760

04.6. Кривошип ОА кривошипно-шатунного механизма ОАВ, расположенноговгоризонтальнойплоскости,вращаетсяспостоянной угловой скоростью 0. В момент времени, когда кривошип был перпендикулярен траектории ползуна, к нему приложили пару сил с постоянным моментом М. Определить, какую скорость приобретет кривошип, сделав 0,25 оборота, если ОА = r, ОС = 0,25АВ, ОС < r. Кривошип и шатун считать однородными стержнями массами m и 3m соответственно. Массой ползуна В и силами трения пренебречь.

Задание 05

05.1.По гладким рельсам, имеющим форму кривой АВ, с высоты h = 2 м скатывается тележка без начальной скорости. Определитьскоростьтележкивнижнемположении,пренебрегая сопротивлением.

05.2.Шарик массой 0,5 кг скатывается из точки А по трубке АС, наклоненной под углом = 60° к горизонту, без начальной скоростии попадаетнаневесомуюпружинуВСскоэффициентом жесткости 50 Н/м. Определить наибольшее сжатие пружины, если l = 0,72 м. Сопротивлением движению и размерами шарика пренебречь.

05.3.Для определения момента сил трения в подшипниках на вал насажен маховик массой 500 кг, радиус инерции которого 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость 240 об./мин. Предоставленный самому себе, он остановился, сделав 250 об. Определить момент сил трения, считая его постоянным.

05.4.К ведущему барабану 1 снегоочистителя приложен

постоянный момент М. Массу m1 барабана радиусом r можно считать равномерно распределенной по его ободу. Суммарная масса снега 2, ножа 3 и прочих поступательно движущихся

частей постоянна и равна m2. Коэффициент трения скольжения при движении снега и ножа по земле равен f. Определить зависимость между расстоянием, пройденным ножом снегоочистителя, и его скоростью v, если в начальный момент система находилась в покое. Остальными силами сопротивления движению и проскальзыванием барабана пренебречь.

05.5.Механическая система, состоящая из тела 1, блоков 2, 3

игруза 4, соединенных между собой невесомыми нерастяжимы-

21

ми нитями, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения придвижении тела1 поповерхностиравен 0,12.Другимисилами сопротивления пренебречь. Определить скорость тела 1 в тот момент времени, когдапройденный им путь станет равным S = 2,

если массытелm1 = m,m2 = 0,5m,m3 = 0,3m,m4 = 1,5m,R3 = 20 см, r3 = 0,5R3, R2 = 26 см, r2 = 0,5R2. Радиусы инерции блоков 2 и 3

относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости рисунка, равны соответственно 20 см и 18 см.

05.6. Ползуны А и В одинаковой массы m, шарнирно соединенные однородным стержнем АВ массой m и длиной l, могут скользить без трения по взаимно-перпендикулярным направляющим, расположенным ввертикальной плоскости. В положении А0 ползуну А сообщена начальная скорость v0. Определить, при каком ее наименьшем значении стержень остановится в горизонтальном положении АВ.

Задание 06

06.1.Шарик,принимаемыйзаматериальнуюточку,движется из положения А внутри гладкой изогнутой трубки, расположенной в вертикальной плоскости. Найти максимальную скорость шарика и высоту Н, на которую он поднимется над наинизшим положением, если его начальная скорость равнялась v0.

06.2.Пружина, расположенная в горизонтальной плоскости, на конце которой прикреплена материальная точка, сжата силой P и находится в равновесии. Внезапно сила P меняет свое направление на противоположное. Определить, пренебрегая массой пружины и трением, во сколько раз получившееся при

этом наибольшеерастяжение пружиныl2 большепервоначального сжатия l1?

06.3.Однородный диск массой m и радиусом R вращается в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси Oz, отстоящей от центра тяжести диска на расстоянии а. Имея начальную скорость,диск, вследствиесопротивлениядвижению,останавливается.Сколькооборотовсделаетдискдоостановки,еслимомент сил сопротивления М пропорционален углу поворота диска? Коэффициент пропорциональности постоянен и равен k.

