силы при удалении массы m из точки r на бесконечность определяется выражением

где G — гравитационная постоянная, r — расстояние между телом и Землей (рис. 4.7).

а)

б)

Рис. 4.7. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия тела

иЗемли от расстояния между телом и центром Земли:

а— за ноль потенциальной энергии выбрана энергия взаимодействия при нахождении тела на поверхности Земли (r = Rз), прямая линия —

это касательная, при малых h = r – Rз можно считать, что потенциальная

32