22

06.4.На однородный шкив 1 массой m1 и радиусом r, вращающийся вокруг неподвижной оси О, намотан канат, к

концу которого подвешен груз 2 массой m2. Шкив приводится во вращение при помощи рукоятки 3 длиной l, к концу которой приложена сила Q. Определить, какую скорость приобретет груз 2, поднявшись на высоту h, если в начальный момент времени система находилась в покое. Массами рукоятки и каната, силами трения пренебречь.

06.5.Сплошной однородный диск 2 массой m2 и радиусом r может катиться без скольжения по внутренней поверхности неподвижного полуцилиндра радиусом R. На ось А диска

свободно насажен конец однородного стержня 1 массой m1. Второй его конец закреплен неподвижно при помощи цилиндрического шарнира в точке О. Определить скорость, которую приобретет точка А, когда стержень займет вертикальное положение. В начальный момент времени стержень был горизонтален, а его начальная скорость равнялась нулю.

06.6.К кривошипу 2, представляющему собой однородный

стержень массой m2 и длиной l, кривошипно-кулисного механизма с поступательно движущейся кулисой 1 массой m1 приложена пара сил с постоянным моментом М. Определить, какую ско-

рость приобретет штанга 3 кулисы массой m3 за тот промежуток времени, в течение которого кривошип повернется на угол . В начальный момент времени механизм находился в покое, кривошип занимал нижнее вертикальное положение. Массой ползуна

исилами трения пренебречь.

Задание 07

07.1.Тело массой 20 кг падает с некоторой высоты на землю. Достигнув поверхности земли, оно углубилось в почву на 1,2 м. Опытное исследование показало, что почва в месте падения оказывает проникающему в нее телу сопротивление, равное 300 кН. С какой скоростью тело достигает поверхности земли?С какой высоты оно должно было упасть без начальной вертикальной скорости, чтобы приобрести указанную скорость? Считать силу тяжести постояннойи пренебречь сопротивлением воздуха.

07.2.В верхний конец гладкой трубки ADB без начальной скорости опускается шарик массой 0,1 кг. В горизонтальной

23

части в ненапряженном состоянии закреплена пружина с коэффициентом жесткости 100 Н/м. Определить величину сжатия пружины, считая, что в момент перехода шарика с наклонного участканагоризонтальныйвеличинаегоскоростине изменяется,

BD = 0,8 м, а = 30°.

07.3.Однородный стерженьдлинойlможет вращаться вокруг горизонтальной оси О, проходящей через его конец. Стержень находится в покое в вертикальном положении. Какую скорость надо сообщить концу А стержня, чтобы он сделал четверть оборота?

07.4.Груз 4 массой 400 кг поднимают лебедкой. Сила Р, приложенная к рукоятке ведущего вала, равна 300 Н. Моменты инерции ведущего 1 и ведомого 2 валов с насаженными на них

рукоятки R = 350 мм, радиус барабана r = 120 мм. В начальный моментвременисистеманеподвижна.Определитьскоростьгруза в момент времени, когда он поднимется на высоту 1,2 м. Массой троса и трением в подшипниках пренебречь.

07.5.К однородному барабану 1 ворота массой m1 радиусом R приложен постоянный момент М. К концу невесомого троса, намотанного на барабан, прикреплена ось С однородного колеса

2 массой m2. Колесо катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной под углом к горизонту. Какую угловую скорость приобретет барабан, сделав N оборотов? В начальный момент времени система находилась в покое. Сопротивлением движению пренебречь.

07.6.В кулисном механизме однородный стержень 1 массой 5 кг и длиной 1,2 м приводит в движение по горизонтальной направляющей 2 ползун 3 массой 15 кг. В начальном положении угол отклонения стержня от вертикали = 30° и механизм находится в покое. Определить наименьшую угловую скорость, которую нужно сообщить стержню, чтобы он достиг вертикального положения. Расстояние от оси вращения стержня О до направляющей равно 0,9 м. Трением и моментом инерции ползуна пренебречь.

24

Задание 08

08.1.Тело, принятое за материальную точку, вследствие полученного толчка прошло по негладкой горизонтальной плоскости расстояние 25 м. Определить коэффициент трения скольжения, если в начальный момент скорость тела равнялась 10 м/с.

08.2.Шарик массой 0,4 кг опускают без начальной скорости

вточке А в гладкую изогнутую трубку, расположенную в вертикальной плоскости, радиус кривизны которой равен 0,5 м. Двигаясь по трубке, шарик в точке В попадает на недеформированную невесомую пружину, коэффициент жесткости которой 10 Н/м. Определить величину сжатия пружины.

08.3.Тяжелый однородный цилиндр А массой m обмотан тонкой невесомой нитью, конец В которой закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Определитьскорость осицилиндрапослетого,каконаопустится на высоту h. Силами сопротивления пренебречь.

08.4.Постоянный момент M, приложенныйк нижнему шкиву 1, приводит в движение подъемник. Определить, какой должна быть масса противовеса4, чтобы груз 3 массойm, поднявшись на высоту h, приобрел скорость v. Шкивы 1 и 2 радиусом r и массой

m1 каждый представляют собой однородные цилиндры. Массой ремня, проскальзыванием его по шкивам и трением пренебречь.

08.5.Механическая система, состоящая из тела 1 массой m, однородного барабана 2 массой 0,3m, водила 3 и катка 4 массой 0,25m, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рисунке. Определитьскоростьтела1втотмоментвремени,когда

пройденный им путь S станет равным 0,04 м, если R4 = 20 см, r2 = 16 см, OC = 2,5r2. Каток 4 катится без скольжения по неподвижной поверхности. Массой водилаи силами сопротивления движению пренебречь.

08.6.Кривошипно-кулисный механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится вдвижение из состояния покоя парой сил, приложенных к кривошипу 1, с постоянным моментом M. Определить, какую угловую скорость приобретет кулиса 2 массой m и длиной l за промежуток времени, в течение которого кривошип массой m1 и длиной r повернется на угол 90°,

25

если OO1 = a (r > a). Кривошип и кулису считать однородными стержнями, массой ползуна 3 и силами трения пренебречь. В начальный момент времени = 0.

Задание 09

09.1.Кольцо 1, принятое за материальную точку, может скользить по неподвижному гладкому стержню, расположенному в вертикальной плоскости и изогнутому в виде двух полуок-

ружностей радиусами r1 и r2. В положении M0 кольцу сообщена скорость v0 = 1 м/с. Определить r2, если известно, что в положении M1 скорость кольца v1 = 0,5 м/с, а радиус r1 = 0,5 м.

09.2.Груз 1 массой m кладут без начальной скорости на невесомую плиту 2, лежащую на спиральной пружине, коэффициент жесткости которой равен c. От действия груза пружина сжимается. Вычислить величину сжатия пружины, пренебрегая

еемассой.

09.3.Кольцу 1 радиусом R, свободно насаженному на горизонтальный неподвижный вал радиусом r, в начальный момент

времени была сообщена угловая скорость 0. Сколько оборотов сделает кольцодоостановки,есликоэффициенттренияскольжения равен f?

09.4.Определить скорость центра масс катка 2 массой 2000 кг и радиусом 1,5 м в тот момент времени, когда барабан 1 массой 20 кг, вращающийся под действием пары сил с постоянным моментом M = 0,2 Н∙м, сделает 3 оборота. Моменты инерции

барабана 1 и катка 2 относительно центральных осей J1 = J2 = = 0,2 кг∙м2. Каток движется по поверхности без проскальзывания, трением пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

09.5. Механическая система, состоящая из тела 1 массой m, шкива 2 массой 2m и шатуна 3 массой 3m, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Начальное положение системы показано на рисунке. Коэффициент трения скольжения при движении тела по плоскости равен 0,1. Пренебрегая другими силами сопротивления и массой ползуна 4, определить скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный им путь S станет равным 0,1 м, если R2 = 20 см, r2 = 0,5R2. Радиус инерции шкива 2 относительно его оси вращения равен 14 см.

26

09.6. При качании стержня 1 массой m1 и длиной l ползун 3, перемещаясь вдоль стержня, приводит в движение штангу 2 массой m2, которая движется в направляющих 4, отстоящих от точки О на расстояние h. Определить, какую угловую скорость приобретет стержень, повернувшись на угол , если механизм приводится вдвижение из состояния покоя постоянной силой F иугол 0 =0.Механизмрасположенвгоризонтальнойплоскости, стержень и штангу считать однородными стержнями, массой ползуна и силами трения пренебречь.

Задание 10

10.1.Гиря М, которую можно считать материальной точкой, подвешена к концу нити длиной 0,8 м. Какую начальную горизонтальную скорость нужно сообщить гире, чтобы нить заняла горизонтальное положение?

10.2.Тело 1 массой m находится на гладкой горизонтальной плоскости. К нему прикреплена пружина с коэффициентом

жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру О1. В начальный момент времени тело находилось вположении равно-

весия О. Какую начальную скорость v0 нужно сообщить телу, чтобы оно отклонилось от положения равновесия на величину l, если длина недеформированной пружины l0 < l?

10.3.Однородный цилиндр массой 120 кг и радиусом 1 м приводится во вращение из состояния покоя при помощи ременной передачи. Натяжения ветвей ремня считать постоянными и

равнымиТ1 = 960Н иТ2 =480 Н.Пренебрегаяпроскальзыванием ремня и трением в цапфах вала цилиндра, определить его угловую скорость, когда он сделает 5 об.

10.4.К ведущему шкиву 1 массой m1 и радиусом R1 приложен постоянный момент М. Этот шкив соединен ременной передачей

со ступенчатым шкивом 2 массой m2, на который намотан невесомыйнерастяжимый канат,несущий наконце груз3массой

m3. Радиусы шкива R2 и r2 заданы. Определить скорость груза в момент времени, когда он поднимется на высоту h из состояния покоя. Проскальзыванием ремня и трением в подшипниках пренебречь. Радиусы инерции шкивов относительно их осей вращения равны соответственно 1 и 2.

27

10.5.Механическая система, состоящая из тела 1, сплошного однородного блока 2 и катка 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью, под действием силы тяжести тела 1 приходит в движение из состояния покоя. Коэффициент трения скольжения при движении тела по плоскости равен 0,1. Коэффициент сопротивления качению катка 3, катящегося без скольжения, равен 0,2 см. Пренебрегая другими силами сопротивления, определить скорость тела 1 в тот момент времени,

когда пройденный им путь S станет равным 2 м, если m1 = m, m2 = 0,5m, m3 = 0,3m, R3 = 30 см, r3 = 0,6R3, радиус инерции катка 3 относительно центральной оси, перпендикулярной плоскости движения, равен 20 см.

10.6.Кривошип 1 длиной r кривошипно-шатунного механизма, расположенного в вертикальной плоскости, приводится в движение мотором. В момент отключения мотора кривошип находился в верхнем вертикальном положении и имел угловую

скорость 0. Определить, какую угловую скорость будет иметь кривошип, повернувшись на угол 90°, если его масса равна массе ползуна 2 и в четыре раза меньше массы шатуна 3. Кривошип и шатун считать однородными стержнями. Силами трения пренебречь.

Задание 11

11.1.На каком расстоянии может быть остановлен тормозом вагон трамвая, идущий по горизонтальному пути со скоростью 10 м/с, если сопротивление движению, развиваемое при торможении, составляет 0,3 веса вагона?

11.2.Шарик массой 0,4 кг опускают без начальной скорости

вточке А в гладкую изогнутую трубку, расположенную в вертикальной плоскости. Двигаясь по трубке, шарик в точке В попадает на недеформированную пружину. Определить величину сжатия пружины, коэффициент жесткости которой 2 Н/см, если h = R = 0,5 м.

11.3.Однородный диск массой m и радиусом R может вращаться в вертикальной плоскости вокруг неподвижной точки О. В начальный момент времени отрезок ОС находился в верхнемвертикальномположении,аначальнаяугловаяскорость дискаравнялась нулю.Определитьскорость точкиСвзависимости от угла , если ОС = а. Трением пренебречь.

28

11.4.Груз 1 массой m поднимается нерастяжимым тросом,

переброшенным через однородный сплошной блок 3 массой m3 и намотанным на барабан 2 радиусом r и массой m2. К барабану приложен момент М = k 2, где k — постоянный коэффициент,

— угол поворота барабана. Определить скорость груза 1 в момент времени, когда он поднимется на высоту h. Массу барабана считать равномерно распределенной по его ободу. В начальный момент система находилась в покое, массой троса и трением пренебречь.

11.5.Механическая система, состоящая из груза 1 массой m, блока2икатка3массой4m,соединенныхмеждусобойневесомой нерастяжимой нитью, под действием силы тяжести груза 1 приходит вдвижение из состояния покоя.Учитывая сопротивление качению катка 3, катящегося без скольжения с коэффициентом трения качения 0,2 см, пренебрегая другими силами сопротивления и массой блока 2, определить скорость груза 1 в тот момент времени, когдапройденный им путь S станет равным 1 м. Радиус инерции катка 3 относительно центральной оси, перпендикулярнойплоскостидвижения,равен20см,R=30см,r=0,8R.

11.6.Механизм, расположенный в вертикальной плоскости, состоит из двух ползунов 1 и 2 одинаковой массы m и шарнирно соединенного с ними однородного стержня 3 длиной l и массой

m1. Ползуны перемещаются по прямолинейным направляющим. Каковадолжнабыть величинапостояннойсилы F,приложенной

к ползуну 1, находящемуся в покое в положении А0, чтобы ползун приобрел скорость v, пройдя путь S = 0,5l? Силами сопротивления движению пренебречь.

Задание 12

12.1. Общее сопротивление, встречаемое железнодорожной дрезиной массой 2∙103 кг при движении, равно 150 Н. Рабочий уперся руками в покоящуюся дрезину и покатил ее по горизонтальному прямолинейному участку пути, производя давление, равное 250 Н. Пройдя 20 м, он предоставил ей возможность катитьсясамостоятельно.Вычислитьнаибольшуюскоростьплатформы во время движения, а также путь, пройденный ею до остановки.

29

12.2.Шарик 1 массой 1 кг прикреплен к концу невесомого стержня 2 длиной 0,5 м, который может вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси О. К шарику прикреплена пружина с коэффициентом жесткости 2 Н/см, неподвижно закрепленная в точке А. В начальный момент стержень и пружина находятся в вертикальном положении, пружина не деформирована и ее длина равна 0,6 м. Какую начальную скорость нужно сообщить шарику, чтобы стержень повернулся на угол 60°?

12.3.На вал, массой которого можно пренебречь, насажен маховик массой 5 кг и диаметром 60 см, который совершает 150 об./мин. Определить момент сил трения в подшипниках вала, считая его постоянным, если после выключения привода маховик сделал 100 оборотов до остановки. Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.

12.4.Барабан3 массой m3 и радиусом rмеханизма приводится

вдвижение из состояния покоя ременной передачей, соединяю-

щей шкив 2 массой m2 и радиусом R со шкивом 1. К шкиву 1 массой m1 и радиусом r приложен постоянный момент М. Найти скорость груза 4 массой m4 в тот момент времени, когда он поднимется навысоту h. Шкивыи барабансчитать однородными круглыми цилиндрами. Массами ремня, каната, проскальзыванием и трением в подшипниках пренебречь.

12.5.Механическая система, состоящая из груза 1 массой m, блока 2 и катка 3, соединенных между собой невесомой нерастяжимой нитью, под действием силы тяжести груза приходит в движение из состояния покоя. Блок и каток — однородные

цилиндры массой m1 и радиусом R каждый. Учитывая сопротивление качениюкатка, катящегосябез скольженияс коэффициентом трения качения, пренебрегая другими силами сопротивления, определить скорость груза в тот момент времени, когда он опустится на величину h.

12.6.Однородная линейка АВ эллипсографа массой m и длиной 2l приводится в движение парой сил с постоянным моментом М, приложенным к кривошипу ОС. В начальный момент при = 0 механизм находился в покое. Найти угловую скорость кривошипа в момент времени, когда он повернется на четверть оборота, если массы ползунов А и В одинаковы и равны

30